第七章-數(shù)學(xué)物理方程的定解問題課件

B.無窮小的一段弦BC.受力分析和運動方程弦的原長現(xiàn)長弦長的變化產(chǎn)生回到原位置的張力沿x-方向，這一段弦不出現(xiàn)平移弦長，質(zhì)量密度，B段的質(zhì)量為。沿垂直于x-軸方向小振動：2023/12/6阜師院數(shù)科院波動方程。波速D.受迫振動在上式推導(dǎo)過程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。在受到與弦垂直方向的周期力的作用時，弦運動為受迫振動。設(shè)單位長度上弦受力，則dx受力為。最后得受迫振動方程2023/12/6阜師院數(shù)科院2.均勻桿的縱振動A.桿的彈性力學(xué)基本力學(xué)方程：胡克定律Y：楊氏模量，單位面積上的應(yīng)力。B.運動方程桿中選L=dx長一段時刻t，x一端位移

u，x+dx一端位移

u+du。桿的伸長當(dāng)取更長的dx，兩端的相對伸長和應(yīng)力將不同，桿受力又，牛頓定律：即為波速2023/12/6阜師院數(shù)科院補充連續(xù)性方程連續(xù)分布的某種物理量，如介質(zhì)：建立座標密度：單位容積中物理量的多少流強度：單位時間通過單位面積的該物理量（v為流速）單位時間沿x-方向凈流入量單位時間凈流入量等于由密度增加的量二者相等得連續(xù)性方程表示物質(zhì)的總量守恒2023/12/6阜師院數(shù)科院3.流體力學(xué)與聲學(xué)方程A.連續(xù)介質(zhì)性質(zhì)：當(dāng)振動在液體和氣體中傳播時，液體和氣體就成為傳播振動的連續(xù)介質(zhì)。在其中取一個小的立方體，可以定義介質(zhì)在此的密度ρ，速度v和壓強P。振動引起密度的疏密變化。例如，在靜止的介質(zhì)中，介質(zhì)的速度為零，并且有壓強和密度。當(dāng)振動出現(xiàn)時，介質(zhì)中各處有介質(zhì)的振動速度

v

，振動的傳播速度－聲速；顯然，v<<聲速，并且設(shè)密度的相對變化

s

為B.拉普拉斯假定歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程物態(tài)方程聲傳播為絕熱過程：過程方程2023/12/6阜師院數(shù)科院C.方程s,v小量,f=02023/12/6阜師院數(shù)科院4.真空電磁波方程電磁學(xué)的麥克斯韋方程（微分形式）真空時：2023/12/6阜師院數(shù)科院5.擴散方程A.擴散現(xiàn)象系統(tǒng)的濃度u(x)

不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴散。B.菲克定律濃度梯度：擴散流強度：單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量C.擴散方程D

均勻三維連續(xù)性方程帶入菲克定律2023/12/6阜師院數(shù)科院6.熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo):熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉(zhuǎn)移。熱力學(xué)問題。熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)過程交換的熱量熱力學(xué)過程外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的內(nèi)能熱傳導(dǎo)過程dW=0，系統(tǒng)傳導(dǎo)的熱量就是內(nèi)能的改變。能量守恒，滿足連續(xù)性方程系統(tǒng)的溫度熱流強度：單位時間通過單位面積的熱量。傅立葉定律：熱傳導(dǎo)系數(shù)2023/12/6阜師院數(shù)科院建立熱傳導(dǎo)與擴散間的對比濃度－溫度擴散流強度－熱流強度斐克定律－傅立葉定律＋連續(xù)性方程＝熱傳導(dǎo)方程一維：三維它們形式完全相同，通稱為擴散方程。2023/12/6阜師院數(shù)科院7.穩(wěn)定分布擴散方程的解一般含時不含時的解滿足方程此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足拉普拉斯方程。2023/12/6阜師院數(shù)科院8.真空靜電場高斯定理真空還有又最后：9.薛定諤方程擴散類方程2023/12/6阜師院數(shù)科院7.2定解條件一、常微分方程定解問題回顧對于某個未知函數(shù)，它的微分方程是它的導(dǎo)數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個代數(shù)方程，得導(dǎo)數(shù)。由積分，從導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。通常通過未知函數(shù)在自變量的一個特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分常數(shù)。從而定解。二、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題積分一次，出現(xiàn)一個積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。1.初始條件類似于常微分方程定解過程的初值。偏微分方程，對每個自變量的每次積分都出現(xiàn)一個積分常數(shù)。復(fù)雜！t＝0:初始條件。x,y,z＝0，l:邊界條件自變量特定值：初始“位移”初始“速度”T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程還需要初始速度。2023/12/6阜師院數(shù)科院注：和是空間座標的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！例如t=0:2.邊界條件以一維情況為例特定的時間，變化的空間。特定的空間，變化的時間。邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關(guān)系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩項。不同的邊界條件決定了這兩項的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。A.第一類邊界條件只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān)，與其導(dǎo)數(shù)無關(guān)。如：a.兩端固定的弦振動和如上圖2023/12/6阜師院數(shù)科院b.細桿熱傳導(dǎo)或隨時間變化的溫度恒溫c.擴散恒定濃度，或隨時間變化的濃度。B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定。a.細桿的縱振動。當(dāng)端點“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：b.細桿熱傳導(dǎo)。端點絕熱，熱流強度為零：由傅立葉定律：2023/12/6阜師院數(shù)科院C.第三類邊界條件位移和速度的組合a.細桿熱傳導(dǎo)。端點“自由”冷卻。牛頓冷卻定律：T為環(huán)境溫度。根據(jù)傅立葉定律，在x=l

處：負x方向正x方向在x=0

處2023/12/6阜師院數(shù)科院b.細桿縱振動。端點與固定點彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點一般表達式：這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。3.銜接條件系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點－躍變點。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細桿在

x=0處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍然可以