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文檔簡介

第2章

時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析引言序列的傅里葉變換的定義及性質周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式時域離散信號的傅里葉變換與模擬

信號傅里葉變換之間的關系序列的Z變換利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性?ppt課件?12.1

引言我們知道信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種,即時域

分析方法和頻率分析方法。在模擬領域中,信號一般用連續(xù)變量時間t的函數(shù)表示,系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進行分析,用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間域函數(shù)轉換到頻率域。?ppt課件?2第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析你怎么稱呼老師?

如果老師最后沒有總結一節(jié)課的重點的難點,你是否會認為老師的教學方法需要改進?你所經歷的課堂,是講座式還是討論式?教師的教鞭

“不怕太陽曬,也不怕那風雨狂,只怕先生罵我笨,沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照,花兒對我笑,小鳥說早早早……”時域離散信號和系統(tǒng)中,信號用序列表示,其自變量僅取整數(shù),非整數(shù)時無定義,而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學工具。

其中傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換,它和模

擬域中的傅里葉變換是不一樣的,但都是線性變換,很多性質是類似的。本章學習序列的傅里葉變換和Z變換,以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。本章學習內容是本書也是數(shù)字信號處理這一領域的基礎。?ppt課件?5Fourier變換的幾種可能形式時間函數(shù) 頻率函數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換?ppt課件?6連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。?ppt課件?7連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而頻域的離散對應時域是周期函數(shù)。?ppt課件?8離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換?9時域的離散化造成頻域的周期延拓,而時域的非周期對應于頻域的連續(xù)?ppt課件離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換一個域的離散造成另一個域的周期延拓,因此離散傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的ppt課件

?10四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π11ppt課件2.2

序列的傅里葉變換的定義及性質2.2.1序列傅里葉變換的定義定義(2.2.1)為序列x(n)的傅里葉變換,可以用FT(FourierTransform)縮寫字母表示。FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件,即滿足下式:(2.2.2)?ppt課件?12為求FT的反變換,用e

jωn乘(2.2.1)式兩邊,并在-π~π內對ω進行積分,得到(2.2.3)?ppt課件?13(2.2.4)式中因此上式即是FT的逆變換。(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對傅里葉變換公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要條件,如果引入沖激函數(shù),一些絕對不可和的序列,例如周期序列,其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來,這部分內容在下面介紹。?ppt課件?14例2.2.1設x(n)=RN(n),求x(n)的FT解:?ppt課件?15(2.2.5)設N=4,幅度與相位隨ω變化曲線如圖2.2.1所示。圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線?ppt課件?162.2.2序列傅里葉變換的性質1、FT的周期性在定義(2.2.1)式中,n取整數(shù),因此下式成立M為整數(shù)

(2.2.6)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù),周期

2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級數(shù),其實(2.2.1)式已經是傅里葉級數(shù)的形式,x(n)是其系數(shù)。?ppt課件?17圖2.2.2cosωn的波形?ppt課件?182.線性那么設式中a,b為常數(shù)3.時移與頻移設X(e

jω)=FT[x(n)],那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)?ppt課件?194.FT的對稱性在學習FT的對稱性以前,先介紹什么是共軛對稱與共軛反對稱以及它們的性質。設序列xe(n)滿足下式:xe(n)=x*e(-n)

(2.2.10)則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質,將xe(n)用其實部與虛部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)將上式兩邊n用-n代替,并取共軛,得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)?ppt課件?20對比上面兩公式,左邊相等,因此得到?ppt課件?21xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)(2.2.11)(2.2.12)由上面兩式得到共軛對稱序列其實部是偶函數(shù),而虛部是奇函數(shù)。類似地,可定義滿足下式的稱共軛反對稱序列xo(n)=-x*o(-n)

(2.2.13)將x0(n)表示成實部與虛部如下式:xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)xoi(n)-xoi(-n)?ppt課件?22(2.2.14)(2.2.15)即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù),而虛部是偶函數(shù)。例2.2.2試分析x(n)=e

jωn的對稱性解:?ppt課件?23將x(n)的n用-n代替,再取共軛得到:x*(-n)=e

jωn因此x(n)=x*(-n),滿足(2.2.10)式,x(n)是共軛對稱序列,如展成實部與虛部,得到x(n)=cosωn+j

sinωn由上式表明,共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù),虛部是奇函數(shù)。對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示,即x(n)=xe(n)+xo(n)

(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分別用原序列x(n)求出,將(2.2.16)式中的n用-n代替,再取共軛得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)

(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)兩式,得到(2.2.18)(2.2.19)?ppt課件?24利用上面兩式,可以分別求出xe(n)和xo(n)。對于頻域函數(shù)X(ejω)也有和上面類似的概念和結論:X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

(2.2.10)式中Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分,它們滿足(2.2.21)(2.2.22)Xe(ejω)

=X*e(e-jω)Xo(ejω)

=-X*o(e-jω)同樣有下面公式滿足:(2.2.23)(2.2.24)?ppt課件?25(a)將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行FT,得到X(e

jω)=Xe(e

jω)+Xo(e

jω)式中?ppt課件?26上面兩式中,xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列,容易證明Xe(ejω)滿足(2.2.21)式,個有共軛對稱性,它的實部是偶函數(shù),虛部是奇函數(shù)。

Xo(ejω)滿足(2.2.22)式,具有共軛反對稱性質,其實部是奇函數(shù),虛?ppt課件?27部是偶函數(shù)。最后得到結論:序列分成實部與虛部兩部分,實部對稱的FT具有共軛對稱性,虛部和j一起對應的FT具有共軛反對稱性。(b)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n),即x(n)=xe(n)+xo(n)

(2.2.25)將(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下:?ppt課件?28將上面兩式分別進行FT,得到FT[xe(n)]=1/2[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω)FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)因此對(2.2.25)式進行FT得到:X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共軛對稱部分xe(n)對應著FT的實部XR(ejω),而序列的共軛反對稱部分xo(n)對應著FT的虛部。?ppt課件?29因為h(n)是實序列,其FT只有共軛對稱部分He(ejω),共軛反對稱部分為零。?ppt課件?30H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)因此實序列的FT的實部是偶函數(shù),虛部是奇函數(shù),用公式表示為HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2[h(n)+h(-n)]ho(n)=1/2[h(n)-h(-n)]因為h(n)是實因果序列,按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示:(2.2.27)?ppt課件?31(2.2.28)實因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為h(n)=he(n)u+(n)h(n)=

ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)(2.2.29)(2.2.30)(2.2.31)?ppt課件?32例

2.2.3 x(n)=anu(n);

0<a<1;

求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解:x(n)=xe(n)+xo(n)按(2.2.2)式得到?ppt課件?33按照(2.2.28)式得到?ppt課件?34圖2.2.3例2.2.3圖?ppt課件?35(2.2.32)5.時域卷積定理設

y(n)=x(n)*h(n),則Y(e

jω)=X(e

jω)·H(e

jω)證明令k=n-m?ppt課件?36該定理說明,兩序列卷積的FT,服從相乘的關系。對于線性時不變系統(tǒng)輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號,可以在時域用卷積公式(1.3.7)計算,也可以在頻域按照(2.2.32)式,求出輸出的FT,再作逆FT求出輸出信號。?ppt課件?376.頻域卷積定理設y(n)=x(n)·h(n)(2.2.33)?ppt課件?387.帕斯維爾(Parseval)定理(2.2.34)?ppt課件?39帕斯維爾定理告訴我們,信號時域的總能量等于頻域的總能量。要說明一下,這里頻域總能量是指|X(e

jω)|2在一個周期中的積分再乘以1/(2π)。最后,表

2.2.1綜合了FT的性質,這些性質在分析問題和實際應?ppt課件?40用中是很重要的。表2.2.1序列傅里葉變換的性質?ppt課件?412.3

周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)設 是以N為周期的周期序列,

由于是周期性的,

可以展成傅里葉級數(shù)(2.3.1)式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

為求系數(shù)ak,

將上式兩邊乘以 ,

并對n在一個周期N中求和?ppt課件?42(2.3.2)(2.3.2)式的證明,作為練習自己證明。因此-∞<k<∞

(2.3.3)上式中,k和n均取整數(shù),當k或者n變化時,是周期為N的周期函數(shù),可表示成?ppt課件?43上式中 也是一個以N為周期的周期序列,

稱為 的離散傅里葉級數(shù),

用DFS(Discrete

FourierSeries)表示。

如對(2.3.4)式兩端乘以 ,

并對k在一個周期中求和,

得到同樣按照(2.3.2)式,得到(2.3.5)將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫如下:(2.3.4)?ppt課件?44(2.3.6)式和(2.3.7)式稱為一對DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波,第k個諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1,幅度為2π/N,幅度是?;ǚ至康念l率是。一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。(2.3.6)(2.3.7)?ppt課件?45列例2.3.1設x(n)=R4(n),將x(n)以N=8為周期,進行周期延拓,得到如圖2.3.1(a)所示的周期序,

周期為8,

求 的DFS。解:按照(2.3.4)式?ppt課件?46其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。?ppt課件?47圖2.3.1例2.3.1圖?ppt課件?482.3.2周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中, ,

其傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數(shù),強度是2π,即(2.3.8)對于時域離散系統(tǒng)中,x(n)=e

jωon,2π/ωo為有理數(shù),暫時假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣,也是在ω=ω0處的單位沖激函數(shù),強度為2π,但由于n取整數(shù),下式成立取整數(shù)?ppt課件?49因此e

jω0n的FT為(2.3.9)上式表示復指數(shù)序列的FT是在ω0±2πr處的單位沖激函數(shù),強度為2π,如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立,要求按照(2.2.4)式的逆變換必須存在,且唯一等于 ,

下面進行驗證,

按照(2.2.4)式?ppt課件?50圖2.3.2的FT?ppt課件?51觀察圖2.3.2,

在±π區(qū)間,

只包括一個單位沖激函數(shù),

等式右邊為 ,

因此得到下式:證明了(2.3.9)式確定是ejω0n的FT,前面的暫時假定是正確的。,按(2.3.4)式展開DFS,,類似于復指數(shù)序列的FT,,因此 的FT對于一般周期序列第k次諧波為其FT為如下式?ppt課件?52式中k=0,1,2…N-1,如果讓k在±∞之間變化,上式可簡化成(2.3.10)?ppt課件?53表2.3.2基本序列的傅里葉變換?ppt課件?54對(a)式進行FT,得到?ppt課件?55例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解:

將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到其幅頻特性如圖2.3.3所示。?ppt課件?56圖2.3.3例2.3.2圖?ppt課件?57對比圖2.3.1,對于同一個周期信號,其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的,不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以,但畫圖時應注意單位沖激函數(shù)的畫法。?ppt課件?58,2π/ω0為有理數(shù),例2.3.3令求其FT。解:將用歐拉公式展開(2.3.11)?ppt課件?59按照(2.3.9)式,其FT推導如下:上式表明cosω0n的FT,是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù),強度為π,且以2π為周期進行延拓,如圖2.3.4所示。圖2.3.4cosω0n的FT?ppt課件?602.4

時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系我們知道模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)?ppt課件?61這里t與Ω的域均在±∞之間。對模擬信號時間采樣,得到采樣信號,它與連續(xù)信號之間的關系重寫如下:采樣信號 和連續(xù)信號xa(t),

它們的傅里葉變換之間的關系,

由采樣定理描述,

重寫如下:?ppt課件?62下面我們研究如果時域離散信號x(n),或稱序列x(n),是由對模擬信號xa(t)采樣產生的,即在數(shù)值上有下面關系式成立:x(n)=xa(nT)

(2.4.3)注意上面式中n取整數(shù),否則無定義。

x(n)的一對傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示,重寫如下:?ppt課件?63X(e

jω)與Xa(jΩ)之間有什么關系,數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω之間有什么關系,這在模擬信號數(shù)字處理中,是很重要的問題。為分析上面提出的問題,將t=nT代入下式中,得到:?ppt課件?64,代入上式后,再將Ω′用Ω令代替,得到式中,因為r和n均取整數(shù),e-j2πrn=1,交換求和號和積分號得到(2.4.5)?ppt課件?65在第一章中曾得到結論,如果序列是由一模擬信號取樣產生,則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號的頻率Ω(f)成線性性關系,重寫如下:ω=ΩT式中T是采樣周期T=1/fs,將上式代入得到又:(2.4.6)(2.4.7)?ppt課件?66上式即表示序列的傅里葉變換X(ejω)和模擬信號xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)之間的關系式,我們將(2.4.7)式與(1.5.5)式對比,得到結論:序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關系,與采樣信號、模擬信號分別的FT之間的關系一樣,都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進行周期延拓,頻率軸上取值的對應關系用(1.2.10)式表示。?ppt課件?67在一些文獻中經常使用歸一化頻率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωsω′=ω/2π,因為f′、

Ω′和ω′,都是無量綱,刻度是的,將f、Ω、ω、f′、

Ω′、

ω′的定標值對應關系用圖2.4.1表示。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關系?ppt課件?68例2.4.1設xa(t)=cos(2πf0t),f0=50

Hz以采樣頻率fs=200

Hz對xa(t)進行采樣,

得到采樣信號 和時的傅里葉變換以及域離散信號x(n),求xa(t)和x(n)的FT。解:(2.4.8)?ppt課件?69Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數(shù),

強度為π,如圖2.4.2(a)所示。

以fs=200

Hz對xa(t)進行采樣得到采樣信號 ,

按照(1.5.2)式, 與xa(t)的關系式為的傅里葉變換用(1.5.5)式確定,即以Ωs=2πfs為周期,將Xa(jΩ)周期延拓形成,得到:(2.4.9)?ppt課件?70如圖2.4.2(b)所示。將采樣信號轉換成序列x(n),用下式表示:x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)按照(2.4.7)式,得到x(n)的FT,實際上只要將Ω=ω/T=ωfs代入中即可。將fs=200

Hz,f0=50

Hz,代入上式,求括弧中公式為零時的ω值,ω=2πk±π/2,因此X(ejω)用下式表示:(2.4.10)?ppt課件?71圖2.4.2例2.4.1圖?ppt課件?722.5

序列的Z變換2.5.1

Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為(2.5.1)式中z是一個復變量,它所在的復平面稱為z平面。注意在定義中,對n求和是在±∞之間求和,可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義,如下式(2.5.2)?ppt課件?73這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大,因此對于因果序列,用兩種Z變換定義計算出的結果是一樣的。本書中如不另外說明,均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂,要求級數(shù)絕對可和,即(2.5.3)使(2.5.3)式成立,Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示?ppt課件?74圖2.5.1Z變換的收斂域?ppt課件?75常用的Z變換是一個有理函數(shù),用兩個多項式之比表示分子多項式P(z)的根是X(z)的零點,分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在,因此收斂域中沒有極點,收斂域總是用極點限定其邊界。對比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式,很容易得到FT和ZT之間的關系,用下式表示:(2.5.4)?ppt課件?76式中z=e

jω表示在z平面上r=1的圓,該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換,可用(2.5.4)式,很方便的求出序列的FT,條件是收斂域中包含單位圓。例2.5.1

x(n)=u(n),求其Z變換。解:X(z)存在的條件是|z-1|<1,因此收斂域為|z|>1,|z|>1?ppt課件?77由x(z)表達式表明,極點是z=1,單位圓上的Z變換不存在,或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在,更不能用(2.5.4)式求FT。該序列的FT不存在,但如果引進奇異函數(shù)δ(ω),其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在,在一定收斂域內Z變換是存在的。?ppt課件?782.5.2序列特性對收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域,了解序列特性與收斂的一些一般關系,對使用Z變換是很有幫助的。1.有限長序列如序列x(n)滿足下式:x(n)

n1≤n≤n2x(n)=0其它?ppt課件?79即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零,此范圍之外序列值為零,這樣的序列稱為有限長序列。其Z變換為設x(n)為有界序列,由于是有限項求和,除0與∞丙點是否收斂與n1、n2取值情況有關外,整個z平面均收斂。如果n1<0,則收斂域不包括∞點;如n2>0,則收斂域不包括z=0點;如果是因果序列,收斂域包括z=∞點。具體有限長序列的收斂域表示如下:?ppt課件?80n1<0,n2≤0時,0≤z<∞n1<0,n2>0時,0<z<∞n1≥0,n2>0時,0<z≤∞例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域解:?ppt課件?81這是一個因果的有限長序列,因此收斂域為0<z≤∞。但由結果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點,但同時分子多項式在z=1時也有一個零點,極零點對消,X(z)在單位圓上仍存在,求RN(n)的FT,可將z=ejω代入X(z)得到,其結果和例題2.2.1中的結果(2.2.5)公式是相同的。2.右序列右序列是在n≥n1時,序列值不全為零,而其它n<n1,序列值全為零。?ppt課件?82第一項為有限長序列,設n1≤-1,其收斂域為0≤|z|<∞。第二項為因果序列,其收斂域為Rx-<|z|≤∞,Rx-是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與,其收斂域為Rx-<|z|<∞。如果是因果序列,收斂域定為Rx-<|z|≤∞。?ppt課件?83例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解:在收斂域中必須滿足|az-1|<1,因此收斂域為|z|>|a|。3.左序列左序列是在n≤n2時,序列值不全為零,而在n>n1,序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為?ppt課件?84如果n2<0,z=0點收斂,z=∞點不收斂,其收斂域是在某一圓(半徑為Rx+)的圓內,收斂域為0≤|z|<Rx+。如果n2>0,則收斂域為0<|z|<Rx+

。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。X(z)存在要求|a-1

z|<1,即收斂域為|z|<|a|?ppt課件?854.雙邊序列一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和,其Z變換表示為?ppt課件?86X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。如果Rx+>Rx-,其收斂域為Rx-<|z|<Rx+

,這是一個環(huán)狀域,如果Rx+

<Rx-,兩個收斂域沒有公共區(qū)域,X(z)沒有收斂域,因此X(z)不存在。例2.5.5x(n)=a|n|,a為實數(shù),求x(n)的Z變換及其收斂域。解:?ppt課件?87第一部分收斂域為|az|<1,得|z|<|a|-1,第二部分收斂域為|az-1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域為|a|<|z|<|a|-1,其Z變換如下式:|a|<|z|<|a|-1如果|a|≥1,則無公共收斂域,因此X(z)不存在。當0<a<1時,x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。?ppt課件?88圖2.5.2例2.5.5圖?ppt課件?892.5.3逆Z變換已知序列的Z變換及其收斂域,求序列稱為逆Z變換。序列的Z變換及共逆Z變換表示如下:(2.5.5)?ppt課件?901.用留數(shù)定理求逆Z變換如果X(z)zn-1在圍線c內的極點用zk表示,根據(jù)留數(shù)定理(2.5.6)式中 表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點z=zk的留數(shù),逆Z變換則是圍線c內所有的極點留數(shù)之和。如果zk是單階極點,則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.7)?ppt課件?91如果zk是N階極點,則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.8)由(2.5.8)式表明,對于N階極點,需要求N-1次導數(shù),這是比較麻煩的。如果c內有多階極點,而c外沒有多階極點,可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和,使問題簡單化。設被積函數(shù)用F(z)表示,即?ppt課件?92F(z)在z平面上有N個極點,在收斂域內的封閉曲線c將z平面上極點分成兩部分:一部分是c內極點,設有N1個極點,用z1k表示;另一部分是c外極點,有

N2個,N=N1+N2,用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立:(2.5.9)注意(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上。設X(z)=P(z)/Q(z),P(z)與Q(z)分別是M與N階多項式。(2.5.9)式成立的條件是?ppt課件?93?ppt課件?94因此要求N-M-n+1≥2N-M-n≥1

(2.5.10)如果(2.5.10)式滿足,c圓內極點中有多階極點,而c圓外極點沒有多階的,可以按照(2.5.9)式,改求c圓外極點留數(shù)之和,最后加一個負號。例2.5.6已知X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆Z變換x(n)。?ppt課件?95為了用留數(shù)定理求解,先找出F(z)的極點,極點有:z=a;當n<0時z=0共二個極點,其中z=0極點和n的取值有關。

n≥0時,n=0不是極點。

n<0時,z=0是一個n階極點。因此分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。n≥0時,?ppt課件?96n<0時,增加z=0的n階極點,不易求留數(shù),采用留數(shù)輔助定理求解,檢查(2.5.10)式是否滿足,此處n<0,只要N-N≥0,(2.5.10)式就滿足。圖2.5.4例2.5.6中n<0時F(z)極點分布?ppt課件?97例

2.5.7已知 ,

求其逆變換x(n)。解:該例題沒有給定收斂域,為求出唯一的原序列x(n),必須先確定收斂域。分析X(z),得到其極點分布如圖2.5.5所示。圖中有二個極點z=a和z=a-1,這樣收斂域有三種選法,它們是|z|>|a-1|,對應的x(n)是右序列;|a|<|z|<|z-1|,對應的x(n)是雙邊序列;|z|<|a|,對應的x(n)是左序列。?ppt課件?98圖2.5.5例2.5.7

X(z)極點分布圖?ppt課件?99下面按照收斂域的不同求其x(n)。(1)收斂域|z|>|a-1|種收斂域是因果的右序列,無須求n<0時的x(n)。當n≥0時,圍線積分c內有二個極點z=a和z=a-1,因此?ppt課件?100最后表示成:x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收斂域|z|<|a|這種情況原序列是左序列,無須計算n≥0情況,當n≥0時,圍線積分c內沒有極點,因此x(n)=0。n<0時,c內只有一個極點z=0,且是n階極點,改求c外極點留數(shù)之和?ppt課件?101最后將x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|<|z|<|a-1|這種情況對應的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z),按n≥0和n<0兩情況分別求x(n)。n≥0時,c內極點z=ax(n)=Res[F(z),a]=an?ppt課件?102n<0時,c內極點有二個,其中z=0是n階極點,改求c外極點留數(shù),c外極點只有z=a-1,因此x(n)=-Res[F(z),a-1]=a-n最后將x(n)表示為ann≥0x(n)=x(n)=a|n|a-nn<0?ppt課件?1032.冪級數(shù)法(長除法)按照Z變換定義(2.5.1)式,可以用長除法將X(z)寫成冪級數(shù)形式,級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。要說明的是,如果x(n)是右序列,級數(shù)應是負冪級數(shù);如x(n)是左序列,級數(shù)則是正冪級數(shù)。例

2.5.8已知 用長除法求其逆Z變換x(n)。解由收斂域判定這是一個右序列,用長除法將其展成負冪級數(shù)?ppt課件?1041-az-1?ppt課件?105例

2.5.9

已知求 其逆Z變換x(n)。解:由收斂域判定,x(n)是左序列,用長除法將X(z)展成正冪級數(shù)az-1

+1?ppt課件?1063.部分分式展開法對于大多數(shù)單階極點的序列,常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。設x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù),分母多項式是N階,分子多項式是M階,將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和,通過查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換,再相加即得到原序列x(n)。設X(z)只有N個一階極點,可展成正式?ppt課件?107(2.5.11)?ppt課件?108(2.5.12)觀察上式,X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0,在z=zm的極點留數(shù)就是系數(shù)Am。(2.5.13)(2.5.14)求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后,很容易求得x(n)序列。例2.5.10已知,求逆Z變換。解?ppt課件?109因為收斂域為2<|z|<3,第一部分極點是z=2,因此

收斂域為|z|>2。第二部分極點z=-3,收斂域應取|z|<3。查表2.5.1得到x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。?ppt課件?110表2.5.1常見序列Z變換?ppt課件?111?ppt課件?112

給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列,只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內解析,不能有極點,故:右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內?ppt課件?113?ppt課件?1142.5.4

Z變換的性質和定理Z變換有許多重要的性質和定理,下面進行介紹。1.線性設 X(z)=ZT[x(n)],Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT[y(n)],

Ry-

<|z|<

Ry+則

M(z)=ZT[m(n)]?ppt課件?115(2.5.15)=aX(z)+bY(z), R

m-<|z|<R

m+Rm+=max[

Rx+,Ry+]Rm-=max[

Rx,Ry-]這里M(z)的收斂域(Rm-,Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收斂域,如果沒有公共收斂域,例如當R

x+>R

x->R

y+>R

y-時,則M(z)不存在。2.序列的移位設X(z)=ZT[x(n)], R

x-<|z|<R

x+則ZT[x(n-n0)]=z-n0X(z),

R

x-<|z|<R

x+

(2.5.16)?ppt課件?116R

x-<|z|<R

x+a為常數(shù)3.

乘以指數(shù)序列設

X(z)=ZT[x(n)],y(n)=anx(n),則

Y(z)=ZT[anx(n)](2.5.17)=X(a-1

z) |a|R

x-<|z|<|a|R

x+證明因為Rx-<|a-1?ppt課件?117z|<Rx+,得到|a|

Rx-<|z|<|a|

Rx+

。4.序列乘以n設則?ppt課件?118(2.5.18)證明5.復序列的共軛設則?ppt課件?119證明(2.5.19)6.初值定理設x(n)是因果序列,X(z)=ZT[x(n)](2.5.20)證明因此?ppt課件?120證明因為x(n)是因果序列,因為(z-1)X(z)在單位圓上無極點,上式兩端對z=1取極限7.終值定理若x(n)是因果序列,其Z變換的極點,除可以有一個一階極點在z=1上,其它極點均在單位圓內,則(2.5.21)ppt課件

?121終值定理也可用X(z)在z=1點的留數(shù),因為(2.5.22)?ppt課件?122因此如果單位圓上,X(z)無極點,則x(∞)=0。8.序列卷積設則?ppt課件?123證明?ppt課件?124W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。例2.5.11已知網絡的單位取樣響應h(n)=anu(n),|a|<1,網絡輸入序列x(n)=u(n),求網絡的輸出序列y(n)。解:y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二種方法,一種直接求解線性卷積,另一種是用Z變換法。?ppt課件?125由收斂域判定y(n)=0,n<0。n≥0 y(n)=Res[Y(z)z

n-1,1]+Res[Y(z)z

n-1,a]?ppt課件?126將y(n)表示為?ppt課件?1279.復卷積定理如果ZT[x(n)]=X(z),R

x-<|z|<R

x+ZT[y(n)]=Y(z),R

y-<|z|<R

y+則有w(n)=x(n)y(n)W(z)的收斂域?ppt課件?128(2.5.24)(2.5.25)(2.5.24)式中v平面上,被積函數(shù)的收斂域為(2.5.26)證明?ppt課件?129由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域,得到例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n)求W(z)=ZT[w(n)]解:因此?ppt課件?130W(z)收斂域為|a|<|z|≤∞;被積函數(shù)v平面上收斂域為max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),w平面上極點:a、a-1c內極點z=a。?ppt課件?13110.帕斯維爾(Parseval)定理利用復卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。那么v平面上,c所在的收斂域為?ppt課件?132證明 令

w(n)=x(n)·y*(n)按照(2.5.24)式,得到按照(2.5.25)式,R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+,按照假設,z=1在收斂域中,令z=1代入W(z)中。?ppt課件?133如果x(n)和y(n)都滿足絕對可和,即單位圓上收斂,在上式中令v=e

jω,得到令x(n)=y(n)得到(2.5.29)上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕斯瓦爾定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式還可以表示成下式?ppt課件?1342.5.5利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法,下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程,使求解過程簡單。設N階線性常系數(shù)差方程為(2.5.30)1.求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時加上的,n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解,對(2.5.30)式求Z變換,得到?ppt課件?135式中?ppt課件?136(2.5.31)(2.5.32)2.求暫態(tài)解對于N階差分方程,求暫態(tài)解必須已知N個初始條

件。設x(n)是因果序列,即x(n)=0,n<0,已知初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(2.5.30)式進行Z變換時,注意這里要用單邊Z變換。方程式的右邊由于x(n)是因果序列,

單邊Z變換與雙邊Z變換是相同的。下面先求移位序列的單邊Z變換。設?ppt課件?137(2.5.33)?ppt課件?138按照(2.5.33)式對(2.5.30)式進行單邊Z變換(2.5.34)?ppt課件?139例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n),式中x(n)=anu(n),y(-1)=2,求y(n)。解:將已知差分方程進行Z變換式中,于是?ppt課件?140收斂域為|z|>max(|a|,|b|),式中第一項為零輸入解,第二項為零狀態(tài)解。?ppt課件?1412.6

利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.6.1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零,輸出端對輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應,稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n),對h(n)進行傅里葉變換得到H(e

jω)(2.6.1)一般稱H(e

jω)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù),它表征系統(tǒng)的頻率特性。?ppt課件?142設h(n)進行Z變換,得到H(z),一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),它表征了系統(tǒng)的復頻域特性。對N階差分方程(1.4.2)式,進行Z變換,得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.6.2)如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1,H(e

jω)與

H(z)之間關系如下式:(2.6.3)?ppt課件?1432.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果(可實現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應h(n)一定滿足當n<0時,h(n)=0,那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點,即∞點不是極點,極點分布在某個圓的圓內,收斂域在某個圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求 ,對照Z變換定義,系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定,收斂域包含∞點和單位圓,那么收斂域可表示為r<|z|≤∞,

0<r<1?ppt

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