安徽省合肥市長豐北城衡安學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

衡安學(xué)校20232024年度上學(xué)期高三年級第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷滿分：150時間：120分鐘第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式求解集合B，然后利用集合的關(guān)系及交并補運算逐項判斷即可.【詳解】因為或，又，所以集合不是的子集，故選項A錯誤，，故選項B錯誤，因為，，所以集合不是的子集，故選項C錯誤，，故選項D正確.故選：D.2.已知a，，，若，則的虛部是（）A.2 B.2 C.2i D.2i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等建立方程求解復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)及虛部的概念求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以的虛部是2.故選：A3.設(shè)平面向量，，且，則=（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，求出把兩邊平方，可求得，把所求展開即可求解.【詳解】因為，所以又，則所以，則，故選：4.已知函數(shù)，若實數(shù)a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，根據(jù)結(jié)合函數(shù)的對稱性可得及的范圍，從而求解的范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：設(shè)，且，則函數(shù)與直線的三個交點從左到右依次為，，，則點與在函數(shù)上，而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，由得，若滿足，則，所以，所以，即的取值范圍是.故選：A.5.已知一元二次不等式的解集為，則有（）A.最小值 B.最大值C.最小值2 D.最大值2【答案】B【解析】【分析】由題意先確定參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可將表示成只含有的代數(shù)式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因為一元二次不等式的解集為，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，所以，注意到當(dāng)時，有，所以由基本不等式可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，綜上所述：有最大值.故選：B.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由切弦互換公式、二倍角公式結(jié)合已知求得，然后由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，化簡并整理得，又因為，所以，所以，所以.故選：B.7.的內(nèi)角的對邊分別是，且，邊上的角平分線的長度為，且，則（）A. B. C.3 D.或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，結(jié)合面積公式，求得，即可求解.【詳解】由，因為，可得，又由邊上的角平分線，所以，在中，可得，在中，可得,因為，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因為，可得，即，可得，所以.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，，．若，恒成立，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到的圖象關(guān)于點對稱，再由，，，得到在上單調(diào)遞增，再將，轉(zhuǎn)化為，從而有，即，，然后令，，用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值即可.【詳解】解：由，得，故的圖象關(guān)于點對稱．因為，，，．所以在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，即，．令，，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以．故選：B二、多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則復(fù)數(shù)一定為實數(shù)D.若復(fù)數(shù)滿足，則最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)運算、復(fù)數(shù)模等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由于，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的知識可知，A選項正確.B選項，若，則，但，B選項錯誤.C選項，設(shè)，由得，則，解得，所以為實數(shù)，C選項正確.D選項，由于，所以對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，而表示圓上的點到原點的距離，所以最大值為，D選項正確.故選：ACD10.下列說法正確的是（）A.已知向量，則“的夾角為銳角”是“”的充要條件B.已知向量，若，則C.若向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為D.在中，向量與滿足，則為等邊三角形【答案】BC【解析】【分析】對于A，由的夾角為銳角得且不共線求解判斷；對于B，由可求得；對于C，根據(jù)投影向量的求法判斷；對于D，運算后可判斷.【詳解】對于A，由的夾角為銳角，得且不共線，則，解得且，因此“的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件，A錯誤；對于B，由量，，得，解得，B正確；對于C，由向量，得，因此在方向上的投影向量為，C正確；對于D，在中，，而，因此，所以不一定為等邊三角形，D錯誤.故選：BC11.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值可能為3B.若關(guān)于的方程在上恰有四個實根，則的取值范圍為C.若將的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關(guān)于原點對稱，則的最小值是1D.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸代入得出判斷A，由根的個數(shù)可確定，據(jù)此判斷B，平移后由函數(shù)為奇函數(shù)可得，可判斷C，特殊值檢驗可判斷D.【詳解】對于A，因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以，則，因為，則的值不可能為3，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，若在上恰有四個實根，則，解得，故B正確；對于C，由已知得，因為函數(shù)關(guān)于原點對稱，則為奇函數(shù)，所以，即，因為，所以的最小值是1，故C正確；對于D，當(dāng)時，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故D錯誤．故選：BC．12.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，單調(diào)遞減 B.當(dāng)時，C.若有且僅有一個零點，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出單調(diào)性，即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性判斷B；若，則，設(shè)，即，設(shè)，結(jié)合單調(diào)性求得，即可判斷C；若，則，即，求解可判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時，，，，設(shè)，所以，令得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，因為，所以，單調(diào)遞減，故A正確；對于B：當(dāng)時，，設(shè)，則，令得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，且，所以，設(shè)，，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B正確；對于C：，若，則，設(shè)，即，設(shè)，則，因為，所以，所以在上，單調(diào)遞減，若有且僅有一個零點，則，此時，故C錯誤；對于D：若，則，即，因為單調(diào)遞減，所以，故D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見解題策略：(1)構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；(2)根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分，將答案填在答題紙上）13.為虛數(shù)單位，則__________．【答案】【解析】【分析】利用的指數(shù)冪的周期可計算得出所求代數(shù)式的值.【詳解】，故答案為：.14.在中，，點在線段上且與端點不重合，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用平面向量基本定理可得，利用基本不等式可求得，結(jié)合對數(shù)運算可得結(jié)果.【詳解】，，在線段上且與端點不重合，，且，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，.故答案為：.15.在三角函數(shù)部分，我們研究過二倍角公式，我們還可以用類似方式繼續(xù)得到三倍角公式．根據(jù)你的研究結(jié)果解決如下問題：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用，再根據(jù)整體思想將轉(zhuǎn)化為兩角和的余弦值化簡，再利用誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)可得取值范圍，從而得的取值范圍，代入化簡即可得出結(jié)論.【詳解】三倍角公式：，因為，所以.故，△ABC銳角三角形，故解得，故，．故答案為：16.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為__________【答案】##【解析】【分析】由已知可得，，結(jié)合函數(shù)的圖像得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.詳解】依題意，，，由函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，又當(dāng)時，，時，，作出函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象知，當(dāng)時，有唯一解，而，于是，且，因此，設(shè)，，求導(dǎo)得，令解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以的最大值為，故答案為：四、解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知為三角形的一個內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面上對應(yīng)的點在虛軸上.（1）求；（2）設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，再根據(jù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在虛軸上，由求解；（2）先得到各復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，，，然后利用余弦定理求得一個角，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：∵，∴，，∴；【小問2詳解】由（1）知：，，∴，，∴.在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，，，∴，，，由余弦定理可得，且，∴，∴.18.某網(wǎng)球中心在平方米土地上，欲建數(shù)塊連成片的網(wǎng)球場．每塊球場的建設(shè)面積為平方米．當(dāng)該中心建設(shè)塊球場時，每平方的平均建設(shè)費用（單位：元）可近似地用函數(shù)關(guān)系式來刻畫，此外該中心還需為該工程一次性向政府繳納環(huán)保費用元（1）請寫出當(dāng)網(wǎng)球中心建設(shè)塊球場時，該工程每平方米的綜合費用的表達(dá)式，并指出其定義域（綜合費用是建設(shè)費用與環(huán)保費用之和）；（2）為了使該工程每平方米的綜合費用最省，該網(wǎng)球中心應(yīng)建多少個球場？【答案】（1），定義域為（2）8【解析】【分析】（1）先求出每平方米的平均環(huán)保費用，再根據(jù)綜合費用是建設(shè)費用與環(huán)保費用之和求出的表達(dá)式即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出取最小值時的值即可．【小問1詳解】由題意可知，，因為每平方米的平均環(huán)保費用為元，因為每平方米的平均建設(shè)費用為可近似地用函數(shù)關(guān)系式，所以每平方米的綜合費用，其中函數(shù)的定義域為.【小問2詳解】由（1）可知，則，令得，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值即為最小值，所以當(dāng)該網(wǎng)球中心建8個球場時，該工程每平方米的綜合費用最?。?9.（1）如圖①，在中，為邊上的高，，，，，求的值；（2）如圖②，半徑為1，圓心角為的圓弧上有一點，若，分別為線段，的中點，當(dāng)在圓弧上運動時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得BC，由等面積法可求得AD，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，從而得解．（2）建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法表示出，再利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】（1）因為，所以，，所以，又，，，故由余弦定理可得，則，又，所以，所以，所以.（2）以為原點，為軸，反方向為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，，則，，所以，因為，則，所以，所以.20.已知函數(shù).（1）已知，求最小值；（2）討論函數(shù)單調(diào)性.【答案】（1）0（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以.時，，時，，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故最小值為.【小問2詳解】，時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，當(dāng)或時，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上為減函數(shù).當(dāng)時，上，在上為增函數(shù).當(dāng)時，當(dāng)或時，在和增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù).綜上，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在和上單調(diào)遞增，在上為減函數(shù)；時，在上為增函數(shù)；時，在和為增函數(shù)，在上為減函數(shù).21.某公司規(guī)劃修建一個含生活和娛樂功能的設(shè)施，并在設(shè)施前的小路之間修建一處弓形花園（如圖所示）．已知為上一點，，設(shè)．（1）用表示，并求的最小值；（2）問為何值時，點與主體設(shè)施之間的距離最近？【答案】（1），的最小值為12（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可將分別用表示出來，從而可將表示出來，根據(jù)的范圍以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最小值.（2）由（1）可知，由已知條件可以推出，，從而在中，運用余弦定理即可表示出，通過三角恒等變換化簡表達(dá)式，根據(jù)的范圍以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最小值，以及取最小值時相應(yīng)的的值.【小問1詳解】因為，且，所以，所以，所以，因為，所以，當(dāng)時，即時，，所以的最小值為12．【小問2詳解】因為，所以，所以三角形是等邊三角形，所以，又由（1）可知，所以在中，由余弦定理得因為，所以，當(dāng)，即時，取最小值112，即取最小值，故當(dāng)時，與設(shè)施之間的距離最近．22.已知函數(shù)，，且曲線和在原點處有相同的切線．（1）求實數(shù)a的值：（2）證明：當(dāng)時，；（3）令，且．證明：．【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）對和求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求參數(shù)即可；（2）構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較函數(shù)值大小，即可證結(jié)論；（3）由題設(shè)有，應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化為證，