2023屆安徽省合肥十高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z=（??，/）㈠為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為4B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限

C.z的共朝復(fù)數(shù)三=4-2iD.\z\=2y［5

2.已知非零向量滿足￡Z=o，而1=3,且公與2+坂的夾角為巴，則|B|=（）

4

A.6B.3A/2C.272D.3

22

3,已知雙曲線方=1（。＞0/＞0）的左、右焦點分別為耳、居，圓工2+/2=〃與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點

為M,若|A閩=3|M勾.則該雙曲線的離心率為

A.2B.3C.72D.百

4.已知函數(shù)"x）=sin3x-cos3x,給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)的值域是［-夜,3］；②函數(shù)/（嗚）為

奇函數(shù)；③函數(shù).“X）在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對任意xeR,都有/（%）4/（力4/（占）成立，則國—引的

最小值為2；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

22

5.設(shè)耳，尸2分別是橢圓￡：*+斗=1（。＞匕＞0）的左、右焦點，過尸2的直線交橢圓于A,3兩點，且而「而=（）,

南二2庫,則橢圓E的離心率為（）

2B3小DS

A.-c

3434

6.已知點P不在直線/、，〃上，貝!1“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、都與這些平面平行”是“直線/、，〃互相

平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是()

C.8D.6

8.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到

四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院8,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、

乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()

A.18種B.20種C.22種D.24種

9.若函數(shù)/(x)=—lnx+x+人，在區(qū)間上任取三個實數(shù)。，b,。均存在以/(a),/(c)為邊長的

三角形，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.1―1」—1)B.l,e—3)C.D.(e—3,-t-oo)

10.一小商販準備用5()元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)XGR,

用國表示不超過X的最大整數(shù)，則〉=國稱為高斯函數(shù)，例如：[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函數(shù)

/(%)=44-32+4則函數(shù)y=[/(切的值域為()

A.B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2)

y

12.已知雙曲線三=1(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60。的直線1與雙曲線的右支有且只有一

b2

個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.(1,2),C.(2,+oo)D.(1,2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)P、A、B、C、。是表面積為36〃的球的球面上五點，四邊形ABCO為正方形，則四棱錐。一ABC。體積

的最大值為.

14.設(shè)(V5+X)"，=4)++?.嗎(,。，則。2=，

(a。+a,+%+???+4o)—(q+q+。5+??,+佝)的值為.

15.在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀

率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論：

①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是

16.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(a+i),其中i是虛數(shù)單位.若z的實部與虛部相等,則實數(shù)。的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)為響應(yīng)“堅定文化自信，建設(shè)文化強國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺

計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學(xué)校隨機抽取了120名學(xué)生做調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果

顯示：樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學(xué)

和不喜歡的比例是5:3.

(1)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與性別有關(guān)系？

男生女生總計

喜歡閱讀中國古典文學(xué)

不喜歡閱讀中國古典文學(xué)

總計

(2)為做好文化建設(shè)引領(lǐng)，實驗組把該校作為試點，和該校的學(xué)生進行中國古典文學(xué)閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調(diào)

查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古

典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記自為參加會議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),

求5的分布列及數(shù)學(xué)期望七(4)

n(ad-be)2

附表及公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2N《）0.050.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，且滿足“=—1,%>0(〃22),5"="一向”N*,各項均為正

數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足A=4也=%

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若%求數(shù)列｛c,｝的前"項和7“

19.(12分)已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)的離心率為坐，且經(jīng)過點(一1,亭)

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(6,0,乍直線/與橢圓。交于不同的兩點A，B,試問在x軸上是否存在定點。使得直線04與直線Q5恰

關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

20.(12分)在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為尤—7—\16cosex.(a是參數(shù))，以原點。為極點，x軸的正半

y=sina

軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為夕Sin(e-=血.

(1)求直線/與曲線C的普通方程，并求出直線的傾斜角；

(2)記直線/與y軸的交點為是曲線C上的動點，求點M,Q的最大距離.

21.(12分)已知如圖1,在KfAABC'中，ZACB=36,N48c=90、。為AC中點，于E,延長4E交

于尸，將4A5Z)沿5。折起，使平面平面BCD,如圖2所示。

(I)求證：AEJ_平面BCD；

(II)求二面角A-DC-B的余弦值;

(m)求三棱錐8-4EF與四棱錐A-FEOC的體積的比(只需寫出結(jié)果，不要求過程).

22.(10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù),f(x)=歸一時一忖+2時的最大值為3,其中相＞().

(1)求加的值；

(2)若ah>0,cr+kr=nr>求證：F—>1

ba

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用i的周期性先將復(fù)數(shù)z化簡為z=T+2i即可得到答案.

【詳解】

4i+24i+24i+2

因為i2=_i，廣=1，j5=i，所以i的周期為4,故2=/^=)-=—=-4+2i,

11—1

故Z的虛部為2,A錯誤；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(T,2),在第二象限，B錯誤；Z的共

輛復(fù)數(shù)為3=-4—2i，C錯誤；忖='5+22=26，D正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共粗復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識，是一道基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】

7T

解：非零向量a，B滿足4石=0,可知兩個向量垂直，|?|=3,且￡與￡+石的夾角為二，

說明以向量"，B為鄰邊，G+B為對角線的平行四邊形是正方形，所以則1^=3.

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過M點作與心垂線交耳鳥于點H,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形

OMK的形狀并求出高的長度，的長度即M點縱坐標，然后將M點縱坐標帶入圓的方程即可得出〃點坐

標，最后將M點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果。

【詳解】

根據(jù)題意可畫出以上圖像，過"點作片用垂線并交片工于點

因為用=3|叫"在雙曲線上，

所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，|5卜|%|=2即即3眼用-|明|=2"，|M周=a,

因為圓好+）產(chǎn)=分的半徑為力，OM是圓Y+y2=A2的半徑，所以0用=匕，

222

因為0A/="|皿4|=a,0F2=C,a+b=c>

所以？OMK90°,三角形OM居是直角三角形，

因為9/人。瑪，所以O(shè)FJMHOM?MF2,MH=g,即M點縱坐標為普，

將M點縱坐標帶入圓的方程中可得尤2+呼=〃，解得x=《，產(chǎn)），

將M點坐標帶入雙曲線中可得卷-4=1,

2

化簡得//*-/M/CZ,（。2-/=片。?，C2=3??ej=6,故選D。

【點睛】

本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)

合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。

4.C

【解析】

化“X)的解析式為拒sin(3x-7)可判斷①，求出小+?)的解析式可判斷②，由xe得

3x-^e[—結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由

444

/&)</(力(“W)得歸-々L=|可判斷④.

【詳解】

由題意，〃x)=&sin(3x—?),所以/(x)e[-夜,血],故①正確；/卜+?

夜sin[3(x+7)-2]=拒sin(3x+g)=夜cos3x為偶函數(shù)，故②錯誤；當(dāng)py

1

-一"乙_0乙_

77"47T1TT

時，3x--e[—/(x)單調(diào)遞減，故③正確；若對任意xwR,都有

成立，則占為最小值點，々為最大值點，則舊—々|的最小值為

式=5,故④正確.

23

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的

問題.

5.C

【解析】

根據(jù)和=2砧表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構(gòu)造出“，c關(guān)系，求出離心率.

【詳解】

?.南=29

設(shè)BF2=x,則AF2=2x

由橢圓的定義，可以得到4月=2。-2工,84=2。一不

?.?亞?它=（）,.?.

AFt±AF2

在放AA耳8中，有（2a—2x）2+（3x）2=（2a—x）2,解得％=￡

A…F2=2a-4=—4a

在RtZXA片心中，有（午］+］停

=（2C）2

整理得二=*,.?*=￡=@

a29a3

故選C項.

【點睛】

本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出。關(guān)系，得到離心率.屬于

中檔題.

6.C

【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

?.?點P不在直線/、加上，

，若直線/、，"互相平行，則過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，即必要性成立，

若過點尸可以作無數(shù)個平面，使得直線/、加都與這些平面平行，則直線/、，〃互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、m互相不平行，則/,〃?異面或相交，則過點P只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

則“過點尸可以作無數(shù)個平面，使得直線/、機都與這些平面平行”是“直線/、加互相平行”的充要條件，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2

所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計算出兩類的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到

答案.

【詳解】

根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：

第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院&當(dāng)醫(yī)院5只有1人，則共有種不同

分配方案，當(dāng)醫(yī)院3有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院4只分配1人時，

共有+=10種不同分配方案；

第二類：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時，共有用種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，

在3醫(yī)院時，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時，

共有=10種不同分配方案；

共有20種不同分配方案.

故選：B

【點睛】

本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.

9.D

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了（X）在區(qū)間卜上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

/(%)的定義域為(0,+8),/(X)=—J+1=平，

所以在上遞減，在(l,e)上遞增，“X)在x=l處取得極小值也即是最小值，/⑴=-lnl+l+〃=l+〃，

fJ=-ln—+—+/z=—+l+/z,f^e)=—\ne+e+h=e-\+h,/f—J</(^),

所以/")在區(qū)間%e上的最大值為/(e)=e-l+/z.

要使在區(qū)間：,e上任取三個實數(shù)叫b,c均存在以/(a),/(與，/(c)為邊長的三角形，

則需/(a)+/S)>/(c)恒成立，且/(1)>0，

也即［/(a)+/?Ln>/(c)m,x，也即當(dāng)a=b=l、c=e時，2/⑴>/(e)成立，

即2(l+〃)>e—l+〃，且/(1)>0,解得〃>e—3.所以〃的取值范圍是(e-3,”).

故選：D

【點睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.

10.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

4x+7y<50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別x,>利潤為z元，由題意<.?,*z=x+1.8y,

.x,y&N,

畫出可行域如圖所示，

顯然當(dāng)〉=—，*+，2經(jīng)過4(2,6)時，z最大.

故選：D.

【點睛】

本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷X,)’是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

利用換元法化簡/(x)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得/(x)的取值范圍，由此求得y=[f(x)]的

值域.

【詳解】

4*12

因為〃乃=4舊_3-2'+4(0<x<2),所以'=-1-32+4=5(2)-32+4,令2=(1</<4),則

113

/⑺=5〃一7夕+4(l<r<4),函數(shù)的對稱軸方程為￡=3,所以/?)mm=/(3)=—5,/⑺max=/⑴=5,所以

/U)G-；，|)，所以>=[/(切的值域為

故選：B

【點睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識.

12.A

【解析】

若過點F且傾斜角為g的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜

率.根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.

【詳解】

22

已知雙曲線0-與=1(“>0,10)的右焦點為產(chǎn)，

若過點F且傾斜角為g的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，

則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率2,

-..^3,離心率/=二^..4,

aa

e..2,

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.的

3

【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為x,求得四棱錐尸-ABCD的表達式，利用基本不等式

求得體積的最大值.

【詳解】

由已知可得球的半徑r=3,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為x,棱錐的高為〃=3+x,底面邊長為五x出二7，

「一ABCD的體積V=；x2x(9—V)(3+x)

=g(3+x)(3+x)(6—2x)?g(“d)+(3；)+g2x)=F，當(dāng)且僅當(dāng)％時等號成立.

64

故答案為：y

【點睛】

本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.

14.7201

【解析】

1

利用二項展開式(。+力”的通式(+1=C，i加可求出生;令(應(yīng)+x)i°=a0+a]x-^-a2xH—中的x=l,

x=—1得兩個式子，代入%++4+…+q())—(q+/+%+…+的)可得結(jié)果.

【詳解】

利用二項式系數(shù)公式，7；=C^(V2)8X2=720X2,故出=720,

%+4+.??+4。=(5/2+1)"),4-q+劣-...+Q]。=(V2—I)10,

故(％+a>+%+???+4o)—(q+/+%+???+49)

=(旬+q+...+《0)(/_q+a?—...+Ro)=+『°—『°=1,

故答案為：720；1.

【點睛】

本題考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.

15.②③

【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女

生成績的優(yōu)秀率，故②正確；

因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)

系，故③正確.

故答案為：②③.

【點睛】

本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

16.-3

【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)”的值.

【詳解】

解：z=(1+2i)(a+i)=(a-2)+(1+2a)i的實部與虛部相等，

所以a—2=l+2a,計算得出。=一3.

故答案為：-3

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17

17.(1)見解析，沒有(2)見解析，—

6

【解析】

(D根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計算出K?的值，由此判斷出沒有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與

性別有關(guān)系.

(2)先判斷出J的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)

男生女生總計

喜歡閱讀中國古典文學(xué)423072

不喜歡閱讀中國古典文學(xué)301848

總計7248120

_120(42X18-30X30)2

K2=0.208<3.841

-72x48x72x48

所以，沒有95%的把握認為喜歡閱讀中國古典文學(xué)與性別有關(guān)系.

(2)設(shè)參加座談會的男生中喜歡中國古典文學(xué)的人數(shù)為m,女生中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)為〃，則J=加+〃.且4=2,3,4

C\C}C\C\_1

P(J=2)=P(〃?=1,〃=1)=

PC=3)=P("2,〃=l)+P0〃=l,“=2)=C；C+~^ffi=J

C；C；C；_1

PG=4)=P(m=2,〃=2)=

c：c；一7

所以自的分布列為

234

]_]_

P

326

則EC)=2x：+3xg+4xH.

3266

【點睛】

本小題主要考查2x2列聯(lián)表獨立性檢驗，考查隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

18.(1)/=3"一4；2=2〃⑵7；,=(3n-7).2,1+7

【解析】

(1)由S.=至曲二9"1化為4,/=63+9〃+1,利用數(shù)列的通項公式和前〃項和的關(guān)系，得到｛%｝是首項為1,

公差為3的等差數(shù)列求解.

（2）由（1）得到q,=（3〃-4>2"T,再利用錯位相減法求解.

【詳解】

（1）=%+-9〃T可以化為12=6S.+9/7+1,

6

-'-a,,2=6S“_|+9（n-l）+l,

?""+；-4;=6%+9（〃之2）,

=（4+3）?

又Q〃22時，an>0

???4+1=4+3（〃N2）

數(shù)列｛4｝從％開始成等差數(shù)列，

???4=T,代入S,,=9〃-1

”6

得生=2,出一4—3

..?｛4｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，

/.二3〃一4,

'/h｝=a2=2也=4=8也=2".

（2）由（1）得％=（3〃—4>2"T,

Tn=-1-2°+2-2'+?..+（3〃-4>2"T,

27；,^-1^'-22-22+?+（n-）?",

???兩式相減得

l2,,l

-Tn=-l+3（2+2+?--+2-）-（3n-4）-2\

=-l+6（2,,-1-l）-（3n-4）-2n,

.?工=（3〃一7>2"+7.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的通項公式和前〃項和的關(guān)系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

v-2

19.（1）—+/=1（2）見解析

4

【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù)，

即=整理（百一t）（y1+y2）-2my]y2=0.設(shè)直線|的方程為x+my-百=0,與橢圓C聯(lián)立，將

7

X）-tx2-t'

韋達定理代入整理即可.

【詳解】

（1）由題意可得且=￡,4+3=1，又a2—b2=c2,

2aa-4b-

解得a?=4,b2=l.

2

所以，橢圓C的方程為x二+y2=l

4

（46）

（2）存在定點Q、一,0,滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

設(shè)直線]的方程為x+my-百=0,與橢圓。聯(lián)立，整理得，（4+m2）y2-2gmy-l=0.

設(shè)B（x2，y2）,苦+y1y=i，定點Q（t,0[（依題意t^Xi/wx?）

則由韋達定理可得，%+丫，=友?，%丫2=/工.

4+m-4+m~

直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱，等價于AQ,BQ的斜率互為相反數(shù).

所以，+=即得丫|卜2-。+丫2d-t）=0.

A,]IA.2I

又X[+my]-石=0,x2+my2-\/3=0>

所以，y1（G-my2-t）+y2（G-my]-1）=0,整理得，（6-。（丫]+y2）-Zmyiy2=0.

從而可得，（6-4?友?一201.上方=0，

\）4+m24+m2

即2m（4-Gt）=0,

所以，當(dāng)t=Wi,即Q坐,0時，直線QA與直線QB恰關(guān)于X軸對稱成立.特別地，當(dāng)直線］為X軸時，

Q-y-,0也符合題意.綜上所述，存在x軸上的定點Q岸,0,滿足直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱.

\/\/

【點睛】

本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題.

1*2兀

20.(1)—+/=1,y=x+2直線/的傾斜角為一

694

(2)3730

5

【解析】

X=QCOS?

(1)由公式sin?a+cos2a=1消去參數(shù)得普通方程，由公式.八可得直角坐標方程后可得傾斜角；

y=psin0

(2)求出直線/與)'軸交點。，用參數(shù)表示/點坐標，求出|困，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

【詳解】

(1)由卜="cosa,,消去夕得°的普通方程是：+/=1

y=sina,6

由=psin0-pcos0=2,

x=OCOS0

將”.八代入上式，化簡得y=x+2

y=夕sin，

71

直線/的傾斜角為一

4

(2)在曲線C上任取一點加(ncosa,sina),

直線/與)'軸的交點Q的坐標為(0,2)

則=J(#cosa-0『+(2-sina)2=J-5sin2a-4sina+10

當(dāng)且僅當(dāng)sina=—1時，|MQ|取最大值上ft

【點睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.求兩點間距離的最值時,

用參數(shù)方程設(shè)點的坐標可把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

2i.（I）證明見解析；（H）好：（ni）i：5

5

【解析】

（I）由平面A8Z）_L平面8C0,交線為BD,AEJL8O于E,能證明AEJL平面8CQ;

（D）以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz,利用向量

法求出二面角A-DC-B的余弦值；

（DI）利用體積公式分