2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題32 有網(wǎng)格平面直角坐標(biāo)系和勾股定理結(jié)合（解析版）

專題32有網(wǎng)格平面直角坐標(biāo)系和勾股定理結(jié)合1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，，則________．【答案】45o．【解析】【分析】先利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離OA，OB，AB，利用勾股定理的逆定理證明△ABO為等腰直角三角形，再求∠OAB即可．【詳解】由，得OA=，連結(jié)OB，由，得OB=，∴OA=OB，∵AB=，由OA2+OB2=+=26=AB2，則△ABO為等腰直角三角形，∴∠OAB=45o．故答案為：45o．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中兩線的夾角問題，通過引輔助線構(gòu)成三角形，會(huì)用勾股定理求兩點(diǎn)距離，會(huì)證明三角形為等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，．①當(dāng)時(shí)，則______；②在圖中的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，使，且四邊形被過點(diǎn)的一條直線分割成兩部分后，可以拼成一個(gè)正方形，則點(diǎn)坐標(biāo)為_______.【答案】

【解析】【分析】（1）先利用勾股定理分別計(jì)算三邊長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理可得：∠FGE=90°；（2）構(gòu)建全等三角形：△APF≌△MEP，構(gòu)建P的位置，根據(jù)三角形全等得到正方形．【詳解】（1）如圖1，連接EF，由勾股定理得：FG2=22+42=20，GE2=42+82=80，EF2=62+82=100，∴FG2+GE2=EF2，∴∠FGE=90°，故答案為90°；（2）如圖2，過P作PM⊥x軸于M，當(dāng)P（7，7），PM為分割線；根據(jù)格點(diǎn)的長(zhǎng)度易得：△APF≌△MEP≌△BFP，∴∠APF=∠MEP，∵∠MEP+∠MPE=90°，∴∠APF+∠MPE=90°，即∠FPE=90°，四邊形OEPF將△EPM剪下放在△BFP上，構(gòu)建正方形BOMP；故答案為（7，7）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟練掌握勾股定理及其逆定理是關(guān)鍵．3．在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．（1）線段BC的長(zhǎng)等于_______；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在線段AB上畫點(diǎn)E，使簡(jiǎn)要說明畫圖方法（不要求證明）______________________．【答案】

5

取D點(diǎn)，連接CD、BD，取格點(diǎn)M、N，連接MN交BD于點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)E，則【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；（2）取D點(diǎn)，連接CD、BD，取格點(diǎn)M、N，連接MN交BD于點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)E，利用勾股定理得出CD=，BD=，再由等腰三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)得出CT為∠BCD的角平分線，即可證明．【詳解】解：（1）BC=，故答案為：5；（2）取D點(diǎn)，連接CD、BD，取格點(diǎn)M、N，連接MN交BD于點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)E，則∠BCE=45°，理由如下：CD=，BD=，∴BC=CD，，∴?BCD為等腰直角三角形，∵M(jìn)N、BD為矩形BMDN的對(duì)角線，交于點(diǎn)T，∴點(diǎn)T為BD的中點(diǎn)，∴CT為∠BCD的角平分線，∴∠BCE=45°．【點(diǎn)睛】題目主要考查直角坐標(biāo)系與網(wǎng)格，勾股定理解三角形，等腰三角形的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，記頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的三角形為整點(diǎn)三角形．如圖，已知整點(diǎn)A（4,1），B（2,2），請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格區(qū)域（含邊界）上按要求畫整點(diǎn)三角形．(1)在圖1中畫一個(gè)等腰△ABC，使得點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上．(2)在圖2中畫一個(gè)直角△ABC，使得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解．(1)解：根據(jù)題意得：，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，若，即為所求，如下圖所示：若，即為所求，如下圖所示：若，即為所求，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，若，即為所求，如下圖所示：(2)解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖所示：理由：∵，∴，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．（1）在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的；（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）在第一象限內(nèi)作出一點(diǎn)，使，，連接，．【答案】（1）見詳解；（2）（?4，?1）；（3）見詳解【解析】【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）根據(jù)坐標(biāo)系中C1的位置，直接寫出坐標(biāo)即可；（3）利用勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求，（2）根據(jù)坐標(biāo)系中C1的位置，可知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（?4，?1）；（3）如圖所示，點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖?軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也考查了勾股定理．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點(diǎn)A（－2，3），B（－4，－1），C（－1，1）；（1）畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）在第一象限內(nèi)的網(wǎng)格中找到一點(diǎn)P，作以線段A1C1為一腰的等腰直角三角形A1C1P；（3）連接B1P，直接寫出三角形B1C1P的面積為___________．【答案】（1）的坐標(biāo)為（4，-1），畫圖見解析；（2）點(diǎn)（4，2）即為所求，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，然后順次連接A1、B1、C1即可；（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求；∵B（-4，-1），∴B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-1）；（2）如圖所示，點(diǎn)（4，2）即為所求；由題意得：（2，3），（1，1），∴，，，∴，，∴是等腰直角三角形；（3）由題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形直角三角形的判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．7．已知平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（a+8，2a+8），D（1，2），且軸．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出四邊形ABCD．（3）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為；面積為．【答案】（1）；（2）見解析；（3），．【解析】【分析】（1）根據(jù)軸，得出a的值，即可求解．（2）根據(jù)坐標(biāo)描點(diǎn)畫出圖形即可；（3）勾股定理求出AB、CD、AD的長(zhǎng)再加上BC的長(zhǎng)即可求出周長(zhǎng)，四邊形ABCD的面積可以看作，求出這三個(gè)三角形及一個(gè)正方形面積相加即可．【詳解】（1）∵軸，∴，∴，∴∴（2）如圖：（3）由圖可知：,,,∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為，如圖：四邊形ABCD的面積等于：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖及勾股定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．8．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0，2)，B(，1)，C(，)．（1）將向右平移3個(gè)單位，作出；（2）寫出的面積；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得APC的面積與ABC的面積相等，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）作圖見解析；（2）5；（3）存在，(0，7)或(0，)【解析】【分析】（1）先分別求出A(0，2)，B(，1)，C(，)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，順次連結(jié)，即可求解；（2）先利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，即可求解；（3）由（2）得：ABC的面積等于5，設(shè)，則，然后根據(jù)“APC的面積與ABC的面積相等，”，可列出關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：（1）∵將向右平移3個(gè)單位，A(0，2)，B(，1)，C(，)．∴，，，如圖，（2）∵，，，∴∴是直角三角形，∴的面積為；（3）存在，理由如下：由（2）得：ABC的面積等于的面積等于5，設(shè)，則，∵APC的面積與ABC的面積相等，∴，解得：或，∴在y軸上存在點(diǎn)P，使得APC的面積與ABC的面積相等，P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換——平移，勾股定理，勾股定理逆定理，求三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握平移的性質(zhì)，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在4×4的網(wǎng)格直角坐標(biāo)系中（圖中小正方形的邊長(zhǎng)代表一個(gè)單位長(zhǎng)），已知點(diǎn)A（﹣1，﹣1），B（2，2）．（1）線段AB的長(zhǎng)為；（2）在小正方形的頂點(diǎn)上找一點(diǎn)C，連接AC，BC，使得S△ABC＝．①用直尺畫出一個(gè)滿足條件的△ABC；②寫出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）3；（2）①見解析；②C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度即可；（2）①根據(jù)三角形ABC的面積畫出對(duì)應(yīng)的三角形即可；②根據(jù)點(diǎn)C的位置，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.【詳解】解：（1）如圖所示在Rt△ACB中，∠P=90°，AP=3，BP=3∴（2）①如圖所示Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3∴②C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．滿足條件的三角形如圖所示．C1（2，﹣1），C2（﹣1，2），C3（﹣2，1），C4（1，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形的面積，點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解.10．如圖所示，△ABC在正方形網(wǎng)格中，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），按要求回答下列問題：（1）在圖中建立正確的平面直角坐標(biāo)系；（2）直接寫出△ABC的面積；（3）畫出一個(gè)△ACD，使得AD＝，CD＝，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）5；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）或（﹣，）【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A（0，3）在圖中建立正確的平面直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)割補(bǔ)法即可寫出△ABC的面積；（3）畫出一個(gè)△ACD，使得AD為1×3格對(duì)角線，AD＝，DC為2×3格對(duì)角線，CD＝，進(jìn)而寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示：（1）∵點(diǎn)A（0，3）∴建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；（2）根據(jù)割補(bǔ)法可知：△ABC的面積為；16﹣×3×4﹣×2×4﹣＝16﹣6﹣4﹣1＝5；答：△ABC的面積為5；（3）△ACD即為所求作的圖形，使得AD＝，CD＝；點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）或（﹣，）．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形面積.理解題是關(guān)鍵.11．如圖，中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求的面積；（2）如果要使與全等，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？（3）求的邊上的高.【答案】（1）3；（2）（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）；（3）．【解析】【分析】（1）觀察可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），利用三角形的面積公式即可求解；（2）因?yàn)椤鰽BD與△ABC有一條公共邊AB，故應(yīng)從點(diǎn)D在AB的上邊、點(diǎn)D在AB的下邊兩種情況入手進(jìn)行討論，即可得出答案；（3）先根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)的邊上的高是h，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：（1）觀察可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），則AB=3，∴=3；（2）△ABD與△ABC有一條公共邊AB，當(dāng)點(diǎn)D在AB的下邊時(shí)，點(diǎn)D有兩種情況：①坐標(biāo)是（4，-1）；②坐標(biāo)為（-1，-1）；當(dāng)點(diǎn)D在AB的上邊時(shí)，坐標(biāo)為（-1，3）；點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）；（3）設(shè)的邊上的高是h，AC=，，即，解得：h=．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，若點(diǎn)A（3，4）、C（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）圖中格點(diǎn)△ABC的面積為；（3）判斷格點(diǎn)△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1）（0，0）；（2）5；（3）直角三角形【解析】【分析】（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可得出結(jié)果；（2）圖中格點(diǎn)△ABC的面積=矩形的面積減去3個(gè)直角三角形的面積，即可得出結(jié)果；（3）由勾股定理可得：AB2=25，BC2=20，AC2=5，得出BC2+AC2=AB2，由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（3，4）、C（4，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，0）；故答案為（0，0）；（2）解：圖中格點(diǎn)△ABC的面積=4×4-1212×4×2-1212×4×3-1212×2×1=5；故答案為5；（3）解：格點(diǎn)△ABC是直角三角形．理由如下：由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，7）、B（﹣4，3）、C（﹣1，1）．（1）畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的；（2）連接、，判斷的形狀，并說明理由．（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使周長(zhǎng)最?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）是直角三角形，理由見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）分別確定關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接，即可得到答案；（2）由勾股定理可得可得從而可判斷的形狀；（3）由關(guān)于軸對(duì)稱，所以連接，交軸于可得此時(shí)從而可得的周長(zhǎng)最短．【詳解】解：（1）如圖所示：即為所求；（2）是直角三角形．理由：如圖所示：則是直角三角形；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求，此時(shí)周長(zhǎng)最小．理由如下：由關(guān)于軸對(duì)稱，所以連接，交軸于可得此時(shí)此時(shí)：的周長(zhǎng)最短．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的作圖，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解三角形周長(zhǎng)的最小值，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.(1)若點(diǎn)A（1，3），C（2,1），①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，);(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.【答案】（1）①見解析；②（?2，?1）；（3）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，理由見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)A和C的坐標(biāo)可確定坐標(biāo)軸的位置；②根據(jù)所建立的平面直角坐標(biāo)系，可直接確定B的坐標(biāo)；（2）利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．