4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式（第2課時）（教學設計）（人教A版2019選擇性必修第二冊）

.3.2等比數(shù)列的前n項和公式（第2課時）教學設計課時教學內容等比數(shù)列前n項和公式的推導及簡單應用.課時教學目標1.能夠把實際問題轉化成數(shù)列問題.2.進一步熟悉通過建立數(shù)列模型并應用數(shù)列模型解決實際問題的過程．教學重點、難點教學重點：等比數(shù)列前n項和的性質；等比數(shù)列前n項和公式的推導(錯位相減法）及簡單應用。教學難點：運用所學知識解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用問題.教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題回顧上節(jié)課內容總結為：分類討論的思想：(1)利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論．(2)研究等比數(shù)列的單調性時應進行討論：當a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時為遞增數(shù)列；當a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時為遞減數(shù)列；當q<0時為擺動數(shù)列；當q＝1時為常數(shù)列．2．函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．等比數(shù)列前n項和Sn＝eq\f(a1,q－1)·(qn－1)(q≠1)． 設A＝eq\f(a1,q－1)，則Sn＝A(qn－1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．3．整體思想：應用等比數(shù)列前n項和時，常把qn，eq\f(a1,1－q)當成整體求解．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例10如圖4.3-2，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列．解：設正方形ABCD的面積為，后繼各正方形的面積依次為，，…，，…，則．由于第個正方形的頂點分別是第個正方形各邊的中點，所以．你能說明理由嗎？因此，是以25為首項，為公比的等比數(shù)列．設的前項和為．（1）．所以，前10個正方形的面積之和為．（2）當無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和．而．隨著的無限增大，將趨近于0，將趨近于50．所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念例11去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構成等差數(shù)列．因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算．解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數(shù)列，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數(shù)列，年內通過填埋方式處理的垃圾總量為（單位：萬噸），則，，．當時，．所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例12某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）求的值(精確到1)．分析：（1）可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立與的關系；（2）這是待定系數(shù)法的應用，可以將它還原為（1）中的遞推公式的形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；（3）利用（2）的結論可得出解答．解：（1）由題意，得，并且 ①（2）將化成 ②比較①的系數(shù)，可得，解這個方程組，得．所以，（1）中的遞推公式可以化為．環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內化（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以．利用遞推公式，借助于電子表格的計算，能快捷地求得（3）的結果．你可以試一試．環(huán)節(jié)六歸納總結,反思提升問題：請同學們回顧本節(jié)課的學習內容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1．知識清單：(1)構造等比數(shù)列．(2)建立數(shù)學模型．2．方法歸納：構造法、轉化法．3．常見誤區(qū)：在實際問題中首項和項數(shù)弄錯．環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第40頁練習第1，2，3,4題第40頁習題4.3第1,2題練習（第40頁）1．某教育網(wǎng)站本月的用戶為500人．網(wǎng)站改造后，預計平均每月的用戶都比上一個月增加10%，那么從本月起，大約經(jīng)過幾個月可使用戶達到1萬人（精確到1)?1．解析：依題意平均每月的用戶都比上一個月增加10%，所以從本月起，每月的用戶構成一個等比數(shù)列，且，，由，得，兩邊取對數(shù)得，所以，．故大約經(jīng)過11個月可使用戶達到1萬人．2．一個乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍．（1）當它第6次著地時，經(jīng)過的總路程是多少（精確到1cm)?（2）至少在第幾次著地后，它經(jīng)過的總路程能達到400cm?（參考數(shù)據(jù)，，）2．解析：（1）依題意第一次反彈的高度，第二次反彈的高度，…，第次反彈的高度，當它第次著地時，經(jīng)過的路程是：．當時，經(jīng)過的路程：．所以它第6次著地時，經(jīng)過的總路程是387cm．（2）至少在第次著地后，它經(jīng)過的總路程能達到，則，即，即，所以，即故至少在第7次著地后，它經(jīng)過的總路程能達到400cm．3．某牛奶廠2015年初有資金1000萬元，由于引進了先進生產(chǎn)設備，資金年平均增長率可達到50%．每年年底扣除下一年的消費基金后，剩余資金投入再生產(chǎn)．這家牛奶廠每年應扣除多少消費基金，才能實現(xiàn)經(jīng)過5年資金達到2000萬元的目標（精確到1萬元)?3．解析：設這家牛奶廠每年應扣除萬元消費基金，則：第一年剩余資金為：，第二年剩余資金為：，以此類推，第五年剩余資金為：，由題意知，，即，解得：，故這家牛奶廠每年應扣除458萬元消費基金，才能實現(xiàn)預期目標．4．已知數(shù)列的前項和為，若，求．4．解析：(方法一)，，，，．為等比數(shù)列，公比，又，，，，．(方法二)，∴當時，，．設，．，．，是等比數(shù)列，公比為2．又，，，．，．習題4.3（第40頁）1．已知數(shù)列是等比數(shù)列．（1）若，，求q與；（2）若，，求．1．【解析】（1）由數(shù)列是等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，即，解得，所以．（2）設等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，即，解得或，當時，可得，則；當時，可得，則．2．已知是一個無窮等比數(shù)列，公比為．（1）將數(shù)列中的前項去掉，剩余項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是，它的首項與公比分別是多少?（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是，它的首項與公比分別是多少?（3）在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是，它的公比是多少?你能根據(jù)得到的結論作出關于等比數(shù)列的一個猜想嗎?2．解析：（1）將數(shù)列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列．它的首項為，公比為；（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列．它的首項為，公比為；（3）在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列．它的公比是，我們由此可以得到一個結論：在數(shù)列中，每隔項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比為．3．求和：（1）；（2）．3．解析：（1）；（2）當時：當時：記，得：，得：，化簡得：，綜上所述：．4．放射性元素在時的原子核總數(shù)為，經(jīng)過一年原子核總數(shù)衰變?yōu)?，常?shù)稱為年衰變率．考古學中常利用死亡的生物體中碳14元素穩(wěn)定持續(xù)衰變的現(xiàn)象測定遺址的年代．已知碳14的半衰期為5730年．（1）碳14的年衰變率為多少（精確到)?（2）某動物標本中碳14含量為正常大氣中碳14含量的(即衰變了)，該動物的死亡時間大約距今多少年?4．解析：（1）設生物體死亡時，體內每克組織中的碳14的含量為1，每年的衰變率為，n年后的殘留量為，則是一個等比數(shù)列．由碳14的半衰期為5730，則，解得：．即碳14的年衰變率為；（2）設動物約在距今n年前死亡，由，得，解得，所以動物約在距今4221年前死亡．5．已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列．求證：，，成等差數(shù)列．5．解析：(解法一)因為，，成等差數(shù)列，所以．（1）當時：，，，代入，解得．不滿足題意．（2）當時：，，，代入，得．化簡得．所以，即．，所以．所以，，成等差數(shù)列．(解法二)因為，，成等差數(shù)列，所以．而，，，或，或，又無解，所以，所以．所以，即．，所以．所以，，成等差數(shù)列．6．求下列數(shù)列的一個通項公式和一個前項和公式：1，11，111，1111，11111，…．6．解析：，．7．已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前項和．7．解析：（1）由題意，數(shù)列滿足，即，則，又由，可得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，所以，當為偶數(shù)時，可得；當為奇數(shù)時，可得，綜上可得，．8．若數(shù)列的首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式及前10項的和．8．解析：，，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，即，．9．在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要幾輪傳染？需要多少天?（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．9．解析：每一輪被感染的人數(shù)組成一個首項為，公比的等比數(shù)列，其通項公式為，前項和．由題意可知，將代人，可得，即．因此，大約經(jīng)過5輪傳染，即35天后，感染人數(shù)增加到1000人．10．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．若是數(shù)列的前項積，求的最大值．10．解：，．當或11時，最大，最大值為．11．已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求滿足條件