最全數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

【課標(biāo)要求】1．掌握數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)及歸納與猜想的關(guān)系．2．能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決實(shí)際問題．【核心掃描】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與函數(shù)、數(shù)列、不等式及幾何問題相結(jié)合．(重點(diǎn))2．能通過“歸納—猜想—證明”解決一些數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))第一頁第二頁，共35頁。自學(xué)導(dǎo)引數(shù)學(xué)歸納法用框圖表示就是：第二頁第三頁，共35頁。想一想：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟有何關(guān)系？

提示使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，兩個(gè)步驟缺一不可，步驟(1)是遞推的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．第三頁第四頁，共35頁。名師點(diǎn)睛1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式、不等式、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用．2．歸納→猜想→證明

(1)歸納、猜想和證明是人們探索事物發(fā)展規(guī)律的常用方法，在數(shù)學(xué)中是我們分析問題、解決問題的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法．

(2)在歸納、猜想階段體現(xiàn)的是一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．

(3)在數(shù)學(xué)歸納法證明階段體現(xiàn)的是有限和無限的轉(zhuǎn)化，是一種極限的思想．第四頁第五頁，共35頁。第五頁第六頁，共35頁。第六頁第七頁，共35頁。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小等技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式．第七頁第八頁，共35頁。第八頁第九頁，共35頁。第九頁第十頁，共35頁。第十頁第十一頁，共35頁。證明①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，對(duì)任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．第十一頁第十二頁，共35頁。卡盟

卡盟MicrosoftOfficePowerPoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示，也可以將演示文稿打印出來，制作成膠片，以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿，還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對(duì)面會(huì)議、遠(yuǎn)程會(huì)議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿，其格式后綴名為：ppt、pptx；或者也可以保存為：pdf、圖片格式等第十二頁第十三頁，共35頁。

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時(shí)，關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法，也可以說將式子“硬提公因式”，即將n＝k時(shí)的項(xiàng)從n＝k＋1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來”，構(gòu)成n＝k的項(xiàng)，后面的式子相對(duì)變形，使之與n＝k＋1時(shí)的項(xiàng)相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的．第十三頁第十四頁，共35頁。【變式2】

用數(shù)學(xué)歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 證明

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥1)時(shí)，62k－1＋1能被7整除． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命題成立．第十四頁第十五頁，共35頁。第十五頁第十六頁，共35頁。第十六頁第十七頁，共35頁。第十七頁第十八頁，共35頁。

用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵在于分析由n＝k到n＝k＋1的變化情況，即分點(diǎn)(或頂點(diǎn))增加了多少，直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，幾何問題的證明：一要注意數(shù)形結(jié)合；二要注意要有必要的文字說明．第十八頁第十九頁，共35頁。第十九頁第二十頁，共35頁。第二十頁第二十一頁，共35頁。第二十一頁第二十二頁，共35頁。第二十二頁第二十三頁，共35頁。第二十三頁第二十四頁，共35頁。第二十四頁第二十五頁，共35頁。第二十五頁第二十六頁，共35頁?！绢}后反思】探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問題未給出問題的結(jié)論，往往需要由特殊情況入手，歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對(duì)探索出的結(jié)論進(jìn)行證明，而證明往往用到數(shù)學(xué)歸納法．這類題型是高考的熱點(diǎn)之一，它對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓(xùn)練作用．第二十六頁第二十七頁，共35頁。第二十七頁第二十八頁，共35頁。第二十八頁第二十九頁，共35頁。第二十九頁第三十頁，共35頁。第三十頁第三十一頁，共35頁。