衡水中學(xué)自用課件第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用-習(xí)題課

習(xí)題課

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用明目標(biāo)知重點(diǎn)憶要點(diǎn)固基礎(chǔ)探題型提能力內(nèi)容索引01020304當(dāng)堂測查疑缺會利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(多項(xiàng)式次數(shù)不超過三次).明目標(biāo)、知重點(diǎn)憶要點(diǎn)·固基礎(chǔ)1.若函數(shù)y＝x2－2bx＋6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，則(

)A.b≤2 B.b<2C.b≥2 D.b>2AB3.設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(

)解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：答案C4.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能為(

)解析應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系來判斷導(dǎo)函數(shù)的圖像.答案D5.若f(x)在(a，b)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減”的____________條件.解析對于導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)f(x)，若f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，反過來，函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是單調(diào)遞減的，但f′(x)≤0.充分不必要探題型·提能力題型一函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系例1

對正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式是________.解析由k＝y(tǒng)′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切線方程為y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，令x＝0，求出切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0＝(n＋1)2n，答案

2n＋1－2反思與感悟找切點(diǎn)，求斜率是求切線方程的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1如圖，曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)P的切線PQ交x軸于Q，過P作PT垂直于x軸于T，若△PTQ的面積為

，則y與y′的關(guān)系滿足(

)A.y＝y(tǒng)′B.y＝－y′C.y＝y(tǒng)′2D.y2＝y(tǒng)′答案D題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值例2

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.(1)求a，b的值；解∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；解由(1)得f(x)＝x3－48x，∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－4<x<4，令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的遞減區(qū)間為(－4,4)，遞增區(qū)間為(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)極大值＝f(－4)＝128，f(x)極小值＝f(4)＝－128.(3)當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，求函數(shù)的最值.解由(2)知，函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞減，在[4,5]上單調(diào)遞增，對f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函數(shù)的最大值為－47，最小值為－128.反思與感悟(1)討論函數(shù)的單調(diào)性首先要求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)解f′(x)>0得增區(qū)間，解f′(x)<0得減區(qū)間.(2)求極值時(shí)一般需確定f′(x)＝0的點(diǎn)和單調(diào)性，對于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(3)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)y＝ax3＋bx2，當(dāng)x＝1時(shí)，有極大值3.(1)求a，b的值；解y′＝3ax2＋2bx，當(dāng)x＝1時(shí)，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，(2)求函數(shù)的極小值；解y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1，∴y極小值＝y(tǒng)|x＝0＝0.(3)求函數(shù)在[－1,1]的最值.解由(1)知，函數(shù)y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函數(shù)的最大值為15，最小值為0.題型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例3

已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；解f′(x)＝3x2－a，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立.即3x2－a≥0在R上恒成立.即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x3－1在R上單調(diào)遞增，符合題意.所以a的取值范圍是(－∞，0].(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由.解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因?yàn)樵?－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，即a＝3符合題意，所以存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，且a的取值范圍是[3，＋∞).反思與感悟在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立來求解)，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去；若f′(x)能恒等于0，則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍來確定.跟蹤訓(xùn)練3

(1)若函數(shù)f(x)＝4x3－ax＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是

，則實(shí)數(shù)a的值是多少？解f′(x)＝12x2－a，∴a＝3.(2)若函數(shù)f(x)＝4x3－ax＋3在

上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為多少？∴a≤(12x2)min＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0時(shí)f′(x)＝0).∴a＝0符合題意.∴a≥(12x2)max＝3.當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±時(shí)f′(x)＝0).因此，a的取值范圍為a≤0或a≥3.1.若函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)當(dāng)堂測·查疑缺1234解析若函數(shù)y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，答案C12342.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是(

)1234解析若函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則y＝f′(x)≥0，若函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)，則y＝f′(x)≤0.答案D12343.設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)有(

)A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)1234∴f(x)g(b)>f(b)g(x).答案C12344.函數(shù)f(x)＝x3－

x2－2x＋5，若對于任意x∈[－1,2]，都有f(x)<m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.解析f′(x)＝3x2－x－