第10章-時間序列分析-畢業(yè)論文-

第10章時間序列分析時間序列分析是概率統(tǒng)計學科的、個重要分支，在經濟金融、信號處理、機械震動及氣象水文等眾多領域具有廣泛的應川。本章主耍介紹時間序列的基本概念與種類，如ARMA模型、ARIMA模型、異方差模型、狀態(tài)空間模型及其它一作常見的非線性時間序列模型等。給11!常）IJ的建模和預測方法，為T避免復雜的統(tǒng)計計算，我們還給m了常用時間序列模型的sas計算程序。110.1吋間序列分析的例子和U的通俗地說，隔-段時間釆集（觀測）?個數(shù)據(jù)，所得-屮數(shù)則就構成個吋間序列，兒屮數(shù)則的個數(shù)稱力序列的長度。時間序列分折就是要找11i該序列服從的數(shù)學模型，從而進行預報和控制。分析時間序列的第、步是描繪觀測值隨時間變化的曲線，從而找出序列的特征，如確定的變化趨勢，季節(jié)性等，描繪曲線可用GPLOT過程。例10.1（太陽黑子數(shù)據(jù)）太陽黑子數(shù)據(jù)的I己錄可追溯到公兀前28年中國的西漢王朝，太陽表而上的黑點反映了太陽電磁2振動的介部湞變。令｛jy農小第的Wolf太陽黑丫*數(shù)。從1700＜|＜到2000＜|＜的太陽黑子數(shù)依時問順汴岡在閣10.1十，橫軸農小時叫，縱軸農小相K、＜十時刻廣的觀察位。這種閣形稱為時間序列圖，它對分析時間序列數(shù)據(jù)來說是4中簡單有用的方法03S-S-170017501800i1850time190019502000I冬I10.1從1700年到2000年的Wolf太陽黑子數(shù)4例10.2（加拿大山貓數(shù)據(jù)）它足加拿人I川北部Mackenzie訂流域捕獲的加I拿大111貓＜I＜度數(shù)據(jù)的替代數(shù)據(jù)，它在某種程度上反映了Mackenzie河流域山貓種群人小的變化怙況。I冬I102描繪了經過如F變換得到的I時間序列:Xt=logl。（在1820+咋捕獲的山貓數(shù)位）,H，…，114,這個時間序列所呈現(xiàn)的周期波動深刻地影響著生態(tài)學理論。5020406080100閣10.21821-1934什:I川捕獲的山貓數(shù)量（按log10的尺度）的吋間卬列6設T是實數(shù)集合R二①，況）的子集，通常稱T為指標免。7?對吋個tgT，都47‘個隨機變之對應，則稱*族隨機變量：{Xt}={Xt:teT}為一個隨機過程；當7是全體整數(shù)或個體非負整數(shù)時，稱相應的隨朽L過程為隨機序列；如果將指標集T看成時間指標時，相應的隨機序列就稱為時間序列。對任M的/?、及任M的t'，…人eT，定義隨機過程的/?維分布為F!、■，…?（Ai，…，a”）=戶{^^—1^■■■^Xt__a?r}7隨機過程的＜分布、二維分布，...，維分布等的全體:…,.“I，■■■，?），廣1，…人E7"，"S1｝稱為隨機過榪｛Xr｝的有限維分布函數(shù)族。?m機過榪（抒列）｛jy的介限維分布都足多兀正態(tài)分布，則稱過程｛；y為正態(tài)隨機過程（序列）。時間序列分析的11的依賴于應用的背景，統(tǒng)計學家通常把』個I付間序列看作是*個隨輕L過程的實現(xiàn)，分析的基本任務是掲ZJ；支配觀察到的I時間序列的概率分布規(guī)律，由此我們J能夠力動態(tài)命％、：，七叫乂乂達i.」i8預手段來控制將來事件，這就是時間序列分析的三個主要自的。10.2線性吋間序列模型10.2.1平穩(wěn)序列與白噪聲過程定義10+1如果時間序列{Xt}={Xt:t^T}對每個/er有EX；

則它的自協(xié)方差函數(shù)定義為：=Cov(Xt,XS)=E[(Xt

-EXt)(XS

-EXS)]。對任意t，若/(/+k，t)與t無關，則將其記為y(k)，可知9/(幻=y(-k)。定義10.2如果時間序列{Xt}={Xt:teT}滿足如下條件(1)對一切t&T，有EA；2<oc；(2)對一切reT,有EXr

=jLi

；(3)對一切t.s.eT,有E[(Xt

-p\Xs-//)]=,10則稱為平穩(wěn)時間序列，也可稱為弱平穩(wěn)或寬平穩(wěn)時間序列，本書中如果沒有特別說明，平穩(wěn)就是指上述定義?？梢娖椒€(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)是一元函數(shù)/（々）。相hV地，p、k）=稱為平穩(wěn)序列的自相關函數(shù)。定義10.3稱時問序列｛Xt｝=｛Xt:teT｝為嚴平穩(wěn)時間序列，如災對一切正整數(shù)々，*切｝和的?仃限維分布函數(shù)族都相等。推移算子和差分方程在時間序列分析中起著重要作用。ii定義10.4設{JU為吋問汴列，推移算子5(個稱足.叉-.]_‘時IW的推移算子)定義在K]上，使BXt

=Xr_{

o

(1-5)稱為差分算子，可記為V。(1-5)^=^-^稱為的差分(一階差分)，當k>l吋，Q-Bk)Xt=Xt-Xf_k稱為的6階差分或高階差分。易見多次差分能消除多項式趨勢。高階差分能消除季節(jié)趨勢。這正是Box和Jenkins提出差分方法消除趨勢項的理由。為了方便，以Jn對Iif

1定的t，xt

<\

IIJ.農/j<隨L變：SI吋農/j<觀測12位。相腳的吋衷小吋問吖列，?仃吋農小觀測位印列。SAS軟件屮川kig(x)和/cig3(x)分別農小Bxr和B\:dtf、x)和d[fVI⑼分別表示義的差分(1-5)^和12階差分(1-512)a：z

□還可定義推移算子的多項式:((7q+u^B+???+)x;

—aqXr

+UyXt_^+???+ci^xr_^定義10.5給定尸個實數(shù)a^a2.....ap,ap0,川Z.衣小整數(shù)集合。稱—

■!-----apX!-p]=0，

廣GZ,(10.1)13為P階常系數(shù)齊次線性差分方程，簡稱力齊次差分方程。滿足(10/1)的時間序列｛久｝稱為(10/1)的解。利用推移算子5,可以將(10.1)寫成等價的形式A(B)xt

=0，/eZ,其中A(z)=^~^ajzJf

(10.2)稱為(10.1)的特征多項式，代數(shù)方程A(z)=

0稱為(10.1)的特征方程。14定義10.6設炎z)由(10.2)定義，⑹是-個常數(shù)序列，A(B)xt

=bn

/gZ,(10.3)為p階常系數(shù)非齊次線性差分方程。定理10.1設特征方程A(z)=

0有々個互不相同的根ZpZ2，…，zk，且全在單位圓外，是[^(z)]_1冪級數(shù)展開式夕00的系數(shù)，hb"收斂，若2;是/77;重根，則非齊次線性差分7=015方程xt

-[aAxt_}+-*+apxt_p]=bt，

reZ,(104)的全體解為kmj

z-,reZ,(10.5)7=1/=0^；=o其中？7/;■可以由仁,}的初值A；pXp…，唯-決定。證明可以參見何書元(:2003)。最簡單的平穩(wěn)I時[F0序列是I']噪聲，它在I時fF0序列分析屮J[有特別重耍的地位。16定義10.7設足*個平穩(wěn)汴列，如火對任何5jeN,4JCT2，言二SEsr=]Li.cov(^;.^s)=＜'，

(10.6)0，

t*5則稱｛&｝是.個白噪聲，記為心?謬(/7，＜72)o進一步，氣｛^｝還足獨、Z,印列吋，稱｛^;｝足獨立白噪聲：當#=0時，稱｛士｝是零均值白噪聲；當A=0，a2=l時，稱｛＜｝足標準白噪聲；對獨V：rI聲，3g服從止態(tài)分布時，稱17⑷鵬白噪盧。零均位、方差為的獨、z同分布隨機變雖吖列以｝u為A；

111)(0,(T2

):零均位、方差為＜72的獨、X冋分布正態(tài)隨機變量汴列｛;｝U為人IIDN仇a2)。把白噪聲作為輸入因子，作用于線性差分方程的集合，則產生\大類平穩(wěn)過程。這就得到如下自回歸滑動平均(ARMA)模型的概念。1810.2.2ARMA模型的建模和預測從三方而可以看出ARMA模型的重要性(當然還有其它原因):L具有連續(xù)譜的時間序列總可以用ARMA模型(有理譜)去遍近。2.如災某個隨機過稈協(xié)方差函數(shù)r(h)滿足limr(A)=0,則總"I以求得一ARMA模型，使其自協(xié)方差函/卜＞?:數(shù)/(/?)滿足：)二r、k)，對任意整數(shù)k。3.ARMA模型的線性結構也導致線性預測的簡明實用理論。正由于此，ARMA模型在時間序列數(shù)據(jù)建模中起著關鍵作用。19足義10.8設是一個零均值的白噪聲，實系數(shù)多項式爽z）=l-知-…和階）=1+#+...+0/沒有公Q共根，且根都在單位閥外，滿足6>0=1,0。則稱差分方程牟=/eZ，

（10.7）j=1J=o或（KB、Xt=9、B、st,，eZ，

（108）20為自回歸滑動平均模型，簡稱為ARMAQ?，^)模型，稱滿W(10.7)的平穩(wěn)序列｛X,｝為ARMA(^^)序列。當g=0時，稱(10.7)為AR(p)模型；當p=0時，稱(10.7)為AIA(q)模型。如災Xt-]Li是ARMA模型，則稱｛X,｝是均值為蘆的ARMA校型，SAS十ARIMA過程考慮此種投型，由.P零均位化很容鉍文現(xiàn)，所以我們只研究均位為零的ARMA稅型。匯)=o的根在單位圓外，稱為平穩(wěn)性條件;e｛z)=o的21根在單位圓外稱為可逆性條件。在一碑文獻中，平穩(wěn)性條件又稱為因果性條件。由于滿足平穩(wěn)性條件，所以的冪級數(shù)展開中zJ的系數(shù)V,.是指數(shù)衰減的，記?'二了》〆，從血心7;=0Q0十，（10.9）可見（10.9）是（10.8）的平穩(wěn)解，稱O

為｛Z,｝的Wold系數(shù)。22由可逆性條件，易見差分方程(10.8)可唯一寫為O0et

=01-,/gZ,(10.10)稱為ARMA模型的逆轉形式，它在作預報時很有用。定義10.9平穩(wěn)時I川序列｛Xt｝的偏自相關函數(shù)(系數(shù))a(幻定義為：a⑴=尸⑴=Corr(X｛.X2)a(k)=Corr(Xi

-P(Xi\X2.....Xk\Xk+i-P(Xk+x\X2.....Xk)).231UI1

P{X.\X2^^Xk\P(A+1

|12,…，J^)分別農小又i，x,+1關于(X2，…，Xk)的線性最小方差預測e可見偏自相關函數(shù)是xt和x,+1分別關于其中間的觀測值線性回歸后的兩個殘差的相關系數(shù)。偏自相關函數(shù)與自相關函數(shù)是不同的;但對于零均值平穩(wěn)過程，偏自相關函數(shù)1J自相關函數(shù)的相同之處在1'它也傳遞了平穩(wěn)過程相關結構的重耍信息。樣本偏自相關函數(shù)的if算采用遞推算法0為了簡便，可用SASARIMA過積的identify-il\

57樣本叫相又_函數(shù)和樣木偏向相義函數(shù)。SASARIMA過稈的identifyif%J還"川_兌樣木逆24&相關函數(shù)，逆自相關函數(shù)就定義為?的自相關函數(shù)。理論上可以證明：AR過程的自相關函數(shù)指數(shù)衰減，偏、逆自相關函數(shù)截尾;MA過程的自相關函數(shù)截尾，偏、逆自相關函數(shù)指數(shù)衰減;一般ARMA過程的自相關函數(shù)，偏、逆自相關函數(shù)都是指數(shù)衰減。ARMA模型參數(shù)的估計確定*個介迠的均位為//的ARMA(p，摘型，以農小所觀測的時問汴列，即川ARMAB型來擬合己知數(shù)據(jù)，稱為建?；驍M合。在建模之前，首先要做白噪聲檢驗，B|J考察觀測的時間序列是否來自白噪聲。如果是，25即Xt=st，則我們可用;估計Z,的方差，而所有的預報全是零;如果不是，則耑要用ARMA模型來擬合己知數(shù)據(jù)。怎樣檢驗觀測的時間序列是否來自白噪聲呢？方法較多，由于本節(jié)人量訃兌樣木口相義，這M介紹Ljimg&Box(1978)提岀的方法：m定理10.2令W="("+2)Z[/^)]2/(”-幻，則3假設k-1“Hq

:觀測的列來門嘆聲”成々:吋，￡漸近服從m個自由度的Z2分布。26這樣我們就H以由觀測的IN問吁列來什兌X的位，如災它很人，以至」I2⑻）隨機變蛍人r它的概率小r0.05，則否定hq.否則接受丑。。當用ARMA模型來擬合己知數(shù)據(jù)時，我們也要對殘差作白噪聲檢驗，如果擬合得好，殘差應是白噪聲|檢驗方法同上。建模涉及到系列相互關聯(lián)的問題，這叫問題包括:模型定階，即M歸階數(shù)p和滑動平均階數(shù)的選抒：參數(shù)的佔11_，和4…，％，＜72及/7的位。建投的人致少驟足:先人體選Wp，q的范鬧；對l，q，抖川優(yōu)化方法仍訃27…木和0，…，(9。，CT2,//的位，從向朽到信息ii:AIC,AICC，

SBC=BIC的位:信息蛍M小的p,q及所仍kl的(K，…木和什，…，久，a\/Ll決定的投型即為所求。對」＞的選擇，BIC是相合的，AIC，AICC是漸近有效的。因此，以下介紹對」卞'1定的p和q如例佔i\-?、”..木和，進而佔trtr2://W通過零均位化而較鉍i1川。對］q=

0的情況、即AR(/O模型，利用一個簡單的方法28就川‘得到X-的k好沾訃，WWile-Walkerf^iiL似3q>0時，必需運用優(yōu)化步騾，因為Yule-Walker估計誤差較大。1.

AR(p)模型的Yule-Walker估計設｛Xt｝足岑均位卜1歸AR(p)汗列:上式兩邊乘以X"，、/=0，1，...，尸，并取期望，由(10.9)及定義10.7和定義10.8>【m29CT2=/(0)-^/(l)-----<^pr(P)，

(10.11)及/⑺

_組j-1)-----?PAJ-pXj=、"，P，(10.12)此JjW-W.稱為Yule-Walker方積。設xL，x2，…，X。足平穩(wěn)AR(p)吖列｛jy的<觀察位，//=及自協(xié)方差函數(shù);的點沾什-般定義為(10.13)30(10.14)由在吋滯0，1，…，p處的位/(^)，代入(10.12)川?求得為4的估計值，這就是Yule-Walker估計。可以證明，零均值自回歸AR(p)序列的Yiile-Walker估計足相合估計。對P*般的ARMA(例)校型，也"J求Yule-Walker估計，但其誤差較大，只能作為計算其它的更有效估計的非線性優(yōu)化方法的初值。常用的還有如下三種估計：2.條件最小二乘估計(CLS)；

3.1條件31最小二乘估計(ULS)；及4.最大似然估計(ML)，相應的理論細']J讀者11

j參閱Box&Jenkins(1994)’冷文獻。對于正態(tài)序列，當n很大時，后三種方法估計的參數(shù)很接近。它們是漸近無偏、相介和漸近正態(tài)的。ARMA模型的預測當使用條件最小二乘估計時，模型假設^0-=?■?=0.A*。==+■?=0，從而對過去值做了規(guī)定，這時應當作無窮記憶預測，由(10.10)ARMA模?的逆轉GC-形式可得=(P;-]，從而得到k涉預測公式7=132亡-1乂7=1J=kK屮&由^ilhT,的欖型碗定Q當使用無條件最小二乘估計或極大似然估計時，預測值為介窮U憶預測，此吋ARMA投M的協(xié)方差函數(shù)川十獲収M優(yōu)線件預測方程。也就是說，給定(xP....Vi)的條件下，k步預測為Xr+k=

^k.^t(A、，…，A;-i)其中是xt+k與的協(xié)方差向量，而h是向量33(A：lv...Vl)的協(xié)方差矩陣，cy,和K可以由估計參數(shù)導出。素均位為//的ARMA稅型的訃兌，W擬介(建校)和預報，W川SASanma過榪來女施，(ARIMA欖型和ARIMAX擬型也川'川arima過程來訃兌)。一般ARMA模型建模主要分三步:?UI別，｛i1川-和頂報，相K、/地，arima過程主邊以句為identify，estimate，

forecast二

uj和procarimai'\uj。JL體功能如卜：(a)procarima語句川于調用arima過程;(b)identify語句用于指定所慮序列;通過計算樣本自相關函數(shù)，判定序列是否1S.JIJARMA悅型，初斜/川_階數(shù);對汗列劣V差分。例如Identifyvar=y:指示對y建模。又如identifyvar=y(l);指示對y差分后建投。(c)estimate語句川J'對桁定的只奴叫IuI歸和沿動T均21;34分的階)，沾訃參數(shù)。它必耑跟在identify語句之后。通過選項指示自回歸和滑動平均部分的階。例如estimatep=5q=2

；指示對模型ARMA(5,2)估計參數(shù)。用選項method=ml，method=uls，

methodicIs；分別指定估計方法為最人似然法，無條件最小二乘，條件M小::乘，缺ft為條件?。海撼?。(d)forecast語句川」:頂報。它必需在estimate語句之后。例如forecastlead=l2;指示要頂報12個位。3遇到data仍句成quit吋退山anma過榪，否則(b)，(c)，(d),踞句可反復調用。identifyi/'f句會產生出樣本自相關函數(shù)，及樣本偏、逆自相關函數(shù)，由上而所述性質可作初步識別:ARMA過程自相關函數(shù)，偏、逆自相關函數(shù)都指數(shù)衰減;AR過程自相關函數(shù)指數(shù)衰減，偏、逆自相關函數(shù)截尾;MA過程自相關函數(shù)截尾，偏，逆自相關函數(shù)指數(shù)衰減。樣本自相關函數(shù)，及樣本偏、逆自相關35函數(shù)近似地,J相應規(guī)律。10.2.3ARIMA模型有時實際問題耑耍對序列先進行差分:有時存在周期性，例如考慮月平均溫度時，要消除年周期，就要做周期為12的差分(1-B12)；有時序列含有線性趨勢，從而序列不平穩(wěn)，要通過差分使它平穩(wěn)；有時拗二0的根接近于1，也啟發(fā)我們要差分。具體來說，設6/是*個止整數(shù)，如果(115)36足十ARMAJr列，就稱■足十ARIMA(p,rf^)序列，所以其滿足的模型為Xr=e、B、st,teZ，

(10.16).K屮劣系數(shù)多項式(K:\0(二)分別滿兄平穩(wěn)忭條件和W逆性條件。ARIMA校:型也足川aHma過稈來訃兌，，般ARIMA模型計算也分三步:識別，估計和預報，主要奶句也為procarima:identify;estimate及forecast。唯-不同的足：identifyi；;句衍定所慮吖列G能邊加.I:差分階數(shù)，例iziIidentifyvar=y(3)；析小對y建稅，印列被A分3次。37例10.3對上證日收盤街數(shù)close(2000.3.6-2000.11.29)數(shù)則(1T:見程斤二)川ARMA、AR工MA模型擬合。解.先用ARMA模型擬合，程序如下dataamexl:informatdayyymmdd8formatdayyymmddlO.inputcards;day$close200003061681.08200003071694.79200003081726.03200003091732.34200003101705.04200003131728.87382000031420000316200003172000032120000322200003242000032720000329200003302000040320000404200004061685.341607.521658.601710.321718.641730.491775.911788.801810.981801.001760.691809.142000031520000320200003232000032820000331200004051681.471699.241747.241791.441800.221771.1939200004071819.89200004101826.06200004111821.17200004121807.32200004131831.54200004141833.66200004171795.05200004181813.49200004191828.68200004201847.02200004211841.06200004241837.39200004251833.46200004261832.77200004271806.83200004281836.32200005081836.63200005091806.63200005101752.68200005111724.04200005121720.6040200005152000051720000518200005222000052320000525200005262000053020000531200006022000060520000607200006081704.581725.391758.531824.731832.071880.701879.611877.471894.551916.251899.091935.031925.20200005162000051920000524200005292000060120000606200006091724.531777.821855.491898.741903.481925.541900.7841200006122000061320000615200006162000062020000621200006232000062620000628200006292000070320000704200007061912.551938.671942.281926.941895.341913.131939.621948.631947.481937.261895.631907.931902.552000061420000619200006222000062720000630200007051932.291915.201913.901942.891928.101909.1842200007072000071120000712200007142000071720000719200007202000072420000725200007272000072820000801200008021932.791960.541973.371987.191982.471998.421991.561989.231996.572012.352012.792028.152030.68200007102000071320000718200007212000072620000731200008031948.021979.201993.981996.332012.312023.532036.3043200008042000080720000809200008102000081420000815200008172000081820000822200008232000082520000828200008302026.362039.412061.182065.942076.302076.822091.582090.182074.702057.912086.702100.582076.142000080820000811200008162000082120000824200008292049.912062.662083.462108.692071.162105.4744200008312000090420000905200009072000090820000912200009132000091520000918200009202000092120000925200009262021.192010.601963.791950.661959.311979.091988.931978.431946.751922.281907.301875.911887.82200009012000090620000911200009142000091920000922200009271999.851925.901972.041979.501903.151891.981914.0845200009282000092920001010200010112000101320001016200010182000101920001023200010242000102620001027200010311889.281910.161942.141933.721918.151902.801922.841913.421958.931956.341967.671967.401961.282000100920001012200010172000102020001025200010301915.351926.321909.491947.451977.251973.5746200011012000110320001106200011082000110920001113200011142000111620001117200011212000112220001124200011271977.361981.631991.172012.912032.482070.792085.122095.982093.242097.982113.302053.372049.67200011022000110720001110200011152000112020001123200011281984.261997.082047.462081.912101.392119.442079.4047200011292067.50:doptionsnodate;procarimadata=amexl;identifyvar=close;estimatep=lq=l;forecast1ead=10id=dayinterval=weekdayalpha=.05out=out2(rename=(forecast=f_arimaI95=l95_au95=u95_a))run:48從輸11!結果r江見樣本自相關函數(shù)衰減很慢，從而序列不平穩(wěn)，必需實行差分，為此，我們做一次差分，輸出結果表￥差分后樣本自相關、逆自相關及偏自相關均指數(shù)衰減（見FI冬I），從而表示差分后的序列是平穩(wěn)的，于是我們對（p=l，q=l）作佔計，只要將上述程序屮的語句“Identifyva「=close;”改為“identifyvar=close（l）;”W河，U:余不變。運行后得到輸出:49AutocorrelationsLagCovarianceCorrelation-1987654321012345678910414.5401■00000|125.8697160.06241|■r■i215.6981440.03787|■r■i39.9914820.02410|■i■i48.6337670.02083|.i■i5-20.499430-.04945|■+i■i6-48.543989-.11710|■"i■i7-21.600207-.05211|■”■i8-3.132182-.00756|■i■i50InverseAutocorreIationsLagCorrelation-1987654321012345678911-0.08785|.++

|.|2-0.04079|.+

|.|3-0.00404|.|.|4-0.06596|.+

|.|50.03846|.|+

.|60.10801|.|++.|7-0.05306|.+

|.|8-0.01778I.I.I51PartiaIAutocorrelationsLag10.06241I+

-20.0341130.0197940.017005-0.05354+6-0.11372++■+17-0.0369980.00748Correlation-19876543210123456789152AutocorrelationCheckforWhiteNoise以上白噪聲檢驗說明序列不相關。ToChi-Pr>LagSquareDFChiSqAutocorreIations64.2560.64290.0620.0380.0240.021-0.049-0.117125.50120.9391-0.052-0.008-0.003-0.023-0.002-0.0561817.89180.46280.240-0.028-0.0110.007-0.047-0.0392424.78240.4177-0.094-0.099-0.0110.1010.0050.065ConditionaILeastSquaresEstimationStandardApproxParameterEstimateErrortVaIuePr>11LagMU2.132781.689121.260.20840MA1r10.370190.918420.400.68741AR1r10.434570.890800.490■62631以上是參數(shù)估計。53ConstantEstimate1■205935VarianceEstimate419.3463StdErrorEstimate20.47795AIC1618.512SBC1628.124NumberofResiduals182+AICandSBCdonotincludelogdeterminant.和U:他pfqll［比，以上給山的AIC,SBC部比較小，說明模型比較合適。54AutocorrelationCheckofResidualsToChi-Pr>SquareDFChiSqAutocorrelations62.9440.5673-0.0040.0090.0130.022-0.045-0.113124.38100.9288-0.044-0.0010.001-0.023-0.002-0.0701817.55160.35100.248-0.041-0.0130.011-0.043-0.0292424.30220.3318-0.086-0.095-0.0090.105-0.0010.0703034.54280.1837-0.1490.110-0.036-0.102-0.014-0.0403642.15340.1591-0.080-0.105-0.0460.0940.0670.033以上檢驗殘差序列是否相關。由于ChiSquare值很小,P「ob值很大，表明殘差序列不相關，模型擬合比較好。55ModelforvariablecloseEstimatedMean2.132785Period(s)ofDifferencing1AutoregressiveFactorsFactor1:1-0.43457MovingAverageFactorsFactor1:1-0.37019以_I:表明模型是1-0.3701951-0.434575€以下是對日收盤指數(shù)close的10天預報及95%置信區(qū)間:(l-5)c/as，e,-2.13278556ForecastsforvariablecloseObsForecastStdError95%ConfidenceLimits1842069.123020.47792028.98702109.25911852071.034329.90702012.41772129.65091862073.070837.34721999.87162146.27001872075.161843.66241989.58512160.73851882077.276449.22291980.80122173.75161892079.401254.23591973.10082185.70171902081.530658.83111966.22382196.83741912083.661963.09571959.99662207.32721922085.794067.09111954.29792217.29021932087.926570.86211949.0393222C.3'l57710.2.4用SAS軟件屮的FORECAST過程進行快速預測例10.4(1)用STEPAR方法對上證綜指的預測由高惠璇等(1998)，陳平(2001，2003)iU*対I，SASETS軟件1

{1的FORECAST過程提供一種快速而且自動的I時lid序列預報方法，

它使用外推的預報方法，所作的預報僅僅是f時間和該序列過去值的函數(shù)，沒有其它變量。其中的逐步向回歸(STEPAR)方法是把時間趨勢回歸同外自回歸模型結合在克，并用逐步方法來選杼用于酮歸過程的時滯步數(shù)I逐步自回歸模型如下:J=be.hit+b，t一+IlP°1

-；,(1047)z/r=aAiit_Y

+…+a.pi!r_p

+數(shù)，&足獨:r的、均位為零的隨機誤差?；?證券之：M（）1997年1月?2002年3月的上證綜合指數(shù)月線數(shù)據(jù)，分別取TREND=1，2,3作了試兌分析，發(fā)現(xiàn)總的擬合效見較好，似取TREND=1，3吋，預測誤差偏大，而取TREND=2吋預測效果相對較好（見閣103）。用上述參數(shù)相應的程序對2001年10月?2002年3月的上證綜指作了滾動預測（即用該月以前的數(shù)據(jù)預測該月的值），六個月的平均絕對滾動預測誤差為7.70%,結果見"F表。59表10.1用STEPAR方法對最近六個月上證綜指的滾動預測結果口期實砧位預測位絕對預測誤差（％）2001/101689.171848.019.402001/111747.991785252432001/121645.971824.3010.83200201149L671740.3016.662002021524701615.125.932002031603.911624391.27另用該程序預測2002年4月的上證綜指的月收盤指數(shù)為1678.62。6010.361(2)用EXPO方法預測上證綜指考慮到僅用STEPAR方法進行預測可能不夠穩(wěn)定，11基于同樣的數(shù)據(jù)進j采用SASETS軟件中的指數(shù)平滑(EXPO)方法作預測分析指數(shù)平滑(Exponentialsmoothing)擬合、種使用平滑方案的I時間趨勢模型，在此方案里權數(shù)隨時間的向后推移而按幾何級數(shù)"F降，這樣62使得序列中最近的數(shù)據(jù)比曱-期部分數(shù)據(jù)有更大的權數(shù)。權數(shù)函數(shù)為:C0T

=⑺（1-⑺廣r，（10.18）其中r是過去觀測的觀測序號，是當前觀測的觀測序號，而①是選項WEIGHT規(guī)定的權常數(shù)。*般說來，較小的平滑權數(shù)15合J1緩慢改變趨勢的）?列:較大的權數(shù)記）IJJ:Ji有快速改變趨勢的易變序列。用同樣的數(shù)據(jù)分別取TREND=1、2、3；

仍二0.3、0.4等作搭配試算分析，發(fā)現(xiàn)取TREND二2、仍二04時63總的擬合效果相對較好（見閣10.4）0用上述參數(shù)相應的程序也對2001年10月?2002年3月的上證綜指作了滾動預測，六個月的平均絕對滾動預測誤差為5/17%,結果見F表。表10.2用EXPO方法對最近六個月上證綜指^的滾動預測結果64口期實際值預測位絕對預測誤差（％）2001/101689.171733.732.632001/111747.991635306442001/121645J71655.540.58200201149L671596.006.992002021524701459.124302002031603.91144L4810.12另用該程序預測2002年4月的上證綜指的月收盤指數(shù)為1511.81。65(3)用XII過程對上證綜指進行季節(jié)調整XII過程是根據(jù)美國國情調查局的X-11季節(jié)調整程序改編的，它可以對月度或季度時間序列進行季節(jié)調整。序列季節(jié)調整基于這樣的假定:季節(jié)性波動可以由原始序列Or，t二夂…，”屮測得并能與趨勢起伏、交易口及不規(guī)則波動分離開，此IfdlnJJ?列的季卞_成分S,定66義為年內的變動，從1年到一年之間恒定地取值或緩慢地變化。趨勢起伏項C,包介了由tc期趨勢，經濟起伏及U:它K期起伏閃素引起的變化，交鉍口成分足由口歷屮交鉍口位置變化引起的變化，不規(guī)則成分/,足殘余的變化量。許多吋問汴列足乘件的關系，B|JOt

=SrCrDrIt。季節(jié)調整后的序列為C乂，只包介趨勢起伏和不規(guī)則成分。67對上證綜指1997年1JJ-2002年3月的月收盤指數(shù)作XII過程分析，發(fā)現(xiàn)原始序列（實線）比趨勢成分（虛線）有更大的變動（見閣10.5）,季節(jié)和非規(guī)則成分的移去使序列的趨勢更易看到與識別。另外季節(jié)成分圖（見陶10.6）表明這樣'個周期性出現(xiàn)的模式:年初上升和年底下降。68I冬I10.569上證綜指的季節(jié)成分季節(jié)成分日期圖10.670該例的主要程序如下：dataamexl;informatdateyymmn6formatdateyymmn6.;inputcards;date$close199701964.741997021040.031997031234.621997041393.751997051285.181997061250.27711997071189.761997081221.061997091097.381997101180.391997111139.631997121194.101998011222.911998021206.531998031243.021998041343.451998051411.211998061339.201998071316.921998081150.221998091242.901998101217.321998111247.421998121146.701999011134.671999021090.09199903721158.051999041689.431120.931999051279.331999061999071570.701601.461999081627.121999091999101366.581504.561999111434.971999122000011800.321535.002000021714.582000032000041928.111836.322000051894.552000062000072023.542000082021.202000091910.16732000101961.292000112070.612000122073.482001012065.612001021959.182001032112.772001042119.182001052214.262001062218.032001071920.322001081834.142001091764.872001101689.172001111747.992001121645.972002011491.672002021524.702002031603.9174optionsnodate;procforecastdata=amexlinterva^monthmethod=stepartrend=21ead=3outest=est_outloutful1out=predl;iddate;varclose;run;procprintdata=est_outl;titlelTPlotofForecastsfromSTEPARMethod75var_type_close;run;procprintdata=predl;run;procgplotdata=predl;plotclose*date=_type_/vaxis=axisihaxis=axis2;symbol1i=nonev=starh=lr=lc=green;卜

for_type_=ACTUAL*/symbol2i=sp_linev=circleh=lr=lc=red;卜

for_type_=FORECASTV76symbol3i=sp_line1=3r=lc=blue;卜

for_type_=L95*/symbol4i=sp_line1=3r=lc=blue;卜

for_type_=U95*/axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);axis2order=(T01jan971dtoT01aug20021dbysemiyear)minor=(number=5);run;procforecastdata=amexlinterva^monthmethod=exponstart=8weight=O.4trend=21ead=3outest=est_out2outful177out=pred2;iddate;varclose;run;procprintdata=est_out2;titleTPlotofForecastsfromEXPOMethodvar_type_close;run;procprintdata=pred2;run:78procgplotdata=pred2;plotclose*date=_type_/vaxis=axisihaxis=axis2;symbol1i=nonev=starh=lr=lc=green;卜

for_type_=ACTUALvsymbol2i=sp_linev=circleh=lr=lc=red;卜

for_type_=FORECASTVsymbol3i=sp_line1=3r=lc=blue;/*for_type_=L95-/symbol4i=spline1=3r=lc=blue;/*for_type_=U95-/axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);79axis2order=(T01jan971dtoT01aug20021dbysemiyear)minor=(number=5);run;procxlldata=amexlnoprint;monthlycharts=nonedate=date;varclose;pdweightsmon=ltue=lwed=lthu=lfri=l;outputout=mon_outlal=monldlO=seasona_ldll=adjustdl2=trenddl3=irreg;run;procprintdata=mon_outl(obs=15);80titleT1;vardatemonltrendadjustseasonalirreg;run;procgplotdata=mon_outl;plotseasonalVfdate/vaxis=axisihaxis=axis2vref=90110;symbolv=T.Ti=join1=1font=swissb;axisiorder=(85to115by5)minor=(number=4)axis2label=Ctime')order=C01jan971dtoT01aug20021dbysemiannual)minor=(number=5);run:81procgplotdata=mon_outl;plotmonl"'datetrend^date/overlayvaxis=axisihaxis=axis2;symbol1v=T.1i=join1=1font=swissb;symbol2v=T.1i=join1=22font=swissb;axisiorder=(800to2800by200)minor=(number=3);axis2labe^C'time')order=(101jan971dtoT01aug20021dbysemiannual)minor=(number=5);run:8210.2.5ARIMAX模型（帶有干預序列的ARIMA模型）有時要考慮其它時間序列對一個吋間序歹的影響，例如太陽黑子對某地區(qū)降雨量的影響，石油價格對股價的影響。BOX和刁錦寰提出ARIMAX模型，又稱為帶有丁預序列的ARIMA模型或動態(tài)回歸模型。一般來說，滿足a+cB+…+dBpl+e5+…+，打,++..+g+hB+...+niBfil+r5+."+iWBvZt

+的隨機序列X”Zt，稱為ARIMAX模型（帶有干預序列的鯉m1ARIMA模型），其中Xt，…，Zt稱為干預序列，稱為輸出序列。ARIMAX模型的計算仍用arima過程，但identify語句中要83用選項crosscorr=指明T*預序列，estimate語句要用input=選項指明每個T預序列推移算子的形式。此外，出丁什算的考慮，［:預序列分為脈沖式干預序列（即除很少的幾個t外，人=0）和持續(xù)式干預序列（有無數(shù)個t，JT,矣0），持續(xù)式丁預序列耑耍預白噪聲化，即先川-個ARIMA模型擬合干預序列，該模型應足以將殘差降為白噪聲，然后用此模型過濾丁預序列和輸11!序列，并計算過濾后這兩個序列的!I:相關系數(shù)。當你使川identifyestimated句來擬合T預序列的模型I時，arima過程將自動地執(zhí)行這個預T］噪聲化。例10.5某大然1爐的大然1輸入速率I和《）2輸岀速84率r的304個觀測數(shù)據(jù)見相應程序，（最后的4個co2值未知以便予報），將天然氣爐的天燃氣輸入速率I作為干預因子，試建立數(shù)學模型并預報后而6個CO2值解■編寫如下程序:dataarmax;inputxcards;-0.109y53.8053.60.17853_50.33953.50.37353.40.44153.10.46152.70.34852.40.1278552.2-0.1852.452-0.58852-1.055-1.42154.953-1.5254-1.302-0.81456.856-0.47556.8-0.1930.0085556.40.43555.70.7710.86652.354.30.87553.20.8910.98751.61.26351.21.77550.8861.97649.250.51.934501.8661.83247.648.71.76747.91.6081.26547.647.50.7947.50.360.1155048.10.088490.3310.64551.951.10.9651.81.4092.675051.72.83451.22.8122.48348.31.929471.4858745.81.21446.945.61.239461.6081.90548.347.82.02348.21.8150.53547.247.90.12247.20.0090.16450.648.10.67149.41.0191.14651.251.51.11551.61.1121.12150.51.22350.11.25749.8881.15749.349.60.91349.40.620.25549.749.2-0.2849.3-1.08-1.55152.850.3-1.79951.3-1.825-1.45656.954.4-0.94456-0.57-0.43156.657.5-0.57757.3-0.96-1.61655.456-1.87555.4-1.891-1.74656.4-1.47457.2-1.201895853.4-0.92758.158.4-0.52458.40.040.7885657.70.943570.931.00652.154.71.13753.21.1981.05450.551.60.59551-0.08-0.31451.850.4-0.28851-0.135-0.10952.4-0.18753-0.25590-0.22953.853.6-0.00753.70.2540.3353.353.80.10253.8-0.423-1.13953.453-2.27552.9-2.594-2.7165854.6-2.5156.4-1.79-1.3466059.4-1.08160.2-0.91-0.87657.659.4-0.88558.4-0.8-0.54456.9-0.41656.4-0.271915650.7055.70.40355.30.841551.28554.41.60753.71.74652.81.68351.61.48550.60.99349.40.64848.80.57748.50.57748.70.63249.20.74749.80.950.40.99350.70.96850.90.79920.39950.5-0.16150.4-0.55350.2-0.60350.4-0.42451.2-0.19452.3-0.04953.20.0653.90.16154.10.301540.51753.60.56653.20.56530.57352.80.59252.30.67151.90.93351.61.33751.61.4651.41.35351.20.7729350.70.21849.350-0.23749.4-0.714-1.09951.849.7-1.26950.6-1.175-0.67655.3530.033540.5560.64354.655.90.48455.90.109-0.3152.153.6-0.69752.4-1.047-1.21852.3-1.18353-0.87253.894-0.3