第04講等邊三角形（原卷版）

第04講等邊三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①等邊三角形的概念與性質(zhì)②等邊三角形的判定③含30°角的直角三角形掌握等邊三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟練判定等腰三角形。掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并對其熟練應(yīng)用。知識點(diǎn)01等邊三角形的概念與性質(zhì)等邊三角形的概念：三條邊都的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的。等邊三角形的性質(zhì)：如圖①等邊三角形的三條邊都，三個(gè)角也，且三個(gè)角都等于°。②等邊三角形三條邊都存在。③等邊三角形是一個(gè)圖形，它有條對稱軸，對稱軸的交點(diǎn)叫做中心。題型考點(diǎn)：①等邊三角形的性質(zhì)求角度與線段。【即學(xué)即練1】1．如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【即學(xué)即練2】2．如圖：等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．60° D．75°【即學(xué)即練3】3．如圖，△ABC中，AD為角平分線，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，則CD的長度為．【即學(xué)即練4】4．如圖，過邊長為4的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為．知識點(diǎn)02含30°角的直角三角形30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系：30°角所對的直角邊等于斜邊的。證明如下：如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC。證明BD＝∵△ABC是等邊三角形∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝?！逜D⊥BC∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝BD＝CD＝BC∴BD＝AB。題型考點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)?！炯磳W(xué)即練1】5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，則CD等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【即學(xué)即練2】6．若等腰三角形的一腰長為a，底角為15°，則這個(gè)等腰三角形腰上的高為（）A．2a B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．與a無關(guān)【即學(xué)即練3】7．如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，則PD的長為2．知識點(diǎn)03等邊三角形的判定等邊三角形的判定：①定義判定：三條邊都的三角形是等邊三角形。②判定定理1：三個(gè)角的三角形是等邊三角形?；蛴袃蓚€(gè)角是的三角形是等邊三角形。③判定定理2：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形。題型考點(diǎn)：等邊三角形判定證明?！炯磳W(xué)即練1】8．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【即學(xué)即練2】9．已知，如圖，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求證：△DEC為等邊三角形．【即學(xué)即練3】10．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于點(diǎn)D，且DE＝DC．求證：△CEB為等邊三角形．【即學(xué)即練4】11．在△ABC中，已知AB＝AC，BE是角平分線．（1）若BE＝AE，求證：∠ABC＝2∠A；（2）若BE⊥AC，求證：△ABC為等邊三角形．題型01等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算長度【典例1】如圖，CD是等邊△ABC的中線，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若DE的長度為3cm，則點(diǎn)D到BC的距離為cm．【典例2】如圖，將邊長為4個(gè)單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移3個(gè)單位得到△A′B′C′，則B′C的長度為．【典例3】如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 C．6 【典例4】如圖，等邊三角形ABC是一塊邊長為20m的草坪，點(diǎn)P是草坪內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P有三條小路PD，PE，PF，且滿足PE∥AB，PF∥BC，PD∥AC，則三條小路的總長度為（）A．10m B．10m C．20m D．20m題型02等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算角度【典例1】等邊三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線相交所成的銳角是30度．【典例2】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【典例3】在△ABC中，點(diǎn)D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【典例4】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分別作等邊三角形ADB和等邊三角形ACE．若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．題型03含30°角的直角三角形的計(jì)算【典例1】如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，則BC＝（）A．3 B．4 C．6 D．不確定【典例2】如圖，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB邊的垂直平分線交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，則AC的長是（）A．13cm cm C．30cm D．6cm【典例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC上，AB⊥AD，AD＝2cm，則BC的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【典例4】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長為（）cm B．2cm cm D．3cm題型04等邊三角形的判定【典例1】下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C【典例2】已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等邊三角形，還需添加一個(gè)條件．現(xiàn)有下面三種說法：①如果添加條件“AB＝AC”，那么△ABC是等邊三角形；②如果添加條件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等邊三角形；③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等邊三角形．上述說法中，正確的有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【典例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【典例4】如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F，且CD＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)∠F＝度時(shí)，△ABC是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．【典例5】在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖1，若點(diǎn)Q是BC上一定點(diǎn)，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？題型05等邊三角形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分線，交AB、BC于點(diǎn)D、E連接CD、AE．求證：（1）△ADC是等邊三角形；（2）點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上．【典例2】已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【典例3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延長線于點(diǎn)G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延長線于點(diǎn)G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．【典例4】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．【典例5】已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠DOE的度數(shù)；（3）求證：△MNC是等邊三角形．1．如圖，直線m∥n，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線n上，∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（）A．40° B．25° C．30° D．35°2．下列對△ABC的判斷，不正確的是（）A．若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°3．老師設(shè)計(jì)了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述下面的題目：“如圖，在△ABC中，∠C＝30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC交BC于E；點(diǎn)O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，甲說：CE＝12；乙說：CB＝20；丙說：△AOB為等邊三角形；丁說：過點(diǎn)O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是錯(cuò)誤的．則“臥底”是（）?A．甲 B．乙 C．丙 D．四個(gè)人都不是臥底4．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC邊的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（）?A．3 B． C．6 D．85．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為（） B．2 C．3 D．46．如圖，∠ABC＝60°，AB＝6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線l運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），當(dāng)△ABP為銳角三角形時(shí)，t的取值范圍是（）A．t＞3 B．t＞6 C．6＜t＜12 D．3＜t＜127．如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝7，∠B＝60°，現(xiàn)將△ABC沿著射線BC的方向平移2個(gè)單位得到△A1B1C1，則△A1B1C的周長是?（）A．15 B．21 C．17 D．198．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)G，BE與AC相交于點(diǎn)F，AD與CE相交于點(diǎn)H，連接FH．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等邊三角形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，木工師傅從邊長為30cm的正三角形ABC木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長為cm．10．如圖，已知∠ABC＝60°，DB＝12，DE＝DF，若EF＝2，則BE＝．11．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C是BO延長線上的一點(diǎn)，OC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝s時(shí)，△POQ是等邊三角形．12．如圖，已知等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點(diǎn)F、G，若∠ADF＝80°，則∠GEC的度數(shù)為．13．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長7cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為15cm，求OA的長．14．如圖，在等邊△ABC中，AC＝12cm，點(diǎn)M以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)N以3cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M，N同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)△BMN為等邊三角形？（2）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)過程中，△BMN的形狀能否為直角三角形，若能，請計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請說明理由．15．已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且