2022年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

1.已知集合A={x|x2l},B={M?-x=0},則ADB=()

A.{]}B.{0}C.{0,1}D.{1,2}

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z?i=1+i,貝!||z|=()

A.1B.2C.V2D.0

1

3.若隨機(jī)變量X滿足X?B(6,-),則E(X)=(

11

A.-B.2C.-D.3

23

4.已知點(diǎn)尸(一噂，半)是角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則sin2a=()

33

A.-B.-C.WD.更

3333

5.將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件A為“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,B為“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,

則有()

A.A與B相互獨(dú)立B.P(AUB)=P(A)+P(B)

C.A與B互斥D.P(AB)=|

6.已知函數(shù)f(x)=/+1,g(x)=sinx,如圖所示，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是()

第1頁共25頁

A.y=f(x)+g(x)-1B.y=f(x)-g(x)-1

c.y=/(x)g(x)D.產(chǎn)需

7.如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的

圓形軌道I上繞月球飛行，然后在尸點(diǎn)處變軌進(jìn)以p為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道n繞月球飛

行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道HI繞月球飛行，設(shè)圓形軌道I的半徑

為R,圓形軌道HI的半徑為r,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)為()

①軌道II的焦距為R-r；

②若R不變，廠越大，軌道H的短軸長(zhǎng)越?。?/p>

③軌道II的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R+r；

④若r不變，R越大，軌道H的離心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

8.如圖，點(diǎn)M、N分別是正四面體ABCQ棱AB、上的點(diǎn)，設(shè)直線MN與直線

BC所成的角為0,則()

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A.當(dāng)ND=2CN時(shí)，0隨著x的增大而增大

B.當(dāng)ND=2CN時(shí)，。隨著x的增大而減小

C.當(dāng)CN=2N￡>時(shí)，。隨著x的增大而減小

D.當(dāng)CN=2N。時(shí)，。隨著x的增大而增大

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.若直線y=+b與圓7+f=i相切，則人的取值可以是()

A.-2B.A/2C.2D.V5

(多選)10.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，作出散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)坐標(biāo)數(shù)據(jù)中去掉異常

數(shù)據(jù)。(3,10)后，下列說法不正確的是()

?ZX3,10)*￡(10,12)

W45)

?3(2,4)

M(U)

6x

A.殘差平方和變小

B.相關(guān)系數(shù)7?變小

C.相關(guān)指數(shù)解變小

D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變?nèi)?/p>

(多選)11.關(guān)于雙曲正弦函數(shù)或出1(乃=幺pX*一_p-和X雙曲余弦函數(shù)005九。)=匕pXi^p-,X下歹」

結(jié)論正確的是()

A.sinh(-x)=-sinh(x)B.[cosh(x)]'=一sinh(x)

C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=1

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=xi+ax+b,其中a,bER,則下列選項(xiàng)中的條件使得/(x)僅

有一個(gè)零點(diǎn)的有()

A.a<b,f(x)為奇函數(shù)B.a—In(b2+1)

3

C.a=-3,b2-42oD.a<0,b2+^-X)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分.

13.若△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則n-BC=.

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14.（x-1）（2x+l）5展開式中x3的系數(shù)為.

15.請(qǐng)從正方體ABCO-AiBiCi。］的8個(gè)頂點(diǎn)中，找出4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，使得這個(gè)

三棱錐的4個(gè)面都是直角三角形，則這4個(gè)點(diǎn)可以是.（只需寫出一組）

16.將正三角形（I）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然

后去掉底邊，得到圖（2）；將圖（2）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向

外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖（3）；如此類推，將圖（〃）的每條邊三等分，并

以中間的那一條線段為底邊向外作三角形，然后去掉底邊，得到圖（?+1）.上述作圖過

程不斷的進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線.若圖（1）中正三角形的邊長(zhǎng)為1,

則圖（〃）的周長(zhǎng)為,圖（〃）的面積為.

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）疫苗是指用各種病原微生物制作的用于預(yù)防接種的生物制品，接種疫苗是預(yù)防

和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施.某制藥廠對(duì)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗

開展臨床對(duì)比試驗(yàn).若使用后的抗體呈陽性，則認(rèn)為疫苗有效.在已經(jīng)接種疫苗的群體

中隨機(jī)抽取的100個(gè)樣本，其中有60個(gè)接種了滅活疫苗，剩余40個(gè)接種了核酸疫苗.根

據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制等高條形圖（如圖所示），其中兩個(gè)深色條的高分別表示接種滅活疫苗和

核酸疫苗樣本中抗體呈陽性的頻率.現(xiàn)從這100個(gè)樣本中隨機(jī)抽取1人，已知事件“該

樣本接種了滅活疫苗且抗體呈陽性”發(fā)生的概率為0.54.

（1）求等高條形圖中”的值；

（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卷中完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為

兩種疫苗的預(yù)防效果存在差異？

滅活疫苗核酸疫苗總計(jì)

抗體為陽性

抗體為陰性

總計(jì)6040100

2

參考公式：依=（a+b）普d）（上）（b+d），其中

P依）0.150.100.01

ko2.0722.7066.635

■抗體Y陽性

0.85口抗體陰性

0

接的滅接痔核

1活疫苗液疫苗

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18.(12分)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知反osC=(2a-c)cosB.

(1)求B；

(2)若匕=3,sinC=2sinA,求△ABC的面積.

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19.(12分)已知數(shù)列｛金｝是公差大于1的等差數(shù)列，“2=3,前〃項(xiàng)和為S”且______.

請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目的條件中，并求解下面的問題.

①小+1,“3-1,46-3成等比數(shù)列；②S5是43和423的等差中項(xiàng)；③｛。2“｝的前6項(xiàng)和是

78.

(1)求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)若加=2",Cn=4〃?加，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和Tn.

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20.(12分)如圖，S為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓心，點(diǎn)A，B在底面圓周上，且NAO8=

60。，點(diǎn)C,。分別為SB,的中點(diǎn).

(1)求證：ACLOB；

(2)若圓錐的底面半徑為2,高為4,求直線4C與平面SO4所成的角的正弦值.

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21.(12分)如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為。(-1,0),C2(1,0),且離心

率e=T,

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(-2,0),過點(diǎn)M的直線/與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)、,當(dāng)線段EF的中點(diǎn)

落在由四點(diǎn)C1(-1,0)、C2(1,0)、Bi(0,-1)、B2(0,1)構(gòu)成的四邊形內(nèi)(包

括邊界)時(shí)，求直線/斜率的取值范圍.

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22.(12分)已知函數(shù)/(x)=姬一等一a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)若a=l,求f(x)在x=l處的切線方程；

(2)若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為XI,證明：x1x2>-^+^.

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2022年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

1.已知集合A=3工21},3={4?-x=0},則AA8=()

A.{1}B.{0}C.{0,1}D.{1，2}

解：因?yàn)榧?={Mr21},B={x|x2-x=0}={0,1},

則AG8={1}.

故選：A.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z?i=l+i,則|z|=（）

A.1B.2C.V2D.0

解：

.z=i+i=a+0i=1_i,

A|Z|=712+(-1)2=V2.

故選：c.

3.若隨機(jī)變量X滿足X?B(6,-),則E(X)=)

2

11

A.-B.2c.D.3

23

1

解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?5（6,-)

2

所以E(X)=6x1=3,

故選：D.

4.已知點(diǎn)尸（一噂，半）是角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則sin2a=

()

J3

1「242V6

A.-BC一丁D.

3-3

解：：點(diǎn)P（-冬，半）是角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，|0尸|=1,

J3

.73.V6

.?cosa=—丁，sina=丁，

2y2

則sin2a=2sinacosa=——二

故選：C.

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5.將一枚均勻的骰子擲兩次，記事件A為“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,8為“第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,

則有()

A.A與8相互獨(dú)立B.P(AUB)=P(A)+P(B)

1

C.A與B互斥D.P(AB)=1

解：對(duì)于A,由題意可知，事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B沒有影響，所以A與B相互獨(dú)立，

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,C,由于事件A與事件B可以同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不互斥，則選項(xiàng)B,C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由于事件A與B相互獨(dú)立，所以P(4B)=P(A)P(fi)=A1x1i=1i,故選

項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

6.已知函數(shù)f(x)=/+1,g(x)=sinx,如圖所示，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是()

C.y=f(%)g(x)D.產(chǎn)犬考

解：由圖象可知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，

A中，y=f(.V)+g(x)-l=x2+sinx,在R上不是奇函數(shù)，排除，

B中，y=f(x)-g(x)-1=/-sinx,在R上不是奇函數(shù)；

C中，y=f(x)?g(x)=(x2-l)*sinx,所以/i(-x)=[(-x)2-l]*sin(-x)=-

(x2-1)*sinx=-h(x),

但是y'=cosx(1+7)+2xsiar,

n

xE(0,-y>o,

n

所以在(0,-)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而圖象中先增后減，不符合，排除，

故選：D.

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7.如圖所示，'‘嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的

圓形軌道I上繞月球飛行，然后在尸點(diǎn)處變軌進(jìn)以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道H繞月球飛

行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月球飛行，設(shè)圓形軌道1的半徑

為心圓形軌道HI的半徑為r,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)為（）

①軌道II的焦距為R-r；

②若R不變，r越大，軌道I[的短軸長(zhǎng)越小；

③軌道II的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R+r；

④若r不變，R越大，軌道H的離心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

解：由題意可得知，圓形軌道I的半徑為R,

x2y2

設(shè)軌道II的方程為=+三=1，則a+c=R,

a2b2

因?yàn)閳A心軌道川的半徑為r,則a-c=r,

聯(lián)立『+c=R,解得2c=R-r,

—c=r

所以軌道U的焦距為2c=R-r,故①正確；

由工于。=”R+一r，c—R-r

故焦距為2c=R+r,

2b=2yJa2—c2=2y[Rr,

所以R不變，，?增大，。增大，軌道II的短軸長(zhǎng)增大，故②不正確；

長(zhǎng)軸2〃=R+r,故③正確；

所以離心率r不變，R越大，e越大，即軌道H的離心率越大，故④正確

ap+1

所以①③④正確，

故選：C.

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8.如圖，點(diǎn)〃、N分別是正四面體ABCQ棱AB、CQ上的點(diǎn)，設(shè)BV=x,直線MN與直線

8c所成的角為。，則（）

A.當(dāng)NO=2CN時(shí),e隨著x的增大而增大

B.當(dāng)M)=2CN時(shí),0隨著x的增大而減小

C.當(dāng)CN=2N。時(shí),e隨著x的增大而減小

D.當(dāng)CN=2N￡)時(shí),e隨著x的增大而增大

解：當(dāng)NO=2CN時(shí)，作NF//BC交BD于F點(diǎn)"如圖所示,

直線MN與直線BC所成的角即為直線MN與直線NF所成的角,即ZMNF=Q,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3,則CN=8F=1,FN=2,

在中，由余弦定理可得MF2=BM2+BF2-28M?BQcos/MB尸=/+1-2x?cos60°

=x2+l-x,

MF=Vx2—x+1,

同理在△BCN中，由余弦定理可得BN=V7,

AB2+BN2-AN2_BM2+BN2-MN2

在△A8N中，由余弦定理可得cosNABN=2AB-BN=2BM-BN

化簡(jiǎn)可得MN=Vx2-3x+7,

所以在△中，有。=-7

FNMcos=11+.鏟2/：(xe[0,3]),

2jx2_3x+72、X-3X+7

18-7x7x2-36x4-5

令f(x)=則/'(%)=9

/—3%+7’2

(X2-3X+7)

第14頁共25頁

當(dāng)x（0,3］時(shí)，r（x）=宜二迄±|有正有負(fù)，函數(shù)有增有減,

（X2—3%+7）

所以A與B錯(cuò)誤,

當(dāng)CN=2ND時(shí)，作NE//BC交3。于E點(diǎn)，如圖所示,

，直線與直線BC所成的角即為直線MN與直線NE所成的角，即NMNE=6,

同樣設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3,則CN=8尸=2,FN=2,

可求得ME=Vx2-2x+4,AN=BN=y/7,

在△ABN中，有cos乙48N==~m=f，

2x3x772/7

_Q__________

所以MN?=X2+7—2XXXV7X-^-==x2—3x+7,即MN=vx2—3%+7,

4-x

所以在△MNE中，有cos。=1+白券…3］），

2jx2—3%+7

令/⑺二丁2等,則/'（X）5X2-18X-8

=-72<0,

(%2—3x+7)

所以/Xx）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即X增大，f（x）減小，即cos。減小，從而。增大,

故。正確，C錯(cuò)誤,

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.若直線y=gx+b與圓7+9=1相切，則人的取值可以是（）

A.-2B.V2C.2D.V5

解：：直線y=V3x+b與圓/+尸=1相切,

二圓心O（0,0）到直線我x-y+b=0的距離等于1,

，隔=￡1,即g±2.

故選：AC.

（多選）10.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，作出散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)坐標(biāo)數(shù)據(jù)中去掉異常

第15頁共25頁

數(shù)據(jù)。(3,10)后，下列說法不正確的是()

?ZX3.10)?￡(10.12)

?(W)

??2,4)

M3)

Ox

A.殘差平方和變小

B.相關(guān)系數(shù)/?變小

C.相關(guān)指數(shù)R2變小

D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變?nèi)?/p>

解：從散點(diǎn)圖可得，只有。點(diǎn)偏離直線，去掉。點(diǎn)，

變量x與變量y的線性相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)變大，相關(guān)指數(shù)變大，殘差的平方和變小.

故選：BCD.

(多選)11.關(guān)于雙曲正弦函數(shù)sin/i(x)=竺號(hào)二和雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=g二，下列

結(jié)論正確的是()

A.sinh(-x)=-sinh(x)B.[cosh(x)]'=-sinh(x)

C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=1

p-X^.pX

解：sinh(-x)=—2—=------q—=—sinh(x),對(duì)；

ex+e~xpx^p-x

[cosh(x)]r=(----------)'=————=sinh(x)#-sinh(x),/.B錯(cuò)；

22

22-14243

L/C、」/i、e+e~e-ee+l1-ee+l-e+e、八.u

cosh(2)-cosh(-1)=—------------2----=~2e^--------2e-=-----2e^-----，**cos^

(2)>cosh(-1),???C對(duì);

e"-e一“ex+e-x

[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=(-----—)2-<---)--2=m=-1,錯(cuò).

2

故選：AC.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=/+〃x+b,其中小/元R,則下列選項(xiàng)中的條件使得/(x)僅

有一個(gè)零點(diǎn)的有()

A.a<b,f(x)為奇函數(shù)B.a=ln(Z?2+l)

9Q3

C.a=-3,b2-4^0D.a<0,反+^K)

解：由題知，(x)=37+a,

第16頁共25頁

對(duì)于A,由/(x)是奇函數(shù)，知匕=0,因?yàn)椤癡0,

所以f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，易知/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)?+121,所以”20,/(x)20,所以『CO單調(diào)遞增，則/(x)僅有

一個(gè)零點(diǎn)，B正確；

對(duì)于C,若取h=2,則/(x)的極大值為/(-1)=4,極小值為/(I)=0,此時(shí)f(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,f(x)的極大值為了(—J^)=:—竽J—三,極小值為=?+竽J-等

因?yàn)椤?lt;0,所以后+警>/+*>0,所以房〉一誓，則心一竽或y學(xué)「I，

從而f(一「|)<0或/(『I)可知/(X)僅有一個(gè)零點(diǎn)，。正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分.

13.若△A8C是邊長(zhǎng)為I的等邊三角形，則48?BC=.

一L-

TT11

解：AABC是邊長(zhǎng)為I的等邊三角形，則AB-BC=lxlx(-1)=-1.

故答案為：-會(huì)

14.(x-I)(2x+l)5展開式中。的系數(shù)為-40.

解：(2x+l)5展開式的通項(xiàng)公式為

41=CJ?⑵)5,,

令5-r=2,解得r=3,

所以74=醫(yī)?(2x)2=40/；

令5-r=3,解得r=2,

所以乃二第《2x)3=80小；

所以(x-1)(2x+l)5展開式中丁的系數(shù)為

40X1+80X(-I)=-40.

故答案為：-40.

15.請(qǐng)從正方體ABC￡>-48ICIOI的8個(gè)頂點(diǎn)中，找出4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，使得這個(gè)

三棱錐的4個(gè)面都是直角三角形，則這4個(gè)點(diǎn)可以是4、4、C、￡>.(只需寫出一組)

第17頁共25頁

解：?.?正方體ABC。-481clz)1中，。。_1_平面4。￡)14,

：.A\DYCD,ADLCD,AA\±CD,

■:正方體ABC。-AiBiCiDi中，AAi_L平面ABC。，

：.AAi±AD,AAiLAC,

.,.從正方體A8CO-A181C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中，找出4個(gè)點(diǎn)4、A、C、D,

構(gòu)成一個(gè)三棱錐Ai-ACD,這個(gè)三棱錐的4個(gè)面都是直角三角形.

故答案為：4、4、C、D.

16.將正三角形(1)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然

后去掉底邊，得到圖(2)；將圖(2)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向

外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖(3)；如此類推，將圖(〃)的每條邊三等分，并

以中間的那一條線段為底邊向外作三角形，然后去掉底邊，得到圖(?+1).上述作圖過

程不斷的進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線.若圖(1)中正三角形的邊長(zhǎng)為1,

第18頁共25頁

解：由題可設(shè)第"個(gè)圖形的邊數(shù)為a,”

遞推公式為帆=4即-1'n>2f所以｛加｝為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為斯=3?4””

=3

1

由題知：每個(gè)圖形的邊長(zhǎng)都相等，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼?

1

所以從而設(shè)邊長(zhǎng)從，加的遞推公式為與二?b-1'n-2,

4=1

，周長(zhǎng)=〃"％〃=3，（W）”—%

當(dāng)由第”-1個(gè)圖形生成到第〃個(gè)圖形時(shí)，每條邊上多了一個(gè)面積為fbj的小等邊三

4

角形，共有?！币?個(gè).

可設(shè)第〃個(gè)圖形的面積為5〃，

.C?..8,2⑸2

6-1

34

s17373X+++

-甲4--

49n-lA

3

S2731

/片5

n-，

2V33V341

即第"個(gè)圖形的面積為弓一-+（-）n-1.

5209

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）疫苗是指用各種病原微生物制作的用于預(yù)防接種的生物制品，接種疫苗是預(yù)防

和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施.某制藥廠對(duì)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗

開展臨床對(duì)比試驗(yàn).若使用后的抗體呈陽性，則認(rèn)為疫苗有效.在已經(jīng)接種疫苗的群體

中隨機(jī)抽取的100個(gè)樣本，其中有60個(gè)接種了滅活疫苗，剩余40個(gè)接種了核酸疫苗.根

據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制等高條形圖（如圖所示），其中兩個(gè)深色條的高分別表示接種滅活疫苗和

核酸疫苗樣本中抗體呈陽性的頻率.現(xiàn)從這100個(gè)樣本中隨機(jī)抽取1人，己知事件“該

樣本接種了滅活疫苗且抗體呈陽性”發(fā)生的概率為0.54.

（1）求等高條形圖中a的值；

（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卷中完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為

兩種疫苗的預(yù)防效果存在差異？

滅活疫苗核酸疫苗總計(jì)

抗體為陽性

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抗體為陰性

總計(jì)6040100

參考公式：套=g+b芯烷?；（b+d），其中〃=0+%■+△?

P（公，依）0.150.100.01

to2.0722.7066.635

活疫苗液疫苗

解：（1）依題意“1名受訪者接種滅活疫苗且接種后抗體呈陽性”發(fā)生的概率為0.54,

一60

所以---xa=0.54,

100

解得4=0.9.

（2）列聯(lián)表如下:

滅活疫苗核酸疫苗總計(jì)

抗體為陽性543488

抗體為陰性6612

總計(jì)6040100

零假設(shè)為"0：接種兩種疫苗效果無差異，

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2=1。蟋篇E潟6）=na0.568,

因?yàn)镺.568<2.7O6=xo.i,

所以不能在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為兩種疫苗的預(yù)防效果存在差異.

18.（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知反osC=（2a-c）cosB.

（1）求B；

（2）若。=3,sinC=2sinA,求△ABC的面積.

解：（1）由正弦定理，得sin8cosC=2sinAcosB-cosBsinC,..................1分

即sinBcosC+cos8sinC=2sinAcos8,

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sin(B+C)=2sinAcosB,.................3分

又因?yàn)锳+8+C=ii,

sinA=2sinAcosB,又sinAWO,

.*.cosB=i,BE(0,IT),..........5分

?,?B=................6分

(2)VsinC=2sin>4,：.c=2a,................7分

:.由余弦定理，得h2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2?即3a2=9,

：.a=V3,c=2V3,......10分

**.S^ABC=^acsinB=xV3X2A/3x亭=........12分

19.(12分)己知數(shù)列｛板｝是公差大于1的等差數(shù)列，及=3,前〃項(xiàng)和為S〃，且______.

請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題目的條件中，并求解下面的問題.

①m+L43-1,46-3成等比數(shù)列；②S5是43和。23的等差中項(xiàng)；③｛。2〃｝的前6項(xiàng)和是

78.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若加=2",Cn=a八加,求數(shù)列｛Cn｝的前幾項(xiàng)和丁〃.

解：(1)設(shè)｛〃〃｝的公差為d,

選條件①：因?yàn)閙+1,。3-1,46-3成等比數(shù)列，

2

所以(。3—1)2=(%+1)(。6—3),即(d+2)2=(4-d)4d,解得d=2或g,

因?yàn)閐>l,所以d=2,

所以4"=〃2+(n-2)4=3+2(n-2)=2n-1.

選條件②：因?yàn)镾5是“3和423的等差中項(xiàng)，

所以2s5=。3+“23,即2(5%+~2-d)=a，2+d+ci2+21d,

化簡(jiǎn)得10(02-d)+20d=2ai+22d,解得d=2,

所以劭=。2+(n-2)"=3+2(?-2)=2〃-1.

選條件③：因?yàn)槲?"｝的前6項(xiàng)和是78,

所以+。4+。6+…+%,2=6a2—2-x2d=18+30d=78,解得d=2,

所以an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)—In-1.

n

(2)由題意知I,cn=(2n-1)X2,

第21頁共25頁

所以7；=1x21+3x22+5x23+...........+(2n—1)x2n,27；=lx22+3x23+

5X24+-+(2n-3)x2n+(2n-1)x2n+1,

1n+1

兩式相減得,-Tn=2+2(22+23+...+2?)-(2n-1)x2

=2+2x22。言I-(2n-1)X2n+1=(-2〃+3)-2n+l-6,

所以7；=(2n-3)-2n+1+6.

20.（12分）如圖，S為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓心，點(diǎn)A,B在底面圓周上，且/AOB=

60°,點(diǎn)C,。分別為SB,OB的中點(diǎn).

（1）求證：ACA.OB；

（2）若圓錐的底面半徑為2,高為4,求直線4c與平面SO4所成的角的正弦值.

OB,ZAOB=60°,.?.△408是等邊三角形,

?.?。是。8的中點(diǎn)，：.AD1.OB,

,：C,。分別是SB,OB的中點(diǎn)，C.CD//SO,

；5。_1_平面408,：.SOLOB,

：.CD±OB,

又CDHAD^D,

二08_1_平面4。，又ACu平面AC。，

：.CD±OB.

(2)解：：SO_L平面AO8,SO//CD,

.?.C￡)_L平面AOB,

以。為原點(diǎn)，以D4，DB,OC所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系￡>-xyz,如圖所

示：

則A(V3,0,0),O(0,-1,0),S(0,-L4),C(0,0,2),

：.AC=(-V3,0,2),OA=(V3,1,0),OS=(0,0,4),

第22頁共25頁

設(shè)平面SAO的法向量為1=(x,y,z),則，1空，即｛f=°，

令x=l可得九=(1,—V3,0),

--二、n-AC-V3A/21

??cosVh，AC>==--=-—

\n\\AC\2x〃

設(shè)直線AC與平面SOA所成的角為。，則sin6=|cosV匯后＞|=若，

V21

故直線AC與平面SOA所成的角的正弦值為一.

14

21.(12分)如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為。(-1,0),C2(1,0),且離心

士72

率e=~2'

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(-2,0),過點(diǎn)M的直線/與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn),當(dāng)線段EF的中點(diǎn)

落在由四點(diǎn)C1(-1,0)、C2(1,0)、Bi(0,-1)、Bi(0,1)構(gòu)成的四邊形內(nèi)(包

括邊界)時(shí)，求直線/斜率的取值范圍.

解：(1)由題可知：c=l,e=g=孝，

所以a=VL又/=/-02=1,

x2

所以橢圓的方程為萬+y2=1,

(2)由題意可知過點(diǎn)M的斜率一定存在,

設(shè)直線方程為y=《(x+2),E(xi,yi),F(x2>y2),線段EF的中點(diǎn)G(xo>yo).

y-k(x+2)

聯(lián)立方程/,消去y整理可得：(1+2正)，+8&+8必-2=0,

后+y=1

則由4=643-4(1+2必)(8必-2)>0,解得一?VkV孝①,

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