高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2.12 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用課時提升作業(yè) 理試題

定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2016·長沙模擬)定積分QUOTE(3x+ex)dx的值為()A.e+1 B.e C.e-QUOTE D.e+QUOTE【解析】選D.QUOTE(3x+ex)dx=QUOTE=QUOTE+e-1=QUOTE+e.2.(2016·石家莊模擬)直線y=x+4與曲線y=x2-x+1所圍成的封閉圖形的面積為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為x+4=x2-x+1的解為x=-1或x=3,所以封閉圖形的面積為S=QUOTE[x+4-(x2-x+1)]dx=QUOTE(-x2+2x+3)dx=QUOTE=QUOTE.【方法技巧】求平面幾何圖形面積的技巧求平面幾何圖形的面積,需根據(jù)幾何圖形的形狀進行適當(dāng)分割,然后通過分別求相應(yīng)區(qū)間上的定積分求出各自的面積,再求和.3.(2016·太原模擬)定積分QUOTE|x2-2x|dx=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.|x2-2x|=QUOTEQUOTE|x2-2x|dx=QUOTE(x2-2x)dx+QUOTE(-x2+2x)dx=QUOTE+QUOTE=8.【加固訓(xùn)練】若f(x)=QUOTE則QUOTEf(x)dx=()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.QUOTEf(x)dx=QUOTE(x3+sinx)dx+QUOTE2dx=0+2xQUOTE=2.4.已知f(x)為偶函數(shù)且QUOTEf(x)dx=8,則QUOTEf(x)dx等于()A.0 B.4 C.8 D.16【解題提示】利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,QUOTEf(x)dx對應(yīng)的幾何區(qū)域關(guān)于y軸對稱,其可表示為2QUOTEf(x)dx.【解析】選D.原式=QUOTEf(x)dx+QUOTEf(x)dx,因為原函數(shù)為偶函數(shù),即在y軸兩側(cè)的圖象對稱.所以對應(yīng)的面積相等,即QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dx=8×2=16.5.若S1=QUOTEx2dx,S2=QUOTEdx,S3=QUOTEexdx,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1【解析】選B.S1=QUOTEx2dx=QUOTEx3QUOTE=QUOTE×23-QUOTE=QUOTE,S2=QUOTEdx=lnxQUOTE=ln2,S3=QUOTEexdx=exQUOTE=e2-e=e(e-1),ln2<lne=1,且QUOTE<2.5<e(e-1),所以ln2<QUOTE<e(e-1),即S2<S1<S3.6.(2016·湛江模擬)若QUOTEdx=3+ln2(a>1),則a的值為()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】選A.因為QUOTEdx=(x2+lnx)QUOTE=a2+lna-1-0=3+ln2,所以a=2.7.一物體受到與它運動方向相反的力:F(x)=QUOTEex+x的作用,則它從x=0運動到x=1時F(x)所做的功等于()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.-QUOTE-QUOTE【解析】選D.由題意知W=-QUOTEdx=-QUOTE=-QUOTE-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2016·泉州模擬)已知正方形ABCD,點M是DC的中點,由QUOTE=mQUOTE+nQUOTE確定m,n的值,計算定積分QUOTEsinxdx=.【解析】如圖,QUOTE=mQUOTE+nQUOTE=-QUOTE+QUOTE,QUOTEsinxdx=-cosxQUOTE=1.答案:19.曲線y=QUOTE,y=2-x,y=-QUOTEx所圍成圖形的面積為.【解析】畫出草圖,如圖所示.解方程組QUOTEQUOTE及QUOTE得交點分別為(1,1),(0,0),(3,-1).答案:QUOTE【一題多解】解答本題還有如下解法:若選積分變量為y,則三個函數(shù)分別為x=y2,x=2-y,x=-3y.因為它們的交點分別為(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=QUOTE[(2-y)-(-3y)]dy+QUOTE[(2-y)-y2]dy=QUOTE(2+2y)dy+QUOTE(2-y-y2)dy=(2y+y2)QUOTE+QUOTE=-(-2+1)+2-QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0),BQUOTE,C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.【解析】y=f(x)的圖象如圖所示.可求得y=f(x)=所以x·f(x)=所以所求面積為S=QUOTE10x2dx+QUOTEdx=QUOTEx3QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE-(-QUOTE×QUOTE+5×QUOTE)=QUOTE.答案:QUOTE10.若m>1,則f(m)=QUOTEdx的最小值為.【解析】f(m)=QUOTEdx=QUOTE=m+QUOTE-5≥4-5=-1,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立.答案:-1【加固訓(xùn)練】已知f(a)=QUOTE(2ax2-a2x)dx,則f(a)的最大值為.【解析】f(a)=QUOTE(2ax2-a2x)dx=(QUOTEax3-QUOTEx2)QUOTE=-QUOTEa2+QUOTEa=-QUOTE(a-QUOTE)2+QUOTE,所以當(dāng)a=QUOTE時f(a)取得最大值QUOTE.答案:QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)若f(x)=QUOTE則f(2014)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.f(2014)=f(2014-5×402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+QUOTEcos3tdt.因為QUOTEcos3tdt=QUOTEsin3tQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以f(2014)=2-1+QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·鄭州模擬)由曲線xy=1,直線y=x,x=3及x軸所圍成的曲邊四邊形的面積為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+ln3 D.4-ln3【解析】選C.如圖由xy=1得y=QUOTE.由QUOTE得xD=1,所以曲邊四邊形的面積為QUOTExdx+QUOTEdx=QUOTEx2QUOTE+lnxQUOTE=QUOTE+ln3.3.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+c(a≠0),若QUOTEf(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,則x0的值為.【解析】QUOTEf(x)dx=QUOTE(ax2+c)dx=QUOTE=QUOTEa+c=f(x0)=aQUOTE+c,所以QUOTE=QUOTE,x0=±QUOTE.又因為0≤x0≤1,所以x0=QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)已知f(x)為二次函數(shù),且f(-1)=2,f′(0)=0,QUOTEf(x)dx=-2.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值.【解析】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得QUOTE即QUOTE所以f(x)=ax2+2-a.又QUOTEf(x)dx=QUOTE(ax2+2-a)dx=QUOTE=2-QUOTEa=-2.所以a=6,從而f(x)=6x2-4.(2)因為f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].所以當(dāng)x=0時,f(x)min=-4;當(dāng)x=±1時,f(x)max=2.5.(13分)如圖所示,求由拋物線y=-x2+4x-3及其在點A(0,-3)和點B(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積.【解析】由題意,知拋物線y=-x2+4x-3在點A處的切線斜率是k1=y′|x=0=4,在點B處的切線斜率是k2=y′|x=3=-2.因此,拋物線過點A的切線方程為y=4x-3,過點B的切線方程為y=-2x+6.設(shè)兩切線相交于點M,由QUOTE消去y,得x=QUOTE,即點M的橫坐標(biāo)為QUOTE