因式分解典型例題

./典型例題一例01選擇題：對(duì)運(yùn)用分組分解法分解因式,分組正確的是〔〔A 〔B〔C 〔D分析本組題目用來(lái)判斷分組是否適當(dāng).〔A的兩組之間沒有公因式可以提取,因而〔A不正確；〔B的兩組,每一組第一次就沒有公因式可提,故〔B不正確；〔D中兩組也無(wú)公因式可提,故〔D不正確.〔C中第一組可提取公因式2,剩下因式；第二組可提取,剩下因式,這樣組間可提公因式,故〔C正確.典型例題二例02用分組分解法分解因式：〔1；〔2.分析本題所給多項(xiàng)式為四項(xiàng)多項(xiàng)式,屬于分組分解法的基本題型,通過(guò)分組后提公因式或分組后運(yùn)用公式可以達(dá)到分解的目的.解⑴〔合理分組〔組提公因式〔組間提公因式⑵〔注意符號(hào)〔組運(yùn)用公式〔組間運(yùn)用公式說(shuō)明分組分解法應(yīng)用較為靈活,分組時(shí)要有預(yù)見性,可根據(jù)分組后"求同"——有公因式或可運(yùn)用公式的原則來(lái)合理分組,達(dá)到分解的目的. 另外在應(yīng)用分組分解法時(shí)還應(yīng)注意：①運(yùn)用分組分解法時(shí),可靈活選擇分組方法,通常一個(gè)多項(xiàng)式分組方法不只一種,只要能達(dá)到分解法時(shí),殊途同歸.②分組時(shí)要添加帶"－"的括號(hào)時(shí),各項(xiàng)要注意改變符號(hào),如⑵的第一步.典型例題三例03分解因式：分析本題按字母的降冪排列整齊,且沒有缺項(xiàng),系數(shù)分別為,,,.系數(shù)比相等的有或,因而可分組為、或、.解法一〔學(xué)會(huì)分組的技巧解法二說(shuō)明根據(jù)"對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例"的原則合理分組,可謂分組的一大技巧！典型例題四例04分解因式：分析本例為四項(xiàng)多項(xiàng)式,可考慮用分組分解法來(lái)分解.見前例,可用"系數(shù)成比例"的規(guī)律來(lái)達(dá)到合理分組的目的.解法一解法二說(shuō)明本例屬于靈活選擇分組方法來(lái)進(jìn)行因式分解的應(yīng)用題,對(duì)于四項(xiàng)式,并不是只要所分組的項(xiàng)數(shù)相等,便可完成因式分解.要使分解成功,需考慮到分組后能否繼續(xù)分解.本小題利用"對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例"的規(guī)律進(jìn)行巧妙分組,可謂思維的獨(dú)到之處,這樣避免了盲目性,提高了分解的速度.典型例題五例05把下列各式分解因式：〔1；〔2；〔3.分析此組題項(xiàng)數(shù)較多,考慮用分組法來(lái)分解.解法〔1〔2〔3說(shuō)明對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式合理分組時(shí),以"交叉項(xiàng)"為突破口,尋找"相應(yīng)的平方項(xiàng)"進(jìn)行分組,這使分組有了一定的針對(duì)性,省時(shí)提速.如⑴中,"交叉項(xiàng)"為,相應(yīng)的平方項(xiàng)為、；⑵中,"交叉項(xiàng)"為,相應(yīng)的平方項(xiàng)為、.典型例題六例06分解因式：〔1；〔2.分析本題兩例屬于型的二次三項(xiàng)式,可用規(guī)律公式來(lái)加以分解.解〔1,,〔2,,.說(shuō)明抓住符號(hào)變化的規(guī)律,直接運(yùn)用規(guī)律.典型例題七例07分解因式：〔1；〔2.分析對(duì)〔1,利用整體思想,將看作一個(gè)字母,則運(yùn)用型分解；對(duì)〔2,將其看作關(guān)于的二次三項(xiàng)式,則一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為,仍可用型的二次三項(xiàng)式的規(guī)律公式達(dá)到分解的目的.解〔1〔2,,.典型例題八例08分解因式：⑴；⑵；⑶；⑷.分析本組題有較強(qiáng)的綜合性,且每小題均超過(guò)三項(xiàng),因而可考慮通過(guò)分組來(lái)分解.解⑴法一：〔可繼續(xù)分解,方法很簡(jiǎn)單：,對(duì)于方法類似,可以自己探索法二：法三：⑵〔看作型式子分解⑶⑷說(shuō)明⑴中,雖然三法均達(dá)到分解目的,但從目前同學(xué)們知識(shí)圍來(lái)看,方法二較好,分組既要合理又要巧妙,使分組不僅達(dá)到分解目的,又能簡(jiǎn)化分解過(guò)程,降低思維難度.⑵式雖超過(guò)四項(xiàng),但通過(guò)分組仍可巧妙分解,只是分組后不是通常的提公因式或運(yùn)用公式,而是利用了型二次三項(xiàng)式的因式分解.將看做關(guān)于的二次三項(xiàng)式,.⑶式表面看無(wú)法分解,既找不到公因式,又不符合公式特點(diǎn),對(duì)待此類題目,應(yīng)采用"先破后立"的方式來(lái)解決.即先做多項(xiàng)式乘法打破原式結(jié)構(gòu),然后尋找合適的方法.⑷式項(xiàng)數(shù)多,但仔細(xì)觀察,項(xiàng)與項(xiàng)之間有著在聯(lián)系,可通過(guò)巧妙分組以求突破.但應(yīng)注意：①不可混淆因式分解與整式乘法的意義.如⑶小題中做乘法的目的是為了分解因式,不可在分解中,半路再返回做乘法.②善于將外在形式復(fù)雜的題目看做熟悉類型,如⑵小題中.典型例題九例09分解因式：〔1；〔2分析本組兩個(gè)小題既無(wú)公因式可提又不符合公式特點(diǎn),原題本身給出的分組形式無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行,達(dá)到分解的目的,對(duì)此類型題,可采用先去括號(hào),再重新分組來(lái)進(jìn)行因式分解.解⑴〔乘法運(yùn)算,去括號(hào)〔重新分組⑵〔乘法運(yùn)算去括號(hào)〔重新分組說(shuō)明"先破后立,不破不立".思維的獨(dú)創(chuàng)性使表面看來(lái)無(wú)法分解的多項(xiàng)式找到最佳的分解方式.典型例題十例10 分解因式分析因式分解一般思路是："一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式〔十字相乘法".即：首先考慮是否有公因式可提,若有公因式,先提取公因式；其次考慮可否套用公式,用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對(duì)形如二次三項(xiàng)式或準(zhǔn)二次三項(xiàng)式可以考慮用"規(guī)律式"〔或十字相乘法分解.按照這樣的思路,本題首應(yīng)考慮用分組分解來(lái)嘗試.解說(shuō)明當(dāng)時(shí),多項(xiàng)式值為0,因而是的一個(gè)因式,因此,可從"湊因子"的角度考慮,把6拆成,使分組可行,分解成功.運(yùn)用"湊因子"的技巧還可得出以下分解方法.法二：法三：〔湊立方項(xiàng)法四：〔與湊立方項(xiàng)〔套用公式法五：〔拆項(xiàng)法六：〔湊平方差公式變項(xiàng)法七：令則〔為多項(xiàng)式一個(gè)因式,做變換〔做乘法展開〔還原回說(shuō)明以上七種方法中,前六種運(yùn)用了因式分解的一種常用技巧——"拆項(xiàng)"〔或添項(xiàng),這種技巧以基本方法為線索,通過(guò)湊因式、湊公式等形式達(dá)到可分組繼而能分解的目的."湊"時(shí),需思、需悟、觸發(fā)靈感.第七種運(yùn)用了變換的方法,通過(guò)換元尋找突破點(diǎn).本題還可以如下變形：＝＝……典型例題十一例11 若是完全平方式,求的值.分析原式為完全平方式,由,即知為,展開即得值.解是完全平方式應(yīng)為又,故.說(shuō)明完全平方式分為完全平方和與完全平方差,確定值時(shí)不要漏掉各種情況.此題為因式分解的逆向思維類,運(yùn)用來(lái)求解.典型例題十二例11把下列各式分解因式：〔1；〔2〔3解：〔1由于16可以看作,于是有；〔2由冪的乘方公式,可以看作,可以看作,于是有；〔3由積的乘方公式,可以看作,于是有說(shuō)明〔1多項(xiàng)式具有如下特征時(shí),可以運(yùn)用完全平方公式作因式分解：①可以看成是關(guān)于某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式；②其中有兩項(xiàng)可以分別看作是兩數(shù)的平方形式,且符號(hào)相同；③其余的一項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積的2倍,或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù).而結(jié)果是"和"的平方還是"差"的平方,取決于它的符號(hào)與平方項(xiàng)前的符號(hào)是否相同.〔2在運(yùn)用完全平方公式的過(guò)程中,再次體現(xiàn)換元思想的應(yīng)用,可見換元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解,學(xué)會(huì)運(yùn)用.典型例題十三例12 求證：對(duì)于任意自然數(shù),一定是10的倍數(shù).分析欲證是10的倍數(shù),看原式可否化成含10的因式的積的形式.證明是10的倍數(shù),一定是10的倍數(shù).典型例題十四例13因式分解〔1；〔2解：〔1或；〔2或說(shuō)明：〔1把有公因式的各項(xiàng)歸為一組,并使組之間產(chǎn)生新的公因式,這是正確分組的關(guān)鍵所在。因此,分組分解因式要有預(yù)見性；〔2分組的方法不唯一,而合理的選擇分組方案,會(huì)使分解過(guò)程簡(jiǎn)單；〔3分組時(shí)要用到添括號(hào)法則,注意在添加帶有負(fù)號(hào)的括號(hào)時(shí),括號(hào)每項(xiàng)的符號(hào)都要改變；〔4實(shí)際上,分組只是為實(shí)際分解創(chuàng)造了條件,并沒有直接達(dá)到分解典型例題十五例14把下列各式分解因式：〔1；〔2；〔3解：〔1〔2〔3或或說(shuō)明：〔1要善于觀察多項(xiàng)式中存在的公式形式,以便恰當(dāng)?shù)胤纸M；同時(shí)還要注意統(tǒng)觀全局,不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組。如,,就會(huì)分解不下去了；〔2有公因式時(shí),"首先考慮提取公因式"是因式分解中始終不變的原則,在這里,當(dāng)提取公因式后更便于觀察分組情況,預(yù)測(cè)結(jié)果；〔3對(duì)于一道題中的多種分組方法,要善于選擇使分解過(guò)程簡(jiǎn)單的分組方法,如題中前兩種分組顯然優(yōu)于后者。典型例題十六例15把下列各式分解因式〔1；〔2.分析〔1的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)=,一次項(xiàng)系數(shù)1=,故這是一個(gè)型式子.〔2的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)=,一次項(xiàng)系數(shù),故這也是一個(gè)型式子.解：〔1因?yàn)?,并且1=,所以=.<2>因?yàn)?,,所以=.說(shuō)明：因式分解時(shí)常數(shù)項(xiàng)因數(shù)分解的一般規(guī)律：〔1常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí),它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同.<2>常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí),它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.典型例題十七例16將分解因式分