新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題3導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解決函數(shù)問題課件新人教A版選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題3導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解決函數(shù)問題在考試中經(jīng)常見到一類試題，即不給出解析式，而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題的題目，該類題目具有一定的難度，下面總結(jié)其基本類型的處理方法：1．關(guān)系式為“加”型：(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)構(gòu)造[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(2)xf′(x)＋f(x)≥0構(gòu)造[xf(x)]′＝xf′(x)＋f(x)(3)f′(x)＋f(x)≥0構(gòu)造[exf(x)]′＝ex[f′(x)＋f(x)]

類型1關(guān)系式為“加”型01

√(2)設(shè)f′(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)<3，f(－3)＝－2，則f(x)>3x＋7的解集為(

)A．(－∞，－1) B．(－∞，－3)C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)B

因?yàn)閒′(x)<3，即f′(x)－3<0，設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－3x，g′(x)＝f′(x)－3<0，則g(x)在R上單調(diào)遞減，又f(－3)＝－2，所以g(－3)＝f(－3)－3×(－3)＝7，不等式f(x)>3x＋7轉(zhuǎn)化為：f(x)－3x>7，即g(x)>g(－3)，所以x<－3．√

c>b>a

(4)設(shè)f(x)，g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，g(－3)＝0，求不等式f(x)g(x)<0的解集．[解]

因?yàn)閒′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的原函數(shù)為f(x)g(x)，構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)可知h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)間(－3)＝0，即h(－3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集是(－3，＋∞)．類型2關(guān)系式為“減”型02【例2】

(1)設(shè)f(x)、g(x)是定義域?yàn)镽的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)有(

)A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(b)>f(b)g(x)C．f(x)g(a)>f(a)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(x)√

(2)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(

)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)√

(3)若可導(dǎo)函數(shù)f(