4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第1課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第二冊）

.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用．2.會用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．3．能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(錯(cuò)位相減法）及簡單應(yīng)用。2．教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法（錯(cuò)位相減法）的理解。會用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的實(shí)際問題.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題1：相傳國際象棋起源于古印度，是西薩發(fā)明的。國王要獎(jiǎng)勵(lì)西薩,西薩說：“請?jiān)谄灞P第1個(gè)格子里放1顆麥粒,在第2個(gè)格子里放2顆麥粒,在第3個(gè)格子里放4顆麥粒,在第4個(gè)格子里放8顆麥粒,依此類推,每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一格子里所放麥粒數(shù)的2倍,直到第64個(gè)格子.請給我足夠糧食來實(shí)現(xiàn)上述要求!”你知道西薩要多少粒小麥嗎？國王能滿足西薩的要求嗎？國際象棋起源于古印度．相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么．發(fā)明者說：“請?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子．請給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求．”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了．已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言．追問1把各格所放麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列,可以得到一個(gè)怎樣的數(shù)列?能寫出它的通項(xiàng)公式嗎？讓我們一起來分析一下．如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1，公比是2，求第1個(gè)格子到第64個(gè)格子各格所放的麥粒數(shù)總和就是求這個(gè)等比數(shù)列前64項(xiàng)的和．追問2各格所放麥?？倲?shù)如何求？一般地，如何求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢?設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的前n項(xiàng)和是．探究1：這個(gè)和式右邊任意相鄰兩項(xiàng)有何特點(diǎn)？引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生觀察，尋求等式規(guī)律，每一項(xiàng)都乘以，就變成了它的后一項(xiàng).根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，上式可寫成． ①探究2：若在此等式兩邊同以，得到②式，比較①,②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)：①,②兩式有若干相同項(xiàng)，可兩式相減求.我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘①的兩邊，可得 ②探究3：兩邊同乘的2是等比數(shù)列的什么？乘2的作用是什么？兩邊同乘的是等比數(shù)列的公比，乘后所得新等式與原式有n-1項(xiàng)相同，兩式相減可消去相同項(xiàng)，突破難點(diǎn)。①②兩式的右邊有很多相同的項(xiàng)，用①的兩邊分別減去②的兩邊，追問1兩個(gè)等式相減后，還剩下哪些項(xiàng)，相減后符號如何？就可以消去這些相同的項(xiàng)，可得，即．追問2由得到正確嗎？因此，當(dāng)時(shí)，我們就得到了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式 （1）因?yàn)?，所以公式?）還可以寫成 （2）追問3若q=1，{an}是什么數(shù)列，前項(xiàng)和等于什么？引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類討論。當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和等于多少?公式分析(1)知三求二：nqa1anSn(2)n的含義：項(xiàng)數(shù)(3)注意對q分類討論(4)錯(cuò)位相減法：乘公比（作用是構(gòu)造相同項(xiàng)）后錯(cuò)開一項(xiàng)再相減。有了上述公式，就可以解決本小節(jié)開頭提出的問題了．由，，可得．這個(gè)數(shù)很大，超過了．如果一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸，約是2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量的981倍．因此，國王根本不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例7已知數(shù)列是等比數(shù)列．（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求．對于等比數(shù)列的相關(guān)量，，，，，已知幾個(gè)量就可以確定其他量?解：（1）因?yàn)?，，所以．?）由，，可得．即．又由，得．所以．（3）把，，，代入，得．整理，得．解得．【設(shè)計(jì)意圖】已知前n項(xiàng)和會合理選擇公式逆向求解數(shù)列基本量，進(jìn)一步理解公式特點(diǎn)，深化對公式的理解和應(yīng)用。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念例8已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為．若，求公比．解：若，則．所以．當(dāng)時(shí)，由，得．整理，得．即．所以．解法二：，所以，所以．【設(shè)計(jì)意圖】等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，一題多解有利于提高學(xué)生思維的深度和靈活性；環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例9已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為．證明，，成等比數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的公比．證明：當(dāng)時(shí)，，，，所以，，成等比數(shù)列，公比為1．當(dāng)時(shí)，，，，所以．因?yàn)闉槌?shù)，所以，，成等比數(shù)列，公比為．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化想一想，不用分類討論的方式能否證明該結(jié)論？證明：，，所以．因?yàn)闉槌?shù)，所以，，成等比數(shù)列，公比為．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識清單：(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”．(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減的方法．(3)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)．2．方法歸納：錯(cuò)位相減法、方程(組)思想、分類討論．3．常見誤區(qū)：(1)前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類討論，即q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．(2)錯(cuò)位相減法中粗心出錯(cuò)．(3)忽略對參數(shù)的討論．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第37頁練習(xí)第1，2，3,4題練習(xí)（第37頁）1．已知數(shù)列是等比數(shù)列．（1）若，，，求；（2）若，，，求；（3）若，，求與q．1．【解析】（1）因?yàn)?，，，可得．?）因?yàn)?，，且，所以．?）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，解得，．解法二：，將，代入，得，，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．2．已知，且．對于，證明：．證明：記，因?yàn)?，且，所以兩邊同乘以，得：，所以，所以．所以，即證．方法二：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為，共有項(xiàng)的等比數(shù)列．所以．特別地，當(dāng)時(shí)，，即，即立方差公式．3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．求和．3．解析：，解得或．即或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．4．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64．求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比．4．解析：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，，，則滿足．由題意可得，，聯(lián)立方程組，可得，，或，，，當(dāng)這三個(gè)數(shù)為，，，可得這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比