多邊形及其內(nèi)角和八年級數(shù)學上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題多邊形及其內(nèi)角和姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021秋?鎮(zhèn)原縣期末〕一個多邊形的每個外角為30°，那么這個多邊形邊數(shù)為〔〕A．12B．6C．10D．8【分析】一個多邊形的外角和為360°，而每個外角為30°，進而求出外角的個數(shù)，即為多邊形的邊數(shù)．【解析】：360°÷30°＝12，應選：A．2．〔2021?云南模擬〕一個多邊形每一個外角都等于18°，那么這個多邊形的邊數(shù)為〔〕A．10B．12C．16D．20【分析】利用多邊形的外角和除以外角度數(shù)可得邊數(shù)．【解析】：∵一個多邊形的每一個外角都等于18°，且多邊形的外角和等于360°，∴這個多邊形的邊數(shù)是：360°÷18°＝20，應選：D．3．〔2021春?溫江區(qū)校級期末〕假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，那么這個多邊形是〔〕A．六邊形B．八邊形C．十邊形D．十二邊形【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍列方程，即可得到n的值．【解析】：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，依題意得〔n﹣2〕?180°＝5×360°，解得n＝12，∴這個多邊形是十二邊形，應選：D．4．〔2021秋?沂南縣期末〕一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，那么這個正多邊形的每一個內(nèi)角是〔〕A．120°B．108°C．90°D．60【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義〔n﹣2〕×180°，先求出邊數(shù)，再用內(nèi)角和除以邊數(shù)即可求出這個正多邊形的每一個內(nèi)角．【解析】：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180〔n﹣2〕＝540，解得：n＝5．那么這個正多邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5＝108°．應選：B．5．〔2021春?沙坪壩區(qū)校級月考〕假設(shè)一個正多邊形的一個內(nèi)角是135度，那么這個多邊形的邊數(shù)為〔〕A．6B．7C．8D．10【分析】先求出正多邊形每個外角的度數(shù)，然后利用多邊形外角和除以外角度數(shù)即可得到多邊形的邊數(shù)．【解析】：∵正多邊形的每個內(nèi)角為135°，∴正多邊形的每個外角為180°﹣135°＝45°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8．應選：C．6．〔2021春?永州期末〕富有燦爛文化的永州，現(xiàn)今保存著許多具有歷史和文化價值的建筑，古樸的建筑物上雕刻的優(yōu)美圖案是我們數(shù)學研究的重要內(nèi)容．圖1中的“冰裂紋窗格〞圖案就是永州古建筑雕刻圖案其中的代表，無規(guī)那么多邊形的形狀，蘊含了豐富而和諧的數(shù)學美．圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的多邊形，根據(jù)繪制的圖形，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度數(shù)為〔〕A．72°B．108°C．360°D．540°【分析】多邊形的外角和等于360度，依此即可求解．【解析】：由多邊形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360度．應選：C．7．〔2021秋?梁園區(qū)期末〕假設(shè)n邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，那么邊數(shù)n為〔〕A．n＝6B．n＝7C．n＝8D．n＝9【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，可得方程180〔n﹣2〕＝360×3，再解方程即可．【解析】：由題意得：180〔n﹣2〕＝360×3，解得：n＝8，應選：C．8．〔2021春?煙臺期中〕從多邊形一條邊上的一點〔不是頂點〕出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，那么這個多邊形的邊數(shù)為〔〕A．2001B．2005C．2004D．2006【分析】可根據(jù)多邊形的一點〔不是頂點〕出發(fā)，連接各個頂點得到的三角形個數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系求解．【解析】：多邊形一條邊上的一點〔不是頂點〕出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，那么這個多邊形的邊數(shù)為2003+1＝2004．應選：C．9．〔2021春?龍口市期中〕如下圖的圖形中，屬于多邊形的有〔〕個．A．3B．4C．5D．6【分析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個、第二個、第五個．【解析】：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個、第二個、第五個．應選：A．10．〔2021秋?黃石港區(qū)校級期中〕如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，那么x為〔〕A．30°B．35°C．36°D．45°【分析】根據(jù)正多邊形的每個內(nèi)角相等以及多邊形的內(nèi)角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根據(jù)正多邊形的各邊相等可得△ADE是等腰三角形，據(jù)此可得∠1的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．【解析】：因為五邊形ABCDE是正五邊形，所以∠E＝∠CDE=180°×(5-2)5=108°，AE所以∠1=∠3=180°-108°所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．應選：C．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?海南〕正六邊形的一個外角等于60度．【分析】根據(jù)正多邊形的每一個外角都相等和多邊形的外角和等于360度解答即可．【解析】：∵正六邊形的外角和是360°，∴正六邊形的一個外角的度數(shù)為：360°÷6＝60°，故答案為：60．12．〔2021?灞橋區(qū)模擬〕一個多邊形的每一個外角為30°，那么這個多邊形的邊數(shù)為12．【分析】一個正多邊形的每個內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解析】：多邊形的邊數(shù)：360°÷30°＝12，那么這個多邊形的邊數(shù)為12．故答案為：12．13．〔2021秋?綏棱縣期末〕假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是1800°，那么此多邊形是十邊形．【分析】任意多邊形的一個內(nèi)角與相鄰外角的和為180°，然后根據(jù)題意可求得答案．【解析】：∵多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰外角的和為180°，∴1800°÷180°＝10．故答案為：十．14．〔2021秋?松山區(qū)期末〕一個正五邊形和一個正六邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共頂點O，其擺放方式如下圖，那么∠1+∠2＝132°．【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解決問題．【解析】：如圖：由題意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案為：132．15．〔2021春?亭湖區(qū)校級期中〕從如圖的五邊形ABCDE紙片中減去一個三角形，剩余局部的多邊形的內(nèi)角和是360°或540°或720°．【分析】分為三種情況，畫出圖形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可．【解析】：如圖，剩余的局部是四邊形，其內(nèi)角和為360°，如圖，剩余的局部是五邊形，其內(nèi)角和為540°，如圖，剩余的局部是六邊形，其內(nèi)角和為720°，所以剩余局部的多邊形的內(nèi)角和是360°或540°或720°．故答案為：360°或540°或720°．16．〔2021春?常熟市期末〕如圖，∠B＝30°，那么∠A+∠D+∠C+∠G＝210°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BEF+∠BFE的度數(shù)，根據(jù)補角的定義得出∠DEF+∠GFE的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】：∵∠B＝30°，∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，故答案為：210．17．〔2021?雁塔區(qū)校級模擬〕一個正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1：4，那么這個多邊形的邊數(shù)為十．【分析】設(shè)正多邊形的每個外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，根據(jù)鄰補角的定義得到x+4x＝180°，解出x＝36°，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°即可計算出多邊形的邊數(shù)．【解析】：設(shè)正多邊形的每個外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，依題意有：x+4x＝180°，解得x＝36°，這個多邊形的邊數(shù)＝360°÷36°＝10．故答案為：十．18．〔2021?南海區(qū)一模〕一個n邊形從一個頂點出發(fā)最多引出7條對角線，那么n的值為10．【分析】可根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關(guān)系n﹣3，列方程求解．【解析】：∵多邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關(guān)系n﹣3，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案為：10．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?江都區(qū)月考〕一個多邊形中，每個內(nèi)角都相等，并且每個外角都等于它的相鄰內(nèi)角的14【分析】根據(jù)題意得出內(nèi)角的度數(shù)，進而得出邊長，即可得出答案．【解析】：設(shè)這個多邊形的一個外角的度數(shù)為x，由x=14〔180°﹣解得：x＝36°，360÷36＝10，〔10﹣2〕×180°＝1440°，此多邊形為十邊形，內(nèi)角和為1440°．20．〔2021秋?叢臺區(qū)校級期末〕在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰外角的3倍還大20°，〔1〕求這個多邊形的邊數(shù)；〔2〕假設(shè)將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【分析】〔1〕設(shè)多邊形的一個外角為α，那么與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°÷α；〔2〕剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應內(nèi)角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】：〔1〕設(shè)多邊形的一個外角為α，那么與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，由題意，得〔3α+20〕+α＝180°，解得α＝40°．即多邊形的每個外角為40°．又∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個數(shù)=36040∴多邊形的邊數(shù)＝9，答：這個多邊形的邊數(shù)是9；〔2〕因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當截線為經(jīng)過對角2個頂點的直線時，多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內(nèi)角和＝〔9﹣2﹣1〕×180°＝1080°；當截線為經(jīng)過多邊形一組對邊的直線時，多邊形的邊數(shù)不變，內(nèi)角和＝〔9﹣2〕×180°＝1260°；當截線為只經(jīng)過正方形一組鄰邊的一條直線時，多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內(nèi)角和＝〔9﹣2+1〕×180°＝1440°．答：將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是1080°或1260°或1440°．21．〔2021春?建鄴區(qū)期末〕閱讀佳佳與明明的對話，解決以下問題：〔1〕“多邊形內(nèi)角和為2021°〞，為什么不可能？〔2〕明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？〔3〕錯當成內(nèi)角的那個外角為多少度？【分析】〔1〕n邊形的內(nèi)角和是〔n﹣2〕?180°，因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，依此即可作出判斷；〔2〕設(shè)應加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：〔n﹣2〕180°＝2021°﹣y+x，解方程即可求解；〔3〕代入計算求解．【解析】：〔1〕設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，180°〔n﹣2〕＝2021°，解得n=13∵n為正整數(shù)，∴“多邊形的內(nèi)角和為2021°〞不可能．〔2〕設(shè)應加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：〔n﹣2〕180°＝2021°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2021°﹣180°＜180°〔n﹣2〕＜2021°+180°，解得122又∵n為正整數(shù)，∴n＝13，n＝14．故明明求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．〔3〕十三邊形的內(nèi)角和＝180°×〔13﹣2〕＝1980°，∴y﹣x＝2021°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四邊形的內(nèi)角和＝180°×〔14﹣2〕＝2160°，∴y﹣x＝2021°﹣2160°＝﹣140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那個外角為110°或20°．22．〔1〕如圖〔1〕所示是四邊形，小明作出它對角線為2條，算法為4×(4-3)2=〔2〕如圖〔2〕是五邊形，小明作出它的對角線有5條，算法為5×(5-3)2=〔3〕如圖〔3〕是六邊形，可以作出它的對角線有9條，算法為6×(6-3)2〔4〕猜測邊數(shù)為n的多邊形對角線條數(shù)的算法及條數(shù)．【分析】根據(jù)〔1〕〔2〕所給算法計算即可．【解析】：〔3〕六邊形，可以作出它的對角線有9條，算法：6×(6-3)2=故答案為：9；6×(6-3)2=〔4〕n的多邊形對角線條數(shù)的算法及條數(shù)n(23．〔2021春?東臺市期中〕如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，假設(shè)∠BAD＝α，∠BCD＝β．〔1〕如圖1，假設(shè)α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；〔2〕如圖1，假設(shè)BE與DF相交于點G，∠BGD＝40°，請直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；〔3〕如圖2，假設(shè)α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】〔1〕∠ABC+∠ADC＝360°﹣〔α+β〕，那么∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．〔2〕連接BD，由〔1〕有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，那么∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12〔∠MBC+∠NDC〕=12〔α+β〕，在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，〔∠CBG+∠CDG〕+〔∠BDC+∠CBD〕+∠BGD＝180°，那么12〔α+β〕+180°﹣β+40〔3〕由〔1〕有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，那么∠CBE+∠CDH=12〔α+β〕，∠CBE+β﹣∠DHB=12〔α+β〕，根據(jù)α＝β，那么有∠CBE+β﹣∠DHB=12〔β+β〕＝β，∠CBE＝∠【解析】：〔1〕∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣〔α+β〕，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．〔2〕β﹣α＝80°理由：如圖1，連接BD，由〔1〕有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=1∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12〔∠MBC+∠NDC〕在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴〔∠CBG+∠CDG〕+〔∠BDC+∠CBD〕+∠BGD＝180°，∴12〔α+β〕+180°﹣β+40°＝180∴β﹣α＝80°，〔3〕平行，理由：如圖2，延長BC交DF于H，由〔1〕有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分