2024屆中考數(shù)學壓軸題攻略（湘教版）專題10 解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路（解析版）

專題11解題技巧專題：判定三角形全等的基本思路類型一已知兩邊對應相等解題思路類型二已知兩角對應相等解題思路類型三已知一邊一角對應相等解題思路典型例題典型例題類型一已知兩邊對應相等基本解題思路：已知兩邊對應相等：①找夾角對應相等（SAS）；②找第三邊對應相等（SSS）.例題：（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，，，．(1)求證：；(2)若，AE平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)35°【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，進而證明，即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)（1）的結論可得，即可求解．(1)證明：，，在與中，，；(2)解：，AE平分，，【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·新疆·七年級期末）如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，，，．求證：．【答案】證明見詳解【解析】【分析】由已知可知AF=CE，從而根據(jù)SSS判定定理可證明△ADF≌△CBE即可．【詳解】證明：∵AE=CE，∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SSS），∴∠D=∠B．【點睛】本題考查三角形全等碰與性質(zhì)，掌握三角形全等判定方法與性質(zhì)是解題關鍵．2．（2021·廣西·靖西市教學研究室八年級期末）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點，且AE＝CF．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)102°【解析】【分析】（1）證明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE，再結合AB＝CD，可得結論；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)先求解∠AFB＝102°，結合△ABF≌△CDE，可得∠CED＝∠AFB＝102°．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ECD，∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF∴AF＝CE，又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（SAS）．(2)解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，∵△ABF≌△CDE，∴∠CED＝∠AFB＝102°．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握“利用SAS證明三角形全等”是解本題的關鍵．類型二已知兩角對應相等基本解題思路：已知兩角對應相等：①找夾邊對應相等（ASA）；②找非夾邊的邊對應相等（AAS）.例題：（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求證：BC=BD．【答案】證明見解析．【解析】【分析】先根據(jù)“AAS”直接判定三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等，可以證明BC=BD．【詳解】證明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求證：AB=DC．【答案】證明見解析．【解析】【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結論．【詳解】證明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2022·四川瀘州·八年級期末）已知：．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】證明∠CAD=∠BAE；直接運用SAS公理，證明△CAD≌△EAB，即可解決問題．【詳解】證明：如圖，∵，∴，即，∵在和中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)問題，解題的關鍵是準確找出圖形中隱含的相等關系．類型三已知一邊一角對應相等基本解題思路：（1）有一邊和該邊的對角對應相等：找另一角對應相等(AAS).（2）有一邊和改邊的領角對應相等：①找夾該角的另一邊對應相等(SAS);②找另一角對應相等(AAS或ASA).例題：（2021·四川南充·一模）如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求證：AF＝DE．【答案】見解析【解析】【分析】利用推出，通過“邊角邊”證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明AF＝DE．【詳解】證明：，，，在和中，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于簡單題，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，在△ABC和△DCE中，，，點A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：△ABC≌△DCE．(2)連結AE，當，時，求△ACE的面積．【答案】(1)見解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS可證明結論；（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，則BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面積．(1)證明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；(2)解：由（1）得：△ABC≌△DCE，∴BC＝CE＝5，∴△ACE的面積為×12×5＝30．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2021·重慶市第九十五初級中學校七年級階段練習）如圖，已知，，點D在AC邊上，，AE和BD相交于點O．(1)求證：；(2)若，，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：證明：和相交于點，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質(zhì)與判定．一、解答題1．（2022·甘肅·武威第九中學八年級期末）已知：如圖所示，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB∥DE，∠ACB=∠F，AC=DF．求證：BE=CF．【答案】見解析【分析】利用AAS證明△ABC≌△DEF即可得到BE=CF．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且，，，△ABC與△CDE全等嗎？為什么？【答案】全等，理由見解析【分析】利用SAS可以判定△ABC≌△CDE．【詳解】解：全等，理由是：∵ABCD，∴，在和中，，∴△ABC≌△CDE（SAS）．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．3．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在BC上，延長BA至F使AF＝AB，連接EF；延長CA至G使AG＝AC，連接DG，當∠G＝∠F時，猜想線段BD與線段CE的數(shù)量關系？并說明理由．【答案】BD＝CE，理由見解析．【分析】證明△BEF≌△CDG（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出BE＝CD，則可得出結論．【詳解】解：BD＝CE．理由如下：∵AF＝AB，AG＝AC，AB＝AC，∴AF＝AG，∴AB+AF＝AC+AG，∴BF＝CG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠G＝∠F，∴△BEF≌△CDG（ASA），∴BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，∴BD＝CE．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BEF≌△CDG是解題的關鍵．4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中七年級期末）（1）如圖，AC與BD交于點E，且AC=DB，AB=DC，求證：∠A=∠D．（2）如圖，AC=DB，∠A=∠D，求證：AB=DC．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先連接BC，由AC=DB，AB=DC，利用SSS，即可證得△ABC≌△DCB，繼而可證得∠A=∠D；（2）延長BA和CD，相交于點O，證明△AOC≌△DOB，繼而可證得AB=DC．【詳解】（1）證明：連接BC，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠A=∠D；（2）延長BA和CD相交于點O，∵∠BAC=∠BDC，∴∠OAC=∠ODB，在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（AAS），∴OA=OD，OC=OB，∴OB-OA=OC-OD，∴AB=DC．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．掌握輔助線的作法是解題的關鍵．5．（2021·安徽·風華中學八年級階段練習）如圖所示，在四邊形ABCD中，，E為CD的中點，連接AE、BE，并延長AE交BC的延長線于點F．(1)求證：FC=AD；(2)若AB=BC+AD，∠ABE=30°，求∠F的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠F＝60°．【分析】（1）求出∠ADC＝∠ECF，DE＝EC，利用“ASA”證明△ADE≌△FCE即可得出結論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝EF，F(xiàn)C＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠FBE＝30°，BE⊥AF，即可求解．（1）證明：∵ADBC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中點，∴DE＝EC，∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，F(xiàn)C＝AD，∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF＝BC＋AD，∴AB＝BF，∴∠ABE＝∠FBE＝30°，BE⊥AF，∴∠F＝60°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明△ADE≌△FCE是解題的關鍵．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作，交ED的延長線于點F．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)當AD⊥BC，AE＝2，CF＝1時，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC邊上的中線，得到BD＝CD，于是由“AAS”即證得結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝CF＝1，求得AB＝AE+BE＝3，于是由等腰三角形的判定和定義得到結論．（1）證明：∵，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝1，∴AB＝AE+BE＝2+1＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和定義．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在BC邊上，且∠GDF＝∠ADF．(1)求證：△ADE≌△BFE；(2)連接EG，求證：EG平分∠FGD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE=BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：如圖，連接EG理由為：連接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE為DF上的中線，∴EG平分∠FGD【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．8．（2022·福建·莆田哲理中學八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在△ABC內(nèi)，BD＝BC，∠DBC＝60°，點E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．(1)求證：△ADB≌△ADC；(2)小明說△ABE是等腰三角形，小華說△ABE是等邊三角形．則______的說法更準確，說明理由．【答案】(1)見解析(2)小華，理由見解析【分析】（1）先說明△DBC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DB＝DC，然后根據(jù)SSS即可證明結論；（2）先證明△ABD≌△EBC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB＝BE，再結合∠ABE＝60°即可說明△ABE是等邊三角形．（1）證明：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∠DBC=∠BDC=60°，∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS）．（2）解：結論：小華更準確，理由如下：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．

故答案為：小華．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關性質(zhì)、定理成為解答本題的關鍵．9．（2022·浙江金華·八年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為線段CB一動點，連接AE，過點A作AF⊥AE且AF＝AE，過點F作FD⊥AC于點D，如圖①所示．(1)求證：FD＝AC．(2)若點E為BC中點，連BF交AC于點G，如圖②，已知CG＝1，求BC的長．【答案】(1)證明見解析，(2)BC=4．【分析】（1）證明△ADF≌△ACE即可；（2）易證△FDG≌△BCG，則可得出CD的長度，由（1）可得△ADF≌△ACE，點E為BC中點則點D為AC中點，求出AC即可得到BC的長度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，F(xiàn)D=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，F(xiàn)D=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，則CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，點E為BC中點，∴點D為AC