4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時）（教學設計）（人教A版2019選擇性必修第二冊）

.2.1等差數(shù)列的概念第1課時教學設計課時教學內(nèi)容等差數(shù)列的概念,等差數(shù)列的通項公式及應用,等差數(shù)列的通項公式的推導.課時教學目標理解等差數(shù)列、等差中項的概念.掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法．教學重點、難點重點：掌握等差數(shù)列的通項公式、理解等差數(shù)列及等差中項的概念．難點：等差數(shù)列的通項公式推導及應用、掌握等差數(shù)列的判定方法.教學過程設計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引入課題【實際情境】（1）1896年，雅典舉行了第一屆現(xiàn)代奧運會，到2008年的北京奧運會已經(jīng)是第29屆奧運會。觀察奧運會舉辦的年份所對應的數(shù)列：

1896，1900，1904，…，2008，2012，（

）

你能預測出第33屆奧運會的時間嗎？學生口答：2024.2024如何預測出來的？

根據(jù)已有數(shù)的規(guī)律，每兩個相鄰數(shù)之間相差4，而且后一個數(shù)總比前一個數(shù)多4.

【設計意圖】創(chuàng)設奧運會的數(shù)學情境，以問題為導向，這樣的導入貼近學生的實際生活，引起學生極大的興趣.用這一實例，借助于實際意義讓學生感受“等差數(shù)列”的問題是自然、清楚、明白的.【實際情境】下面，我們再來觀察幾個生活當中的數(shù)列.引入三個生活問題中的數(shù)列：

(2)2000年女子舉重4個體重級別：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25,108.5,112.75,117,121.25，……(4)氣溫隨高度的變化/km：28,21.5,15,8.5,2,-4.5.【設計意圖】由生活情境的多個數(shù)列引出下面的探究問題.我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容（如單調(diào)性、奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型．類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并運用它們解決實際問題和數(shù)學問題，從中感受數(shù)學模型的現(xiàn)實意義與應用．下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念請看下面幾個問題中的數(shù)列．1．北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應的尺碼分別是38，40，42，44，46，48． ②3．測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③4．某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年．如果個人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應還本金元，每月支付給銀行的利息（單位：元）依次為，，，，…． ④如果按月還款，等額本金還款方式的計算公式是每月歸還本金=貸款總額÷貸款期總月數(shù)，利息部分=（貸款總額一已歸還本金累計額）×月利率．對于①，我們發(fā)現(xiàn)，，…，，換一種寫法，就是，，…，．改變表達方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了．如果用表示數(shù)列①，那么有，，…，．這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)．數(shù)列②~④也有這樣的取值規(guī)律．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考在代數(shù)的學習中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律．例如，在指數(shù)函數(shù)的學習中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A，B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律．類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？問題1：什么是等差數(shù)列？一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmeticprogression），這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（commondifference），公差通常用字母表示．例如，數(shù)列①的公差．由三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，叫做與的等差中項（arithmeticmean）．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，．在日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列．例如，在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級（如前面例子中的上衣尺碼）．你能舉出一些例子嗎？問題2：如何求an？探究你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

追問1：如果已知一個等差數(shù)列的首項是a1，公差是d

，那么這個數(shù)列的通項an能求出來嗎？設一個等差數(shù)列的首項為，公差為．根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得，就是等差數(shù)列的遞推公式．所以，，，…．于是……歸納可得．當時，上式為．這就是說，上式當時也成立．注：需要特別強調(diào)的是，由猜想歸納得出這個通項公式的方法稱作不完全歸納法，這種方法僅僅是猜想出來的結論，沒有說服力，嚴格的證明需要——數(shù)學歸納法，將在以后學習.

因此，首項為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為．這種求通項公式的方法叫累加法,是探討數(shù)列通項的一種常見方法.后續(xù)的學習還會繼續(xù)研究.我們在這里的要求是:需要你記住這個公式，它是解決等差數(shù)列通項公式的主要方法.

說明：通項公式中，有四個量:首項a1，公差d，序號n和第n項an，知道其中的任意三個量，就可以求出另一個量，即知三求一

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環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念思考觀察等差數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關？由于，所以當時，等差數(shù)列的第項是一次函數(shù)當時的函數(shù)值，即．如圖4.2-1，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，就得到一條斜率為，截距為的直線．在這條直線上描出點，，…，，…，就得到了等差數(shù)列的圖象．事實上，公差的等差數(shù)列的圖象是點組成的集合，這些點均勻分布在直線上．反之，任給一次函數(shù)（為常數(shù))，則，，…，，…，構成一個等差數(shù)列，其首項為，公差為．下面，我們利用通項公式解決等差數(shù)列的一些問題．環(huán)節(jié)五概念應用，鞏固內(nèi)化例1（1）已知等差數(shù)列的通項公式為，求的公差和首項．（2）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項．分析：（1）已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由即可求出公差；（2）可以先根據(jù)數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列的第20項．解：（1）當時，由的通項公式，可得．于是．把代入通項公式，得．所以，的公差為，首項為3．（2）由已知條件，得．把，代入，得．把代入上式，得．所以，這個數(shù)列的第20項是．說明：這道題是在等差數(shù)列通項公式的四個量中，知道a1，d,n,求an.體現(xiàn)了等差數(shù)列通項公式中“知三求一”的方程思想例2是不是等差數(shù)列的項？如果是，是第幾項?分析：先求出數(shù)列的通項公式，它是一個關于的方程，再看是否能使這個方程有正整數(shù)解．解：由，，得這個數(shù)列的通項公式為令解這個關于的方程，得．所以，是這個數(shù)列的項，是第100項．【設計意圖】讓學生體會并總結：判斷一個數(shù)是否為數(shù)列的項，只須令通項公式等于這個數(shù)，得到關于n的方程。若方程有正整數(shù)解，則它就是，否則不是。

環(huán)節(jié)六歸納總結,反思提升問題3：請同學們回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1．知識清單：(1)等差數(shù)列的有關概念．(2)等差數(shù)列的通項公式．(3)等差數(shù)列的判定與證明．2．方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法．3．常見誤區(qū)：在具體應用問題中項數(shù)不清．環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第15頁第123題練習（第15頁）1．判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列．如果是，寫出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；（3）1，，3，，5，；（4）1，，，，，，．解：（1）由，即該數(shù)列從第二項起，每一項與前一項之差為同一個常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；（2）通過觀察可知，，，…，該數(shù)列從第二項起，每一項與前一項之差不是同一個常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；（3）通過觀察可知，，，…，該數(shù)列從第二項起，每一項與前一項之差不是同一個常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；（4）由，即該數(shù)列從第二項起，每一項與前一項之差為同一個常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為．2．求下列各組數(shù)的等差中項：（1）647和895； （2）和．2．解析：（1）等差中項為；（2）等差中項為．3．已知是一個等差數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當?shù)臄?shù)．82解：對第一行：由題意得，，，，利用等差數(shù)列性質(zhì)知，解得：；又，解得：．對第二