簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的區(qū)分

簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的區(qū)分從命題邏輯的角度看，命題可以分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題。復(fù)合命題就是由簡(jiǎn)單命題和邏輯運(yùn)算符組成的命題。而簡(jiǎn)單命題本身已經(jīng)足夠簡(jiǎn)單，它不能再分解成更簡(jiǎn)單的命題了。之前提到的A、E、I、O四種直言命題，現(xiàn)在都被看作是簡(jiǎn)單命題。這些簡(jiǎn)單命題就用p、q、r等小寫字母代表。比如，李老師是魔法少女。李老師擁有變身魔法棒。這兩個(gè)命題分別可以用p、q來代表。也可以用別的字母代表，只要同一個(gè)字母每次都代表同一個(gè)命題即可。復(fù)合命題不能簡(jiǎn)單地用一個(gè)小寫字母來代表，比如：“李老師是魔法少女并且李老師擁有變身魔法棒”、“李老師是魔法少女或者李老師不是魔法少女”、“如果李老師是魔法少女那么李老師擁有變身魔法棒”、“李老師擁有變身魔法棒當(dāng)且僅當(dāng)李老師是魔法少女”。要想表達(dá)復(fù)合命題，我們還需要邏輯運(yùn)算符號(hào)。下面就是5個(gè)最常用的邏輯運(yùn)算符號(hào)：有了這些邏輯運(yùn)算符號(hào)，我們就可以用邏輯符號(hào)來表示復(fù)合命題了。李老師是魔法少女并且李老師擁有變身魔法棒：p∧q李老師是魔法少女或者李老師不是魔法少女：p∨?p如果李老師是魔法少女那么李老師擁有變身魔法棒：p→q李老師擁有變身魔法棒當(dāng)且僅當(dāng)李老師是魔法少女：q?p這5個(gè)邏輯運(yùn)算符的精確含義，往后都會(huì)細(xì)說。所以大家先不用急著追根究底。讓我們先來思考一下，簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題之間的關(guān)系。為此，我們需要復(fù)習(xí)一下函數(shù)（function）的概念。函數(shù)有點(diǎn)像加工面條的機(jī)器，往里頭輸入面團(tuán)，機(jī)器就會(huì)往外輸出面條。不是所有函數(shù)機(jī)器都是加工面條的，它們具體輸入什么和輸出什么，就要看具體情況了。比如，“+3”這個(gè)函數(shù)，輸入2就會(huì)輸出5，輸入98就會(huì)輸出101。而“的爸爸”這個(gè)函數(shù)，輸入曹植就會(huì)輸出曹操，輸出孫權(quán)就會(huì)輸出孫堅(jiān)?！暗氖锥肌边@個(gè)函數(shù)，輸入中國就會(huì)輸出北京，輸入俄羅斯就會(huì)輸出莫斯科。簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題之間的關(guān)系，其實(shí)就是一種真值函數(shù)。所謂真值函數(shù)，就是輸入真值，也輸出真值。輸入的就是簡(jiǎn)單命題的真值，輸出的就是那個(gè)由簡(jiǎn)單命題組成的復(fù)合命題的真值。換言之，一個(gè)復(fù)合命題的真值，完全由組成其的簡(jiǎn)單命題以及邏輯運(yùn)算符決定。每一個(gè)邏輯運(yùn)算符，其實(shí)就是一種特定的函數(shù)操作。比如“合取”這個(gè)運(yùn)算符，它必然要輸入至少兩個(gè)真值，而且要全都輸入真，才會(huì)輸出真。輸入一真一假，或者輸入兩個(gè)假，那都會(huì)輸出假。而“否定”這個(gè)運(yùn)算符和其他四個(gè)不一樣，它只要輸入一個(gè)真值，輸入真就會(huì)輸出假，輸入假就會(huì)輸出真。這就像是一個(gè)計(jì)算器。普通的數(shù)學(xué)計(jì)算器，先按2，再按加號(hào)，再按3，最后按等于鍵，屏幕上就會(huì)顯示5。而邏輯計(jì)算器里，10個(gè)數(shù)字鍵被替換成了“真”和“假”這兩個(gè)真值鍵。加減乘除等運(yùn)算符號(hào)鍵，就替換成那5個(gè)常用的邏輯運(yùn)算符?！?”這個(gè)等于號(hào)，因?yàn)楹竺鎸W(xué)習(xí)謂詞邏輯時(shí)，需要把它也當(dāng)作一個(gè)邏輯運(yùn)算符，所以我們可以再新設(shè)立一個(gè)功能類似的鍵，就叫“輸出鍵”。只要之前按的真值鍵和邏輯運(yùn)算符鍵是合理的，再按一遍輸出鍵，屏幕上就會(huì)顯示真值了。比如，按“真”，再按“合取”，再按“真”，最后按“輸出”，屏幕上就會(huì)顯示真。而按“否定”，再按“假”，再按“輸出”，屏幕上就會(huì)顯示假。數(shù)學(xué)計(jì)算器可以計(jì)算很長的算式，這個(gè)邏輯計(jì)算器也可以計(jì)算很長的邏輯公式。只要這個(gè)邏輯公式是合理的即可。像“pp?”和“q?∨∨”這樣的公式就是不合理的?！胺穸ā狈?hào)的右邊要挨著一個(gè)命題。而其他4個(gè)邏輯運(yùn)算符，左右兩邊都要挨著一個(gè)命題。不過，有些邏輯符號(hào)的記法跟最常規(guī)的不同。波蘭的邏輯學(xué)家盧卡西維茨用了一套很別致的邏輯符號(hào)記法。?p記為Np，p∧q記為Kpq，p∨p記為Apq、p→q記為Cpq、q?p記為Epq。這種把邏輯運(yùn)算符放在最左邊的好處在于，當(dāng)邏輯公式很長時(shí)，我們看一眼就知道它最后一步要算什么。這很重要，因?yàn)樽詈笠徊揭愕倪壿嬤\(yùn)算符，就叫做這個(gè)公式的主運(yùn)算符。因?yàn)檫壿嬤\(yùn)算符又叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞，所以主運(yùn)算符又叫做主聯(lián)結(jié)詞。主聯(lián)結(jié)詞決定了一個(gè)公式究竟叫什么名字。如果主聯(lián)結(jié)詞分別是否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等值，那么這個(gè)公式就叫做否定式、合取式、析取式、蘊(yùn)涵式、等值式。波蘭記法的另一大優(yōu)點(diǎn)是，不需要用括號(hào)。常規(guī)記法必須要用括號(hào)。（（r∧q）?p）和（r∧（q?p））是不一樣的。前者是等值式，后者是合取式。而用波蘭記法，前者就是EKrqp，后者是KrEpq。不過，我們還是用常用的符號(hào)，因?yàn)榇蠹以趯W(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，已經(jīng)很熟悉括號(hào)的用法了。只要最先算最里面的括號(hào)即可。另外，有時(shí)也有“~”這個(gè)波浪號(hào)表示否定。用“&”或“·”（一個(gè)居中的點(diǎn)）表示合取。用“?”這個(gè)開口向左的馬蹄符號(hào)表示蘊(yùn)涵。用“≡”這個(gè)三短橫表示等值。但我們還是用最常見的那一套符號(hào)，既圖片中展示的那一套。最后讓我們復(fù)習(xí)一下今日所學(xué)：1.在命題邏輯中，簡(jiǎn)單命題常用p、q、r等小寫字母代表。復(fù)合命題則用這些字母加上邏輯運(yùn)算符代表。2.常用的邏輯運(yùn)算符有5個(gè)，分別是否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等值。最常用來表示它們的邏輯符號(hào)分別是?、∧、∨、→、?。3.簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題之間的關(guān)系，其實(shí)是真值函數(shù)關(guān)系。每個(gè)邏輯運(yùn)算符都是一個(gè)函數(shù)機(jī)器，輸入簡(jiǎn)單命題的真值，就會(huì)輸出相應(yīng)復(fù)合命題的真