因式分解典型例題

./典型例題一例01選擇題：對運用分組分解法分解因式,分組正確的是〔〔A 〔B〔C 〔D分析本組題目用來判斷分組是否適當.〔A的兩組之間沒有公因式可以提取,因而〔A不正確；〔B的兩組,每一組第一次就沒有公因式可提,故〔B不正確；〔D中兩組也無公因式可提,故〔D不正確.〔C中第一組可提取公因式2,剩下因式；第二組可提取,剩下因式,這樣組間可提公因式,故〔C正確.典型例題二例02用分組分解法分解因式：〔1；〔2.分析本題所給多項式為四項多項式,屬于分組分解法的基本題型,通過分組后提公因式或分組后運用公式可以達到分解的目的.解⑴〔合理分組〔組提公因式〔組間提公因式⑵〔注意符號〔組運用公式〔組間運用公式說明分組分解法應用較為靈活,分組時要有預見性,可根據(jù)分組后"求同"——有公因式或可運用公式的原則來合理分組,達到分解的目的. 另外在應用分組分解法時還應注意：①運用分組分解法時,可靈活選擇分組方法,通常一個多項式分組方法不只一種,只要能達到分解法時,殊途同歸.②分組時要添加帶"－"的括號時,各項要注意改變符號,如⑵的第一步.典型例題三例03分解因式：分析本題按字母的降冪排列整齊,且沒有缺項,系數(shù)分別為,,,.系數(shù)比相等的有或,因而可分組為、或、.解法一〔學會分組的技巧解法二說明根據(jù)"對應系數(shù)成比例"的原則合理分組,可謂分組的一大技巧！典型例題四例04分解因式：分析本例為四項多項式,可考慮用分組分解法來分解.見前例,可用"系數(shù)成比例"的規(guī)律來達到合理分組的目的.解法一解法二說明本例屬于靈活選擇分組方法來進行因式分解的應用題,對于四項式,并不是只要所分組的項數(shù)相等,便可完成因式分解.要使分解成功,需考慮到分組后能否繼續(xù)分解.本小題利用"對應系數(shù)成比例"的規(guī)律進行巧妙分組,可謂思維的獨到之處,這樣避免了盲目性,提高了分解的速度.典型例題五例05把下列各式分解因式：〔1；〔2；〔3.分析此組題項數(shù)較多,考慮用分組法來分解.解法〔1〔2〔3說明對于項數(shù)較多的多項式合理分組時,以"交叉項"為突破口,尋找"相應的平方項"進行分組,這使分組有了一定的針對性,省時提速.如⑴中,"交叉項"為,相應的平方項為、；⑵中,"交叉項"為,相應的平方項為、.典型例題六例06分解因式：〔1；〔2.分析本題兩例屬于型的二次三項式,可用規(guī)律公式來加以分解.解〔1,,〔2,,.說明抓住符號變化的規(guī)律,直接運用規(guī)律.典型例題七例07分解因式：〔1；〔2.分析對〔1,利用整體思想,將看作一個字母,則運用型分解；對〔2,將其看作關于的二次三項式,則一次項系數(shù)為,常數(shù)項為,仍可用型的二次三項式的規(guī)律公式達到分解的目的.解〔1〔2,,.典型例題八例08分解因式：⑴；⑵；⑶；⑷.分析本組題有較強的綜合性,且每小題均超過三項,因而可考慮通過分組來分解.解⑴法一：〔可繼續(xù)分解,方法很簡單：,對于方法類似,可以自己探索法二：法三：⑵〔看作型式子分解⑶⑷說明⑴中,雖然三法均達到分解目的,但從目前同學們知識圍來看,方法二較好,分組既要合理又要巧妙,使分組不僅達到分解目的,又能簡化分解過程,降低思維難度.⑵式雖超過四項,但通過分組仍可巧妙分解,只是分組后不是通常的提公因式或運用公式,而是利用了型二次三項式的因式分解.將看做關于的二次三項式,.⑶式表面看無法分解,既找不到公因式,又不符合公式特點,對待此類題目,應采用"先破后立"的方式來解決.即先做多項式乘法打破原式結構,然后尋找合適的方法.⑷式項數(shù)多,但仔細觀察,項與項之間有著在聯(lián)系,可通過巧妙分組以求突破.但應注意：①不可混淆因式分解與整式乘法的意義.如⑶小題中做乘法的目的是為了分解因式,不可在分解中,半路再返回做乘法.②善于將外在形式復雜的題目看做熟悉類型,如⑵小題中.典型例題九例09分解因式：〔1；〔2分析本組兩個小題既無公因式可提又不符合公式特點,原題本身給出的分組形式無法繼續(xù)進行,達到分解的目的,對此類型題,可采用先去括號,再重新分組來進行因式分解.解⑴〔乘法運算,去括號〔重新分組⑵〔乘法運算去括號〔重新分組說明"先破后立,不破不立".思維的獨創(chuàng)性使表面看來無法分解的多項式找到最佳的分解方式.典型例題十例10 分解因式分析因式分解一般思路是："一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式〔十字相乘法".即：首先考慮是否有公因式可提,若有公因式,先提取公因式；其次考慮可否套用公式,用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對形如二次三項式或準二次三項式可以考慮用"規(guī)律式"〔或十字相乘法分解.按照這樣的思路,本題首應考慮用分組分解來嘗試.解說明當時,多項式值為0,因而是的一個因式,因此,可從"湊因子"的角度考慮,把6拆成,使分組可行,分解成功.運用"湊因子"的技巧還可得出以下分解方法.法二：法三：〔湊立方項法四：〔與湊立方項〔套用公式法五：〔拆項法六：〔湊平方差公式變項法七：令則〔為多項式一個因式,做變換〔做乘法展開〔還原回說明以上七種方法中,前六種運用了因式分解的一種常用技巧——"拆項"〔或添項,這種技巧以基本方法為線索,通過湊因式、湊公式等形式達到可分組繼而能分解的目的."湊"時,需思、需悟、觸發(fā)靈感.第七種運用了變換的方法,通過換元尋找突破點.本題還可以如下變形：＝＝……典型例題十一例11 若是完全平方式,求的值.分析原式為完全平方式,由,即知為,展開即得值.解是完全平方式應為又,故.說明完全平方式分為完全平方和與完全平方差,確定值時不要漏掉各種情況.此題為因式分解的逆向思維類,運用來求解.典型例題十二例11把下列各式分解因式：〔1；〔2〔3解：〔1由于16可以看作,于是有；〔2由冪的乘方公式,可以看作,可以看作,于是有；〔3由積的乘方公式,可以看作,于是有說明〔1多項式具有如下特征時,可以運用完全平方公式作因式分解：①可以看成是關于某個字母的二次三項式；②其中有兩項可以分別看作是兩數(shù)的平方形式,且符號相同；③其余的一項恰是這兩數(shù)乘積的2倍,或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù).而結果是"和"的平方還是"差"的平方,取決于它的符號與平方項前的符號是否相同.〔2在運用完全平方公式的過程中,再次體現(xiàn)換元思想的應用,可見換元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解,學會運用.典型例題十三例12 求證：對于任意自然數(shù),一定是10的倍數(shù).分析欲證是10的倍數(shù),看原式可否化成含10的因式的積的形式.證明是10的倍數(shù),一定是10的倍數(shù).典型例題十四例13因式分解〔1；〔2解：〔1或；〔2或說明：〔1把有公因式的各項歸為一組,并使組之間產(chǎn)生新的公因式,這是正確分組的關鍵所在。因此,分組分解因式要有預見性；〔2分組的方法不唯一,而合理的選擇分組方案,會使分解過程簡單；〔3分組時要用到添括號法則,注意在添加帶有負號的括號時,括號每項的符號都要改變；〔4實際上,分組只是為實際分解創(chuàng)造了條件,并沒有直接達到分解典型例題十五例14把下列各式分解因式：〔1；〔2；〔3解：〔1〔2〔3或或說明：〔1要善于觀察多項式中存在的公式形式,以便恰當?shù)胤纸M；同時還要注意統(tǒng)觀全局,不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組。如,,就會分解不下去了；〔2有公因式時,"首先考慮提取公因式"是因式分解中始終不變的原則,在這里,當提取公因式后更便于觀察分組情況,預測結果；〔3對于一道題中的多種分組方法,要善于選擇使分解過程簡單的分組方法,如題中前兩種分組顯然優(yōu)于后者。典型例題十六例15把下列各式分解因式〔1；〔2.分析〔1的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項=,一次項系數(shù)1=,故這是一個型式子.〔2的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項=,一次項系數(shù),故這也是一個型式子.解：〔1因為=,并且1=,所以=.<2>因為=,,所以=.說明：因式分解時常數(shù)項因數(shù)分解的一般規(guī)律：〔1常數(shù)項是正數(shù)時,它分解成兩個同號因數(shù),它們和一次項系數(shù)符號相同.<2>常數(shù)項是負數(shù)時,它分解成兩個異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)和一次項系數(shù)的符號相同.典型例題十七例16將分解因式分