廣義有限元方法的主要特征及處理策略

廣義有限元方法的主要特征及處理策略

1廣義有限元方法介紹有限分法的理論基礎(chǔ)是變分原理，傳統(tǒng)的有限分法以單元和節(jié)點(diǎn)為最基本的元素。中心是以點(diǎn)變量（粒度）的值為指定參數(shù)（自由度），并以該零件的插值進(jìn)行接近。因此，它有許多卓越的系統(tǒng)方程性態(tài)（即對(duì)稱(chēng)、稀疏、帶狀）、穩(wěn)定的收集性、適合于任何復(fù)雜區(qū)域、邊界條件和非線性問(wèn)題，從而易于處理邊界條件。相對(duì)于其它數(shù)值方法而言,有限元方法在理論和實(shí)現(xiàn)步驟上都已日臻完善,并誕生了許許多多有限元商用軟件,為許多領(lǐng)域大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析提供了重要手段,因此,有限元方法的每一點(diǎn)點(diǎn)發(fā)展,都將具有深遠(yuǎn)的意義。有限元法在單元內(nèi)部一般采用整體坐標(biāo)(例如二維的三角形單元或三維的四面體單元)或局部坐標(biāo)(例如二維的四邊形單元或三維的六面體單元)的多項(xiàng)式插值,插值精度通過(guò)進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格(h型),或在單元的邊、內(nèi)部增加結(jié)點(diǎn)(p型),或二者的結(jié)合h-p型來(lái)得到進(jìn)一步提高。另外,多項(xiàng)式函數(shù)在描述不連續(xù)特性上的不足,要求有限元方法的網(wǎng)格必須能夠描述區(qū)域的幾何特征、材料變化等,只有足夠細(xì)的網(wǎng)格才能給出所期望的精度。因而,有限元方法在應(yīng)用中還存在一些實(shí)際困難,如含有成百上千個(gè)微小夾雜、空洞和/或裂紋的復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)問(wèn)題,又如含有凹角等不光滑邊界的區(qū)域問(wèn)題。如何利用有限元法高效高精度地解決上述問(wèn)題,不僅僅是一個(gè)削減網(wǎng)格剖分工作量問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上需要思維方式的變革。近年來(lái)有限元方法的重大發(fā)展,出發(fā)點(diǎn)之一就是克服常規(guī)有限元在這方面的不足。本文主要介紹廣義有限元方法,并分析它與擴(kuò)展有限元法和有限覆蓋方法的異同。廣義有限元方法的思想曾零星地出現(xiàn)過(guò),但只有單位分解方法出現(xiàn)以后,才開(kāi)始了其系統(tǒng)研究,并有必要重新審視以前這方面的工作。在理論上,廣義有限元方法是單位分解方法和常規(guī)有限元方法的混合產(chǎn)物,它包括兩個(gè)主要步驟:一是采用與區(qū)域無(wú)關(guān)的網(wǎng)格,二是引入特定的局部逼近函數(shù)構(gòu)造單元的形狀函數(shù)。下面予以詳細(xì)介紹。2由于廣義有限單元形狀函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.1有限元擬合中的單位分解以一維線性有限單元為例,介紹從單位分解法到廣義有限元方法的基本思想。研究定義在區(qū)域Ω?R上的場(chǎng)函數(shù)u。構(gòu)造開(kāi)集ΤΝ=Ν∪α=1ωα(1)使得Ω的閉集被N個(gè)中心位于點(diǎn)xα的支集ωα所覆蓋,即ˉΩ?ΤΝ(2)設(shè)xα為定義在支集ωα上的局部逼近函數(shù)空間,u的局部逼近uα為它的元素。假定uα能很好地逼近u,則局部逼近經(jīng)某種組合可給出u的整體逼近uhp,并將使uhp與u之間的差在給定范數(shù)下以局部誤差|u-uα|為界。在單位分解法中,這種整體逼近采用定義在支集ωα上的函數(shù)φα加以實(shí)現(xiàn)。φα具有下列特性φα∈Cs0(ωα),(s≥0;1≤α≤Ν)(3)∑αφα=1,(?x∈Ω)(4)函數(shù)φα稱(chēng)為開(kāi)集TN上的單位分解。在有限元類(lèi)單位分解中,支集ωα就是共有一個(gè)頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)xα的有限單元的并集。此時(shí),廣義有限元方法的實(shí)現(xiàn)在思想上與標(biāo)準(zhǔn)的有限元程序相同,主要區(qū)別在于下面將要闡述的形狀函數(shù)的形式。廣義有限元方法仍然采用有限單元結(jié)點(diǎn)支集的單位分解,因而,它可使用常規(guī)有限元法中已發(fā)展成熟的程序結(jié)構(gòu)等。圖1表示一維的廣義有限元離散。單位分解函數(shù)φα就是通常的有限元形狀函數(shù),即以結(jié)點(diǎn)xα為中心的經(jīng)典“帽子函數(shù)”,因而,支集ωα就是單元τα-1與τα的并集,或者說(shuō),單元τα是支集ωα和ωα+1的交集,并以?xún)蓚€(gè)支集的中心xα和xα+1為結(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)在考察擁有結(jié)點(diǎn)xα和xα+1的單元τα,假定與該單元關(guān)聯(lián)的支集ωα和ωα+1上的局部逼近均為{u1,u2},那么單元τα上的形狀函數(shù)可由下列方式構(gòu)造Sτα=φβ×{1,u1,u2}={φβ,φβu1,φβu2},(β=α,α+1)(5)其顯式表達(dá)式為Sτα={φα,φα+1,φαu1,φα+1u1,φαu2,φα+1u2}(6)也就是說(shuō),通過(guò)這種具有單位分解特性的Lagrange型有限元形狀函數(shù)與局部逼近u1和u2的積就可構(gòu)造廣義有限單元的形狀函數(shù)(加入單位1的原因?qū)⒃?.2節(jié)解釋),這樣,單元τα共有2×3=6個(gè)形狀函數(shù),每個(gè)結(jié)點(diǎn)3個(gè)。當(dāng)然,可以增加u1、u2的數(shù)目,進(jìn)一步拓展空間Sτα的維數(shù)。利用有限元形狀函數(shù)所具有的單位分解特性,可以很容易地證明:(6)式所定義的形狀函數(shù)的組合能“再生”局部逼近u1和u2,即1×(φαu1)+1×(φα+1u1)=u1(φα+φα+1)=u1(7a)1×(φαu2)+1×(φα+1u2)=u2(φα+φα+1)=u2(7b)換句話說(shuō),有u1,u2∈span{Sτ}借助于支集上所定義函數(shù)的單位分解特性將局部逼近空間粘連在一起構(gòu)造形狀函數(shù),再通過(guò)線性組合再生支集ωα上的局部逼近,是廣義有限元方法形狀函數(shù)構(gòu)造的基本思想。這些特征將在2.3節(jié)詳細(xì)討論。2.2廣義有限元方法考慮n維框架,仍然采用式(1)和式(2)中的記號(hào)和關(guān)系式。xα(ωα)=span{Liα}i∈I(α)為定義在ωα上的局部空間,其中I(α)為指標(biāo)集,Liα表示像u1和u2(見(jiàn)2.1節(jié))一樣的局部逼近函數(shù),這種函數(shù)可按如下選擇:假定具有單位分解特性的有限元形狀函數(shù)φα僅具有線性插值特性1,并且Ρp-1(ωα)?Xα(ωα)?(α=1,?,Ν)(8)其中Pp-1表示次數(shù)低于或等于p-1的多項(xiàng)式空間,那么,p次有限元的形狀函數(shù)定義為FpΝ={φαi=φαLiα,(α=1,…,N);i∈I(α))}(9)注意,局部空間xα的選取有相當(dāng)大的自由。xα的基可直接選取能很好逼近光滑函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù),此時(shí),廣義有限元方法在本質(zhì)上與常規(guī)有限元方法相同。對(duì)每一個(gè)α,由于基函數(shù){Liα}i∈I(α)(α=1,…,N)的數(shù)目(即I(α)的元素個(gè)數(shù))可以不同,因而,廣義有限元網(wǎng)格的每個(gè)頂點(diǎn)可選取不同的多項(xiàng)式階數(shù),并能實(shí)現(xiàn)廣義有限元與常規(guī)有限元間的無(wú)縫連接,并不需要像文那樣,必須約束廣義有限元結(jié)點(diǎn)的某些自由度。逼近還可以是各向異性的,例如,不同的方向具有不同的多項(xiàng)式階數(shù)。在廣義有限元方法框架內(nèi),不再需要常規(guī)p型有限元方法中的邊結(jié)點(diǎn)、內(nèi)部結(jié)點(diǎn)等概念。在很多情況下,邊值問(wèn)題的解不是一個(gè)光滑函數(shù)。對(duì)于這些情形,像常規(guī)有限元方法一樣利用多項(xiàng)式構(gòu)造逼近空間并不是最優(yōu),除非使用精心設(shè)計(jì)的網(wǎng)格,否則可能導(dǎo)致對(duì)解u的低劣逼近。在廣義有限元方法中,可以使用任何對(duì)解的已有知識(shí),以選取較好的局部空間xα。例如,可以求解在部分區(qū)域具有點(diǎn)或線奇異性的邊值問(wèn)題,然后使用這樣的局部空間xα構(gòu)造廣義有限元的形狀函數(shù)以反映這些奇異性,比多項(xiàng)式函數(shù)更有效。下面簡(jiǎn)單介紹廣義有限元方法的誤差估計(jì)。假定Ω劃分成有限單元、形成單位分解,并滿足二維或三維問(wèn)題對(duì)單元及單位分解函數(shù)的要求。記hα=diam(ωα)(10a)h=maxα=1,?,Ν(hα)(10b)及Xhp=span{φαi},(α=1,?,Ν;i∈Ι(α))(10c)其中廣義有限單元的形狀函數(shù)φαi已在式(9)中定義。此外,為了保證逼近函數(shù)空間的完備性(2.3節(jié)將會(huì)看到)及廣義有限元向常規(guī)有限元的退化(3.1節(jié)將會(huì)看到),在局部逼近函數(shù)空間中還需要加入單位常函數(shù)1,即1∈xα(ωα)?(α=1,?,Ν)(11)根據(jù)局部逼近特征,存在一個(gè)與α,h,p,u有關(guān)的ε,使得‖u-uα‖E(Ω∩ωα)≤ε(α,h,p,u),(α=1,…,N)(12)那么,可以證明,?uhp∈Xhp,使得∥u-uhp∥E(Ω)≤C(Ν(h)∑α=1ε(α,h,p,u))12(13)其中C是一個(gè)與h、p、u等無(wú)關(guān)的常數(shù)。2.3廣義三角形形狀函數(shù)本節(jié)以二維三角形單元為例,對(duì)廣義有限單元的形狀函數(shù)進(jìn)行實(shí)例分析,并說(shuō)明存在于廣義有限單元形狀函數(shù)中的線性相關(guān)性。對(duì)于三角形單元,利用線性三角形形狀函數(shù)與線性單項(xiàng)式的乘積,二次廣義三角形有限單元的形狀函數(shù)可構(gòu)造為φα×{1,ξ,η}?(α=1,?,Ν)(14)其中φα為常規(guī)三角形有限元的線性形狀函數(shù)(即面積坐標(biāo))。ξ=(x-xα)hα?η=(y-yα)hα?xα=(xα,yα)是結(jié)點(diǎn)α的坐標(biāo)。如此構(gòu)造可使舍入誤差最小。根據(jù)上節(jié)中的記號(hào),有xα(ωα)=span{Liα}=span{1,ξ,η},(α=1,…,N)(15)現(xiàn)考察具有x1、x2、x3三個(gè)結(jié)點(diǎn)的三角形單元τ,由式(14),該單元的廣義有限元二次形狀函數(shù)為Sτ=φα×{1,ξ,η}?(α=1,2,3)(16)因而,每一個(gè)二次的三角形單元具有3×3=9個(gè)形狀函數(shù),而不再是常規(guī)有限單元中的6個(gè)(分別對(duì)應(yīng)于6個(gè)基函數(shù):1、x、y、xy、x2、y2)。應(yīng)該注意的是,所有的形狀函數(shù)都定義在單元的頂點(diǎn)上,猶如一個(gè)線性單元,沒(méi)有引入邊、面或內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度等概念,并不像常規(guī)高階二維有限單元的做法。而且,高階形狀函數(shù)的支集與線性形狀函數(shù){φ1,φ2,φ3}的支集相同,這對(duì)剛度矩陣保持其優(yōu)異的結(jié)構(gòu)特性具有重要意義。具有“再生”三次多項(xiàng)式的廣義三角形形狀函數(shù)可通過(guò)下列方式構(gòu)造:如局部空間xα使用基函數(shù)xα=span{1,ξη,ξ2,η2}?(α=1,2,3)(17)那么?具有x1、x2、x3結(jié)點(diǎn)的單元τ的形狀函數(shù)為ˉSτ=φα×{1,ξη,ξ2,η2}?(α=1,2,3)(18)如式(17),xα的基函數(shù)選取時(shí)去除了ξ,η的成分,一方面由于它們本身可由單位分解函數(shù)φα(α=1,2,3)再生得到,另一方面,它們?cè)谠偕味囗?xiàng)式時(shí)的作用也由于局部逼近函數(shù)的二次特性不再需要。然而,這些做法并不足以避免形狀函數(shù)的線性相關(guān)性,因?yàn)槿涡螤詈瘮?shù)的基只有10個(gè),即1、x、y、xy、x2、y2、x2y、xy2、x3、y3,而形狀函數(shù)的數(shù)目為3×4=12。具體分析如下。定理:令Sτ和ˉSτ如式(16)和式(17)所定義,那么i)span{Sτ}=span{1,x,y,xy,x2,y2}=P2ii)span{ˉSτ}=span{1,x,y,xy,x2,y2,x2y,xy2,x3,y3}=P3證明:為了符號(hào)簡(jiǎn)單,將xα中的Liα寫(xiě)成其等價(jià)形式{1,x,y},因而Sτ=φα×{1,x,y}?(α=1,2,3)(19)由于φα為線性三角形單元的形狀函數(shù),那么,存在常數(shù)axα,ayα,使得?x∈τ,滿足3∑α=1φα=1(20)3∑α=1φαaxα=x(21)3∑α=1φαayα=y(22)因此有{1,x,y}∈Sτ根據(jù)式(20)～式(22),很容易得到3∑α=1axα(φαx)=x3∑α=1axαφα=x2(23)3∑α=1ayα(φαx)=x3∑α=1ayαφα=xy(24)相似地?對(duì)于y2項(xiàng)?可得到相應(yīng)的形式。因此Ρ2?span{Sα}(25)下面再證明Sτ是一個(gè)線性相關(guān)的集合,而且它的維數(shù)為6。利用式(20)表示的函數(shù)φα的單位分解特性,有3∑α=1(φαx)=x3∑α=1φα=x(26)考慮到(21)式與上式?得到3∑α=1(φαx)-3∑α=1φαaxα=0(27)對(duì)y亦有相似的關(guān)系式,說(shuō)明x、y分別有兩種構(gòu)造方法,即參與構(gòu)造它們的形狀函數(shù)是線性相關(guān)的。因此,span{Sτ}的基的維數(shù)應(yīng)該小于或等于9-2=7。此外,還有3∑α=1axα(φαy)=y3∑α=1axαφα=yx(28)考慮到式(24)及上式?得到3∑α=1axα(φαy)-3∑α=1ayα(φαx)=0(29)說(shuō)明xy也有兩種構(gòu)造方法,即參與構(gòu)造xy的形狀函數(shù)亦是線性相關(guān)的。因此,span{Sτ}的基的維數(shù)應(yīng)該小于或等于7-1=6。這樣,定理的第i)部分得證。第ii)部分可同法得證。上述定理說(shuō)明,二次和三次廣義有限元形狀函數(shù)中總存在線性相關(guān)性。文獻(xiàn)對(duì)廣義有限元的這種特性沒(méi)有提及,相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果也就值得商榷。3一般開(kāi)元方法的基本思想3.1廣義有限元方法的局部相似問(wèn)題以二維問(wèn)題為例,常規(guī)有限元方法一般將所研究的區(qū)域劃分成三角形或四邊形單元組成的網(wǎng)格,并且在劃分網(wǎng)格時(shí)就考慮了區(qū)域的邊界及其內(nèi)部的所有細(xì)節(jié)(如圖2a),對(duì)于具有復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)(如含有成百上千個(gè)夾雜或空洞)的問(wèn)題,網(wǎng)格的剖分就變得非常困難,即使勉強(qiáng)能夠?qū)崿F(xiàn),也顯得非常笨拙。廣義有限元方法則繞過(guò)所有的內(nèi)部細(xì)節(jié)進(jìn)行單元剖分,生成被內(nèi)部結(jié)構(gòu)切割的網(wǎng)格。圖2給出了兩種方法在網(wǎng)格剖分上的比較,很明顯,廣義有限元方法具有更強(qiáng)的靈活性。與靈活的網(wǎng)格剖分對(duì)應(yīng)的是對(duì)區(qū)域內(nèi)部具體細(xì)節(jié)的處理,這是通過(guò)廣義有限單元形狀函數(shù)強(qiáng)大的可構(gòu)造性、特別是在以頂點(diǎn)為中心的支集上引入針對(duì)特定問(wèn)題的局部逼近加以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際上,對(duì)含有凹角或裂紋等奇異性的問(wèn)題,常規(guī)有限元插值函數(shù)的逼近精度和效率都很低,也需要進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)單位分解方法,廣義有限單元上的場(chǎng)變量可插值為uGFEΜ=Ν∑k=1φk(∑j∈Ι(α)a(k)jψ(k)j)+ΝFEΜ∑k=1bk?φk(30)其中:第一項(xiàng)是僅與單元頂點(diǎn)(或稱(chēng)為外自由度)有關(guān)的插值;第二項(xiàng)包括由于邊結(jié)點(diǎn)和內(nèi)部自由度的存在而產(chǎn)生的高階插值部分,是將高階常規(guī)有限元拓展至廣義有限元時(shí)殘留的;NFEM是單元邊界自由度和內(nèi)部自由度的總數(shù);φk和?φk都是常規(guī)的有限元插值函數(shù),通常以母單元上的局部坐標(biāo)(ξ,η)表示。式(30)中的ψ(k)j就是廣義有限元方法在頂點(diǎn)k處具有特色的局部逼近函數(shù),通常以實(shí)際單元上的整體坐標(biāo)(x,y)表示,函數(shù)形式則根據(jù)具體問(wèn)題而定,將在3.2.1節(jié)討論。可以看到,ψ(k)j中必須包含單位常函數(shù)1,而且,當(dāng)ψ(k)j僅包含單位常函數(shù)1時(shí),式(30)即退化為常規(guī)有限元法的插值形式。3.2在廣義元算法中，關(guān)于特殊療效函數(shù)的獲取和應(yīng)用3.2.1基于hlet方程的特殊超算法廣義有限元方法所引入的局部逼近函數(shù)根據(jù)所研究問(wèn)題的微分方程類(lèi)型、幾何形狀以及邊界條件等而不同。例如,對(duì)于含M個(gè)橢圓形空洞的二維Laplace問(wèn)題,其控制方程為Δu=0onΩ(31)映射將用于獲得式(34)。如圖3所示,第m個(gè)空洞的區(qū)域?yàn)棣竚。邊界為Γm=?Ωm,其上作用Neumann邊界條件?u?n|Γm=g(32)或齊次Dirichlet邊界條件u|Γm=0(33)因而,第m個(gè)空洞對(duì)應(yīng)的局部逼近函數(shù)為ψ(k)j,m={amlnrm?(j=1)Re(zlm+bmz-lm)?(j=2l)Ιm(zlm+cmz-lm)?(j=2l+1)(34)其中zm=rmeiθm?i=√-1為虛數(shù)單位,(rm,θm)為與第m個(gè)空洞相關(guān)聯(lián)的極坐標(biāo)。式(34)是含橢圓形空洞問(wèn)題的解析解,常數(shù)am、bm、cm根據(jù)式(32)或式(33)的邊界條件確定。同法可獲取其它類(lèi)型的特殊逼近函數(shù),一些具體實(shí)例可參考文獻(xiàn)。從以上獲取特殊逼近函數(shù)的步驟可以看出,廣義有限元方法的特殊函數(shù)取自于規(guī)定問(wèn)題的封閉解,并包含根據(jù)邊界條件確定的系數(shù)。若特殊函數(shù)的解析形式無(wú)法獲取,廣義有限元方法還允許引入數(shù)值式函數(shù)。應(yīng)該注意到,由于ψ(i)j的形式及其個(gè)數(shù)并不是按照基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)選取,式(30)中的各個(gè)形狀函數(shù)φiψ(i)j之間并不一定相互獨(dú)立。對(duì)于多項(xiàng)式情形,已在2.3節(jié)中進(jìn)行了示例分析;對(duì)于由復(fù)雜局部逼近函數(shù)構(gòu)造的形狀函數(shù),其相關(guān)性不再能夠通過(guò)理論方法予以展示,但對(duì)剛度矩陣的零模態(tài)數(shù)目計(jì)算表明,它們之間確實(shí)存在線性相關(guān)性,因而必須采取恰當(dāng)途徑給予解決,具體參閱4.1節(jié)。3.2.2特殊相似函數(shù)的使用區(qū)域廣義有限元方法中的局部逼近函數(shù)直接取自于規(guī)定問(wèn)題(例如3.2.1節(jié)提到的橢圓形空洞問(wèn)題)的封閉解,但同時(shí)必須注意選擇恰當(dāng)?shù)氖褂脜^(qū)域。例如,在含多個(gè)空洞情形下,首先將空洞附近的網(wǎng)格進(jìn)行足夠細(xì)化,以使每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)的支集不會(huì)同時(shí)包含兩種或以上的特殊逼近函數(shù)。每種特殊逼近函數(shù)的使用區(qū)域按照下述分層方式確定。第0層:指支集包含空洞邊界的單元頂點(diǎn)。第1層:指支集包含第0層頂點(diǎn)的單元頂點(diǎn)。第2層:指支集包含第1層頂點(diǎn)的單元頂點(diǎn)。特殊逼近函數(shù)應(yīng)用的上述3層頂點(diǎn)示意性地表示在圖4中。針對(duì)具體問(wèn)題的理論分析表明,同時(shí)對(duì)第0層和第1層頂點(diǎn)引入特殊逼近函數(shù),可以顯著提高求解精度。4廣義元方法的實(shí)施策略4.1剛度矩陣零特征值的個(gè)數(shù)正如2.3節(jié)和3.2.1節(jié)所提及的,由于局部逼近函數(shù)大多存在的線性相關(guān)性,廣義有限元方法的剛度矩陣一般都具有奇異性。例如對(duì)于式(34)表示的簡(jiǎn)諧函數(shù),通過(guò)計(jì)算剛度矩陣零特征值的數(shù)目,Strouboulis等分析了不同(n×n)網(wǎng)格和多項(xiàng)式階數(shù)為p時(shí)剛度矩陣的秩的特性,并列于表1。對(duì)于該Laplace問(wèn)題,常規(guī)有限元方法僅包含一個(gè)零特征值,而且通過(guò)固定一個(gè)或更多的點(diǎn)可以消除。然而,在廣義有限元方法中,零特征值的個(gè)數(shù)一般并不知道,因此需要求解以半正定矩陣A為系數(shù)的線性方程組,即Ac=b(35)雖然上述方程的解是不唯一的,但卻是存在的。有兩種基于直接Gauss消去的方法可供選擇,它們都非常有效,而且,額外的計(jì)算機(jī)耗時(shí)可以忽略。具體如下。1計(jì)算初始v令A(yù)ε=A+εI,其中ε是一個(gè)大于零的小攝動(dòng)參數(shù),例如取為10-10,I為單位矩陣。這樣,Aε就是正定的,因而也是非奇異的。c可按下列步驟予以計(jì)算。①Step0,賦初值i=0,c0=A-1εb,r0=b-Ac0,i=i+1②Step1,計(jì)算zi=A-1εri-1?ci=c0+i∑j=1zj③Step2,判斷|ziAzi|ciAci是否滿足設(shè)定容差:若滿足,停止;若不滿足,繼續(xù)。④Step3,更新初值vi=Azi?ri+1=r0-i∑j=1vi?i=i+1⑤Step4,進(jìn)行迭代,轉(zhuǎn)至Step1。最后求得的ci就是待求的c。2gauss消去法利用Duff等在文獻(xiàn)提出的稀疏對(duì)稱(chēng)不定系統(tǒng)的多波前直接Gauss消去法,可以計(jì)算出c。該法已形成Harwell子程序庫(kù)。4.2廣義有限元方法的應(yīng)用對(duì)于大多數(shù)單位分解方法,數(shù)值積分的準(zhǔn)確性是困擾研究人員的最主要問(wèn)題之一,它直接決定著整個(gè)數(shù)值方法的計(jì)算精度。常規(guī)有限元方法的插值逼近是逐單元地以映射多項(xiàng)式形式進(jìn)行構(gòu)造,相應(yīng)的單元積分在單元上通過(guò)一定階數(shù)的Gauss求積加以實(shí)現(xiàn)。但是,基于兩方面原因,在廣義有限元法中不宜直接使用Gauss求積法則:一是剛度矩陣和載荷向量的計(jì)算需要在復(fù)雜幾何形狀上的積分,例如被空洞分割的單元;二是積分所涉及的特殊逼近函數(shù)(或?qū)?shù))常常不光滑或具有奇異性。為了保證數(shù)值積分的精度,Strouboulis等通過(guò)自適應(yīng)地細(xì)化各個(gè)(子)單元,經(jīng)歷了從嵌入式子劃分方法到快速細(xì)化方法的發(fā)展過(guò)程,很好地解決了數(shù)值積分問(wèn)題。筆者認(rèn)為,這是廣義有限元方法研究取得的特色性進(jìn)展之一。以空洞問(wèn)題為例,令τ為至少被一個(gè)空洞橫穿的單元,若求積分Ι[f]=∫τfdτ(36)將采用如下快速細(xì)化求積方法。①Step0,開(kāi)始令n=1為單元當(dāng)前的零級(jí)子單元數(shù),τk(k=1～n)為該級(jí)子單元。②Step1,零級(jí)子單元?jiǎng)澐謱?duì)被空洞橫穿的零級(jí)子單元進(jìn)行劃分,使生成的一級(jí)子單元,或者全部位于求解域內(nèi)部、或者全部位于求解域外部、或者滿足圖5所示的單元?jiǎng)澐种兄箿?zhǔn)則。③Step2,一級(jí)子單元?jiǎng)澐謱?duì)滿足中止條件的一級(jí)子單元,按圖6所示的劃分策略生成二級(jí)子單元。④Step3,初始估計(jì)對(duì)于被空洞橫穿的零級(jí)子單元τk,使用母單元上的7階內(nèi)嵌法則,按二級(jí)子單元積分、相加得到一級(jí)子單元的積分,或直接在一級(jí)子單元進(jìn)行積分,然后將一級(jí)子單元的積分相加,獲得整個(gè)零級(jí)子單元上的積分Iτk和誤差Eτk。對(duì)于其它零級(jí)子單元τk,使用母單元上的7階內(nèi)嵌法則以及外推法,得到積分Iτk和誤差Eτk。計(jì)算總積分I=∑Iτk和總誤差E=∑Eτk。⑤Step4,判斷與控制dowhileE|Ι|2>εrel在所有單元中尋找最大誤差Emax=maxk(Eτk)。如果取得Emax的零級(jí)子單元含有一級(jí)、二級(jí)子單元,先將其刪除;將該單元?jiǎng)澐殖?個(gè)新的單元;置零級(jí)子單元的數(shù)目n-1+4→n。⑥重復(fù)Step1～Step3,重新計(jì)算I和E。⑦enddo上述算法主要針對(duì)單元內(nèi)空洞邊界為多邊形的情形。若單元內(nèi)的空洞邊界為曲線,則借助于混合函數(shù)法。對(duì)于裂紋和凹角周?chē)褂闷娈惡瘮?shù)進(jìn)行逼近的情形,則需采用特殊的求積技術(shù)。例如,對(duì)于如圖7所示的L-形區(qū)域,ΓD是齊次Dirichlet邊界條件,ΓN上及其它剩余邊界是Neumann邊界條件,網(wǎng)格剖分成均勻的正方形單元。其精確解為u0=r13sin(θ3)(37)因而?廣義有限元的插值函數(shù)可表示為ψ(A)=[r13sin(θ3)]φA(38)其中φA是頂點(diǎn)A處的帽子函數(shù)?？紤]到有限元?jiǎng)偠染仃嚺c插值函數(shù)的關(guān)系,必須對(duì)含有r-43項(xiàng)的強(qiáng)奇異被積函數(shù)進(jìn)行積分。DECUHR算法是計(jì)算這類(lèi)積分的有效途徑之一,可在非均勻的單元子劃分上進(jìn)行,與其它自適應(yīng)方法相比,計(jì)算次數(shù)更少。4.3添加相應(yīng)的dicihst邊界條件由于廣義有限元方法網(wǎng)格劃分的靈活性,插值逼近網(wǎng)格有可能覆蓋求解域的邊界,因而,必須研究對(duì)Dirichlet邊界條件或Neumann邊界條件的處理。如果Dirichlet邊界橫穿某結(jié)點(diǎn)的支集,則對(duì)該結(jié)點(diǎn)施加相應(yīng)的Dirichlet邊界條件。這樣施加邊界條件,解的收斂性是可以保證的,但若在逼近函數(shù)中引入滿足Dirichlet邊界條件的特殊函數(shù),如角點(diǎn)或棱邊函數(shù)(參考圖8),可以大大提高求解精度。Newmann邊界條件式(32),將以邊界積分形式出現(xiàn)在載荷向量中,即Fk|τ=∫?τgφkdΓ(39)上述邊界積分分成n段來(lái)處理就成為Fk|τ=∑j=1n∫sjg(s)φk(s)ds=∑j=1n∫s^jg(t)φk(t)dsdtdt(40)其中t為定義在母線段s^上,值位于[-1,1]間的參數(shù)(參考圖9)。數(shù)值積分將利用恰當(dāng)階的分片一維Gauss法則來(lái)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然,如果被積函數(shù)是高度震蕩函數(shù)或具有奇異性,還需采用自適應(yīng)求積。5它在一般意義上是有限的，與有限的開(kāi)源代碼法和有限的覆蓋法之間存在著相似之處5.1線性求解器的改進(jìn)由于廣義有限元方法中的局部逼近函數(shù)取自于滿足邊界條件的規(guī)定問(wèn)題的封閉解,因而它能像常規(guī)有限元方法一樣,精確施加本質(zhì)(Dirichlet)邊界條件,這正是困擾其它類(lèi)單位分解方法(例如無(wú)網(wǎng)格法、擴(kuò)展有限元方法以及數(shù)值流形方法)的一個(gè)主要問(wèn)題。通過(guò)對(duì)線性求解器的改進(jìn),簡(jiǎn)單而有效地解決了廣義有限元方法中系統(tǒng)方程組所固有的線性相關(guān)問(wèn)題(詳細(xì)參閱4.1節(jié))。類(lèi)似問(wèn)題也存在于擴(kuò)展有限元方法和有限覆蓋(數(shù)值流形)方法中,但沒(méi)有加以認(rèn)真對(duì)待。廣義有限元方法可以對(duì)復(fù)雜局部逼近函數(shù)的數(shù)值積分精度實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)的控制(詳見(jiàn)4.2節(jié)),以使它們不影響形狀函數(shù)的插值精度。其它類(lèi)單位分解方法,例如無(wú)網(wǎng)格法和擴(kuò)展有限元方法,對(duì)該問(wèn)題的研究則不夠深入。5.2廣義金元方法與擴(kuò)展金元方法的相似之處廣義有限元法與擴(kuò)展有限元法都是常規(guī)有限元法的延伸,它們之間具有相似之處。1邊界擊穿單元兩種方法在劃分用于插值逼近的有限元網(wǎng)格時(shí),都不考慮區(qū)域的內(nèi)部結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié),允許空洞、夾雜或裂紋等內(nèi)邊界橫穿單元。并且,廣義有限元法的網(wǎng)格還允許區(qū)域的外部輪廓橫穿單元,這一思想大大增強(qiáng)了有限元方法網(wǎng)格剖分的靈活性。2局部插值逼近廣義有限元法和擴(kuò)展有限元法均根據(jù)基于單元的單位分解方法發(fā)展而來(lái),在單元上對(duì)場(chǎng)變量進(jìn)行局部插值逼近。由于二者均源于與常規(guī)有限元方法相同的插值逼近理論,因而它們保持了常規(guī)有限元方法的優(yōu)良性能。3函數(shù)所增加控制的算法和策略這兩種方法都尋求在插值函數(shù)中引入特殊函數(shù)(從而增加結(jié)點(diǎn)自由度)的思想來(lái)考慮真實(shí)結(jié)構(gòu)中各種細(xì)節(jié)的存在,并發(fā)展了與之對(duì)應(yīng)的算法和策略(如數(shù)值積分技術(shù)等)。4擴(kuò)展有限元法附加自由度由于形狀函數(shù)中引入了特定的局部逼近函數(shù),廣義有限元法和擴(kuò)展有限元法在進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)都采用了單元分解思想。以二維問(wèn)題為例,廣義有限元法常常將單元子劃分成四邊形單元,擴(kuò)展有限元法則劃分成三角形單元,但這種為了數(shù)值積分所進(jìn)行的單元分解,完全不同于常規(guī)有限元法中的網(wǎng)格細(xì)化,不會(huì)增加問(wèn)題的總自由度數(shù)、擴(kuò)大問(wèn)題的求解規(guī)模。廣義有限元法與擴(kuò)展有限元法之間主要有兩個(gè)區(qū)別:①兩種單元結(jié)點(diǎn)處自由度的物理涵義不同。在引入局部逼近函數(shù)的同時(shí),廣義有限元方法在結(jié)點(diǎn)處引入了廣義自由度,其物理意義可解釋為以該結(jié)點(diǎn)為中心的支集上的局部逼近函數(shù)(封閉解的各項(xiàng))的權(quán)重;擴(kuò)展有限元法附加自由度可解釋為結(jié)點(diǎn)處增強(qiáng)基函數(shù)的權(quán)重,是對(duì)結(jié)點(diǎn)常規(guī)結(jié)點(diǎn)自由度的補(bǔ)充和擴(kuò)展。例如對(duì)于空洞問(wèn)題,當(dāng)采用常規(guī)有限元網(wǎng)格時(shí),擴(kuò)展有限元的附加自由度會(huì)自動(dòng)消失(或通過(guò)去除附加自由度或置附加自由度為零實(shí)現(xiàn)),很自然地退化成常規(guī)有限元方法。但廣義有限元方法必須改變局部逼近函數(shù),首先在廣義自由度上反映這種變化,才能退化為常規(guī)有限元方法;②形狀函數(shù)的特性不同。雖然這兩種方法在形狀函數(shù)中都引入了針對(duì)具體問(wèn)題的局部逼近函數(shù)(對(duì)于廣義有限元法)或增強(qiáng)函數(shù)(對(duì)于擴(kuò)展有限元法),但其特性有著本質(zhì)差異,是這兩種方法的最根本區(qū)別所在。以空洞問(wèn)題為例,擴(kuò)展有限元方法以對(duì)常規(guī)自由度的擴(kuò)展為特征,著眼于內(nèi)部幾何或材料發(fā)生變化時(shí)表現(xiàn)出的最基本性質(zhì),利用整體坐標(biāo)表示的符號(hào)距離函數(shù)表征界面兩側(cè)位移梯度(應(yīng)變)所出現(xiàn)的跳躍(詳見(jiàn)文獻(xiàn)),因而,擴(kuò)展有限元方法的增強(qiáng)函數(shù)具有插值特征,也不隨空洞的形狀和邊界條件而發(fā)生變化。對(duì)同樣問(wèn)題,廣義有限元法中的局部逼近函數(shù)是形如式(34)的封閉解的各項(xiàng),并不具有插值基函數(shù)的特性;而且,形式因結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)、載荷和邊界條件而不同。另外,這兩種方法所采用的數(shù)值積分技術(shù)也不同。由于形狀函數(shù)通常不再是母單元坐標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù),被積函數(shù)在單元上常常是不光滑的、不連續(xù)的、甚至是奇異的,因而必須發(fā)展相應(yīng)的數(shù)值積分技術(shù)。擴(kuò)展有限元法在擴(kuò)展單元內(nèi)部通過(guò)單元分解(例如二維問(wèn)題,子劃分成三角形和四邊形),目前都采用高階Gauss求積進(jìn)行數(shù)值積分,更深入的研究尚未見(jiàn)報(bào)道。已有研究表明,廣義有限元的數(shù)值積分精度與求解精度關(guān)聯(lián),并且,為了獲得更高的積分精度,發(fā)展了新的快速細(xì)化自適應(yīng)數(shù)值積分技術(shù),或者建議采用DECUHR等自適應(yīng)方法等,進(jìn)行數(shù)值積分。應(yīng)該提及的是,廣義有限元方法基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),其誤差可根據(jù)局部逼近函數(shù)的誤差事先估計(jì);而對(duì)擴(kuò)展有限元方法,這方面的工作難度較大,研究進(jìn)展也相對(duì)較少。5.3有限覆蓋及數(shù)值流形方法1991年和1992年,石根華先后撰文,提出了數(shù)值流形方法(MM)。1997年,裴覺(jué)民翻譯、整理出版了有關(guān)數(shù)值流形方法的專(zhuān)著。1998年Chen等建立了高階數(shù)值流形方法的公式。2003年,Terada等將數(shù)值流形方法發(fā)展成為概念上更加清晰的有限覆蓋方法。這類(lèi)方法在處理不連續(xù)問(wèn)題及大變形問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì),目前在巖土工程中得到了深入研究和廣泛應(yīng)用。有限覆蓋方法以數(shù)學(xué)域和物理域開(kāi)始對(duì)方法的描述。所謂數(shù)學(xué)域就是指與物理無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)函數(shù)的定義區(qū)域;物理域則是物理量的定義區(qū)域Ω,可根據(jù)內(nèi)部的物理或邊界特征劃分成不同的幾個(gè)區(qū)域Ωi。數(shù)學(xué)域由部分或全部重疊的有限分片相并而成,這些分片稱(chēng)為數(shù)學(xué)覆蓋;利用有限覆蓋方法在描述問(wèn)題時(shí),數(shù)學(xué)域(即數(shù)學(xué)覆蓋的并集)不需與物理域一致,但必須完全覆蓋物理域。將數(shù)學(xué)覆蓋MI與物理域Ωi的公共區(qū)域稱(chēng)為物理覆蓋,記做PΙ[α],這與數(shù)值流形方法中的定義一致。在此基礎(chǔ)上,Terada等又將滿足協(xié)調(diào)性和完備性(又稱(chēng)再生性條件)的物理覆蓋稱(chēng)為有限覆蓋。在數(shù)學(xué)覆蓋MI上定義權(quán)函數(shù)wI(x),并滿足{wΙ(x)≥0,x∈ΜΙwΙ(x)=0,x?ΜΙ(41)以及在整個(gè)數(shù)學(xué)域上∑Ι=1ΝΜwΙ(x)=1(42)其中NM為數(shù)學(xué)覆蓋的總數(shù)目。式(41)表明權(quán)函數(shù)wI(x)是MI上的支函數(shù),式(42)就是逼近連續(xù)性要求的單位分解。在物理覆蓋PΙ[α]上定義覆蓋函數(shù)uΙ[α],這樣,整體位移函數(shù)由下式逼近u(x)?uh(x)=∑Ι=1ΝΜ∑i=1nΙwΙ(x)uΙ[α](43)其中:nI是與數(shù)學(xué)覆蓋MI相關(guān)聯(lián)的物理覆蓋的數(shù)目;α=α(I,i)是I與i的函數(shù),描述數(shù)學(xué)覆蓋MI與物理域Ωi的共有情況。在有限覆蓋方法中也可仿照有限元方法定義諸如“單元”和“結(jié)點(diǎn)”等幾何要素。從網(wǎng)格剖分角度,若數(shù)學(xué)覆蓋與物理覆蓋重合,有限覆蓋方法就退化為常規(guī)有限元方法;再若數(shù)學(xué)覆蓋選為有限元結(jié)點(diǎn)的支集,則二者完全相同,即就是,“單元”是物理覆蓋(或結(jié)點(diǎn)支集)的公共區(qū)域,“結(jié)點(diǎn)”是數(shù)學(xué)覆蓋(或結(jié)點(diǎn)支集)的“星”。廣義有限元方法的網(wǎng)格與實(shí)際的物理域也可以不相同,猶如有限覆蓋方法的數(shù)學(xué)域與物理域之不同。但是二者仍有較大區(qū)別:①出發(fā)點(diǎn)不同:廣義有限元方法,一方面通過(guò)采用規(guī)則的網(wǎng)格,克服具有復(fù)雜內(nèi)外結(jié)構(gòu)問(wèn)題在網(wǎng)格剖分上的困難;另一方面,加入規(guī)定問(wèn)題的封閉解,既易于邊界條件的處理,又提高了求解精度。數(shù)值流形方法則針對(duì)巖土工程中塊體結(jié)構(gòu)之間存在的不連續(xù)性和大變形問(wèn)題,通過(guò)在物理覆蓋上設(shè)置待定函數(shù),予以有效解決。兩種方法各有特色;②核心問(wèn)題不同:由于研究對(duì)象不同,這兩種方法面臨的核心問(wèn)題也不相同。廣義有限元方法必須獲得對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解析解;數(shù)值流形方法則必須很好解決物理覆蓋間的接觸問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō),兩種方法都對(duì)各自的核心問(wèn)題提出了較好的處理策略。另外,這兩種方法都面臨數(shù)值積分和線性相關(guān)性?xún)蓚€(gè)主要問(wèn)題。由于數(shù)學(xué)域與物理域可以不同,即使采用規(guī)則形狀的數(shù)學(xué)覆蓋,也可能遇到不規(guī)則單元上的數(shù)值積分。有限覆蓋方法將復(fù)雜形狀化成單純型予以處理,廣義有限元方法則采用自適應(yīng)方法保證積分的精度。但對(duì)于常規(guī)有限元方法,數(shù)值積分只需采用標(biāo)準(zhǔn)的高斯積分就可解決,是個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。為了提高逼近精度,有限覆蓋方法常采用高階覆蓋函數(shù);在廣義有限元方法中,則對(duì)結(jié)點(diǎn)自由度通過(guò)引入廣義自由度進(jìn)行高階插值。實(shí)際上,這兩種做法中的插值基函數(shù)均具有線性相關(guān)性。正如4.1節(jié)所描述,廣義有限元方法對(duì)基函數(shù)相關(guān)性導(dǎo)致的系統(tǒng)矩陣的秩的特性進(jìn)行了詳細(xì)研究;但在數(shù)值流形類(lèi)方法中,只有文獻(xiàn)提及了該問(wèn)題,并建議采用廣義有限元方法中的處理策略,初期的工作、甚至對(duì)高階數(shù)值流形方法的專(zhuān)門(mén)研究中,也沒(méi)提及線性相關(guān)性這一重要問(wèn)題。6目前，廣義元算法的應(yīng)用和發(fā)展6.1廣義有限元方法廣義有限元概念于1983年提出,1995年開(kāi)始得到重視,2000年Babuska研究組結(jié)合常規(guī)有限元法和單位分解法,首次對(duì)廣義有限元方法進(jìn)行系統(tǒng)研究,將廣義有限元方法的主要特征界定為:①可以像常規(guī)有限元方法一樣精確處理本質(zhì)邊界條件,而這恰恰是其它類(lèi)單位分解方法所面臨的一個(gè)主要問(wèn)題;②剛度矩陣和載荷向量中的數(shù)值積分精度可以得到自適應(yīng)地控制,以使積分的誤差不影響插值函數(shù)的逼近精度,該問(wèn)題在其它類(lèi)單位分解方法中沒(méi)有凸現(xiàn)出來(lái);③通過(guò)對(duì)線性求解器的簡(jiǎn)單修改,很好解決了線性方程組中存在的線性相關(guān)性問(wèn)題。以具有復(fù)雜角點(diǎn)和裂紋的Laplace問(wèn)題為例,展示了廣義有限元方法在處理復(fù)雜幾何形狀問(wèn)題、計(jì)算誤差及計(jì)算機(jī)耗時(shí)諸方面的優(yōu)勢(shì)。同年,他們?cè)谖墨I(xiàn)中給出了用廣義有限元方法求解含多個(gè)橢圓形空洞Laplace問(wèn)題的詳細(xì)實(shí)施過(guò)程,并認(rèn)為廣義有限元方法的突出優(yōu)點(diǎn)在于:①能很容易包含反映局部特征的特定函數(shù);②能使用覆蓋區(qū)域邊界的網(wǎng)格;③能克服其它方法(如無(wú)網(wǎng)格法)在數(shù)值積分和施加Dirichlet邊界條件上的困難;④可很容易并入已有的有限元程序中,當(dāng)單元被不同材料或區(qū)域邊界橫穿時(shí),只需增加特定函數(shù)的有關(guān)程序語(yǔ)句即可。文獻(xiàn)認(rèn)為常規(guī)有限元所使用的網(wǎng)格剖分技術(shù)的主要缺點(diǎn)在于:①為了保持單元的縱橫比,當(dāng)結(jié)構(gòu)從實(shí)體部件到柔性部件過(guò)渡時(shí),需要非常多的單元;②為了捕捉角點(diǎn)和區(qū)域棱邊處的應(yīng)力集中和奇異性,常規(guī)有限元方法的多項(xiàng)式逼近需要使用大量單元,但考慮到總的自由度數(shù)目以及網(wǎng)格剖分技術(shù)等原因,在這些區(qū)域的網(wǎng)格并沒(méi)有足夠細(xì)化,以致得到的結(jié)果不能令人滿意;③生成的三角形或四面體單元,只能是各向同性的,即不同方向不能具有不同的插值多項(xiàng)式階數(shù)。為了從理論上加以改進(jìn),與常規(guī)有限元方法對(duì)照,該文詳細(xì)介紹了廣義有限元方法插值函數(shù)的構(gòu)造思想,并以三維問(wèn)題為例說(shuō)明了所構(gòu)造插值函數(shù)本身固有的線性相關(guān)性。文獻(xiàn)根據(jù)文獻(xiàn)中提出的思想,以曲多邊形域上的Laplace邊值問(wèn)題為例,詳細(xì)闡述了廣義有限元方法的設(shè)計(jì)思想及實(shí)現(xiàn)步驟。研究表明,廣義有限元方法具有兩個(gè)重要優(yōu)點(diǎn):①能夠在不依賴(lài)于區(qū)域幾何形狀的網(wǎng)格上建立整體的插值逼近,即可采用與區(qū)域無(wú)關(guān)的網(wǎng)格;②能夠在逼近構(gòu)造中融入任何特定的局部逼近函數(shù),即可采用特定函數(shù)進(jìn)行局部逼近改進(jìn)。事后誤差估計(jì)是用來(lái)評(píng)判計(jì)算結(jié)果的主要工具,因而也是數(shù)值方法理論研究的一個(gè)重要內(nèi)容。文獻(xiàn)對(duì)廣義有限元方法的事后誤差估計(jì)進(jìn)行了研究,并以含597個(gè)空洞、外邊界為Neumann邊界條件的Laplace問(wèn)題為例,展示了在廣義有限元具體計(jì)算中的預(yù)估算子及其有效性?？紤]到廣義有限元方法能很好適用于區(qū)域內(nèi)含大量?jī)?nèi)部特征(如空洞、夾雜、裂紋等)的問(wèn)題,Strouboulis等利用從離散求解域得到的“數(shù)值式”函數(shù)作為局部頂點(diǎn)逼近函數(shù),在相對(duì)于內(nèi)部特征分布而言較粗糙的網(wǎng)格上,能夠獲得較高的數(shù)值精度。該方法的難點(diǎn)就是要解決從求解網(wǎng)格上的“數(shù)值式”函數(shù)向整體網(wǎng)格“數(shù)值式”函數(shù)的變換。廣義有限元方法建立在對(duì)局部逼近解(函數(shù))信息掌握的基礎(chǔ)之上,然而,局部解的信息是不知道的、或者說(shuō)是模糊的,一般能得到的也只有它所包含的函數(shù)空間,在給定情形下到底該使用什么樣的逼近函數(shù)?在什么情形下常用的多項(xiàng)式逼近最佳?這些都需要解決,以期選取性能優(yōu)異的局部逼近。Babuska等引入了逼近函數(shù)性能判別的定量性指標(biāo),并進(jìn)行了實(shí)例分析。結(jié)果表明,在一維情形中,如果我們能得到的信息是局部函數(shù)位于與x無(wú)關(guān)的Sobolev類(lèi)空間,那么多項(xiàng)式局部逼近的性能最佳。該方法可望用來(lái)研究高維問(wèn)題中逼近函數(shù)的選取。由于廣義有限元的形狀函數(shù)可以用任意坐標(biāo)系中的多項(xiàng)式定義,并不隨所使用的背景網(wǎng)格和單元類(lèi)型而變,Duarte等在廣義有限元方法中提出了一種簡(jiǎn)單有效、且與網(wǎng)格無(wú)關(guān)的p-型正交局部逼近函數(shù)(增強(qiáng)函數(shù)),并用粗糙的四面體網(wǎng)格對(duì)具有邊界層和內(nèi)部界面層的問(wèn)題進(jìn)行了分析。該方法不需要修改就可用于任意維問(wèn)題的任何類(lèi)型單元,而且并不像常規(guī)有限元方法一樣只能在所使用的網(wǎng)格和單元方向上進(jìn)行p型增強(qiáng)。在多年研究基礎(chǔ)上,Babuska等以求解線性橢圓方程為例,利用變分原理,從數(shù)學(xué)角度對(duì)無(wú)網(wǎng)格法和廣義有限元方法這兩種最接近的數(shù)值方法進(jìn)行了概括。第二年,他們又對(duì)廣義有限元方法進(jìn)行了全面總結(jié),給出了廣義有限元方法實(shí)施的四部分主要內(nèi)容。認(rèn)為廣義有限元方法是常規(guī)有限元方法在思想上的“推廣”,可以涵蓋許多種有限元方法。當(dāng)形狀函數(shù)取多項(xiàng)式及其它特殊函數(shù)時(shí),就可得到擴(kuò)展有限元方法(文獻(xiàn))。值得一提的是,廣義有限元方法在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)非常有效,但對(duì)簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題,并不能體現(xiàn)出它的優(yōu)勢(shì)。就在最近,Duarte等采用基于Ck(k為任意大數(shù))有限單元的單位分解,建立了具有以下特征的廣義有限元形狀函數(shù):①任意光滑性;②適用于非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格并能推廣到高維;③與Lagrange型形狀函數(shù)相同的支集;④可使用與常規(guī)有限元方法相同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這種CkGFEM形狀函數(shù)可用于對(duì)光滑性要求較高的問(wèn)題(如受集中力和集中矩等分布數(shù)據(jù)的問(wèn)題),還去除了C∞GFEM形狀函數(shù)對(duì)支集的凸性要求。由于具有相同的支集,CkGFEM與C0GFEM(原來(lái)的Lagrange型)一樣都可使用Gauss求積法則,但需要較多的求積點(diǎn)。鑒于此,他們又提出了一種技術(shù),僅在需要高光滑性的區(qū)域引入CkGFEM,從而結(jié)合使用CkGFEM與C0GFEM兩種單元,既簡(jiǎn)單、又通用。6.2廣義有限元方法廣義有限元方法的研究目標(biāo)就是以有限元方法為基礎(chǔ),高效、高精度地解決復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題,因而在方法本身研究和發(fā)展的同時(shí),廣義有限元方法