2022-2023學年八年級數(shù)學?？键c精練（蘇科版）：專題17 勾股定理的證明方法（原卷版）

專題17勾股定理的證明方法1．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點在直線上，分別過點、作直線m于點，直線于點.（1）求證：；（2）若設三邊分別為、、，猜想、、存在什么關系，并簡要說明理由．2．數(shù)學實驗室：制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長c為邊長的正方形構成“弦圖”（如圖2），古代數(shù)學家利用“弦圖”驗證了勾股定理．探索研究：（1）小明將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖3，請利用圖3證明勾股定理；數(shù)學思考：（2）小芳認為用其它的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理．請你想一種方法支持她的觀點（先在備用圖中補全圖形，再予以證明）．3．如圖，對任意符合條件的直角三角形，饒其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得，所以，且四邊形是一個正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．4．（1）如圖①是一個重要公式的幾何解釋．請你寫出這個公式；（2）如圖②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三點在一條直線上．試證明∠ACE＝90°；（3）伽菲爾德(Garfield，1881年任美國第20屆總統(tǒng))利用（1）中的公式和圖②證明了勾股定理(1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上)，現(xiàn)請你嘗試該證明過程．5．我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù)，如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10；事實上，勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)．(1)另外利用一些構成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達哥拉斯學派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，請證明滿足以上公式的a、b、c的數(shù)是一組勾股數(shù)．(2)然而，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國古代的著名數(shù)學著作《九章算術》中，書中提到：當a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n為正整數(shù)，m＞n時，a、b、c構成一組勾股數(shù)；利用上述結(jié)論，解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37，且n＝5，求該直角三角形另兩邊的長．6．一個直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗證方法如圖,火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下到的位置,連接,設,,,請利用四邊形的面積驗證勾股定理：．7．我國古代數(shù)學家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會(ICM2002)的會標(圖2)，其圖案正是由“弦圖”演變而來.“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據(jù)圖1解答下列問題:(1)敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述);(2)證明勾股定理;(3)若大正方形的面積是,小正方形的面積是,求的值.8．圖1是任意一個RtΔABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a，b，斜邊長為c.將4個RtΔABC和正方形①②拼成一個以a+b為邊長的正方形，如圖2所示.將4個RtΔABC和正方形③拼成一個以a+b為邊長的正方形，如圖3所示.（1）圖中正方形①②③的面積分別是多少?（2）