同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)閩清一中數(shù)學(xué)組徐杰霞一、教學(xué)教材分析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)《必修4》第1.2.2節(jié)，課型為新授課，所用的教材為人民教育出版社A版，本節(jié)課為第1課時(shí)，所用教具主要為黑板、多媒體。本節(jié)課是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義、符號(hào)表示及定義域、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)等教學(xué)之后進(jìn)行的。是對(duì)前面三角知識(shí)的延續(xù)，同時(shí)為后續(xù)進(jìn)行三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容打下重要基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用。另外，本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)部分的重要內(nèi)容，是三角計(jì)算的基礎(chǔ)。1、學(xué)生的特點(diǎn)：高一學(xué)生大部分主動(dòng)愿意主動(dòng)學(xué)習(xí)，從能力上看，由于對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自學(xué)和探究能力還有待提高。2、學(xué)生已有的知識(shí)：任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義、符號(hào)表示及定義域、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)。3、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的障礙：從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容看，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的推導(dǎo)方法引導(dǎo)；應(yīng)用上學(xué)生還是不夠靈活，尤其是變形應(yīng)用。導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因主要在于：學(xué)生對(duì)于公式習(xí)慣于機(jī)械的記憶和正用，變形應(yīng)用就容易忽略，如對(duì)平方關(guān)系的變形應(yīng)用如進(jìn)一步求時(shí)，可能會(huì)忽略了前正負(fù)號(hào)的判斷，應(yīng)緊扣角的范圍以及的正、負(fù)判斷；公式的靈活選取和轉(zhuǎn)換方法也是難點(diǎn)。三、整體設(shè)計(jì)思路教學(xué)模式以啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)為主。本節(jié)教學(xué)從拋出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，探究知識(shí)開(kāi)始，到公式在使用時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題，再到例題的一題多變、一題多解，直至最后的小結(jié)歸納反思的過(guò)程，在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生思考和合作討論共同完成，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念。在教學(xué)過(guò)程中，教師的作用是如何突破教學(xué)重難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)學(xué)生不同的解法進(jìn)行提煉，幫助學(xué)生理清思維“脈絡(luò)”。四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置課程目標(biāo)----------單元目標(biāo)--------課堂教學(xué)目標(biāo)1、通過(guò)對(duì)知識(shí)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察---猜想---分析---論證的科學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2、在牢固掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式的過(guò)程中，能靈活解題，提高學(xué)生分析、解決三角函數(shù)求值問(wèn)題的思維能力；在探究同角三角函數(shù)關(guān)系式的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；樹(shù)立分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想。3、在教師引導(dǎo)下能根據(jù)三角函數(shù)定義、三角函數(shù)線導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；并靈活利用同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式準(zhǔn)確解決求值問(wèn)題，掌握公式的正用、逆用、變形用。五、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的推導(dǎo)及應(yīng)用難點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系在求值中的靈活選取及應(yīng)用六、教學(xué)策略分析：以“探究公式”為主線，以“問(wèn)題引導(dǎo)”為核心，以“應(yīng)用感悟”為目標(biāo)，以“合作學(xué)習(xí)”為手段七、教學(xué)過(guò)程教學(xué)程序教師行為學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、導(dǎo)入新課（在問(wèn)題情境中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)）用三角函數(shù)線法從幾何視角直觀感知同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，繼續(xù)用三角函數(shù)定義證明。二、回歸概念、新知探究對(duì)兩個(gè)基本關(guān)系的語(yǔ)言歸納和領(lǐng)悟注意事項(xiàng)三、典例分析（在多樣變式中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)）師生合作，初步體驗(yàn)兩個(gè)基本關(guān)系在給值求值中的應(yīng)用公式變形，靈活應(yīng)用變式探究備選變式題四、課堂總結(jié)（在數(shù)學(xué)思想中升華數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)）五、作業(yè)布置引用小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)語(yǔ)文課本第11課《大自然的啟示》中“原來(lái)，大自然的一切事物都是互相聯(lián)系的。這樣，才能保持大自然的生態(tài)平衡。”引出問(wèn)題。前面我們學(xué)習(xí)過(guò)了任意角的三角函數(shù)，今天，我們也來(lái)看看三角函數(shù)中正弦、余弦、正切是否也存在聯(lián)系吧。你能得到它們?nèi)齻€(gè)之間的關(guān)系式嗎？教師從前面學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)線和三角函數(shù)定義復(fù)習(xí)引入論證的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述的關(guān)系式進(jìn)行論證。三角函數(shù)線------幾何視角（利用課本P17練習(xí)2作出下列角的正弦線、余弦線、正切線。（1）引入）三角函數(shù)線----幾何視角三角函數(shù)定義----代數(shù)視角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：提問(wèn)：你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這個(gè)關(guān)系式嗎?平方關(guān)系式商數(shù)關(guān)系式同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于該角的正切。為了讓學(xué)生及時(shí)熟悉公式，同時(shí)為后續(xù)學(xué)生歸納“同角”作鋪墊，多媒體展示判斷題演練(1)(2)(3)(4)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下得到上述兩個(gè)公式中應(yīng)該注意的問(wèn)題：①注意“同角”指相同的角例如：、、、②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如中，且需有意義等。已知，且是第三象限角，求。思考1：“是第三象限角”這一條件有何作用？思考2：如何建立之間的關(guān)系，如何建立它們與的關(guān)系？變式一、將例1條件中“是第三象限角”去掉，結(jié)果一樣嗎？教師巡視學(xué)生解答書寫，指點(diǎn)不足之處總結(jié)本題收獲與啟發(fā)①平方關(guān)系式的變形主要應(yīng)用在知弦求弦，特別強(qiáng)調(diào)開(kāi)方后符號(hào)如何確定②商數(shù)關(guān)系式的變形主要應(yīng)用在弦切轉(zhuǎn)化例2.已知且是第三象限角，求的值。注意引導(dǎo)學(xué)生如何轉(zhuǎn)化已知條件，構(gòu)造的方程式，滲透方程思想。變式二、總結(jié)本題收獲與啟發(fā)關(guān)于，的齊次分式的求值方法①，的齊次分式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于，的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子，分母同除以的n次冪，其式子可化為關(guān)于的式子，如可化為，再代入求值。已知（1）（2）（3）求（4）求的值。（視課堂具體情況選擇本題作為備選變式題，其中（3）的設(shè)置是為（4）作“1“的代換方法的鋪墊。）總結(jié)關(guān)于，的齊次式的求值方法②若無(wú)分母時(shí)，把分母看作1，并將1用來(lái)代換，將分子、分母同除以，可化為關(guān)于的式子，如可寫成，進(jìn)一步化為，再代入求值．以提問(wèn)的形式做課堂總結(jié)（1）研究對(duì)象?同角三角函數(shù)(2)研究?jī)?nèi)容?同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（3）關(guān)系式應(yīng)用？①解決三個(gè)三角函數(shù)知一求二的問(wèn)題，已知角的象限則只有一解，若角的象限未知?jiǎng)t需分類討論產(chǎn)生兩解。②主要思想是弦切轉(zhuǎn)化，注意平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系的靈活應(yīng)用。課本P21A組.10（1）（2）（3）、11、12補(bǔ)充：已知求的值開(kāi)門見(jiàn)山，問(wèn)題引入。引導(dǎo)學(xué)生思考同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)有何聯(lián)系。驗(yàn)證公式，追求嚴(yán)謹(jǐn)。通過(guò)判斷四個(gè)式子是否成立并思考：（一）你如何理解“同角”的含義字？（二）兩個(gè)關(guān)系式中的角有何限制條件？學(xué)生自主探索，親自體驗(yàn)解題思路的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法。讓學(xué)生對(duì)比典例1和本練習(xí)，找出兩題的區(qū)別，并獨(dú)立完成。思考并說(shuō)出解題思路。在例2的基礎(chǔ)上發(fā)揮各自所能，展示變式二不同的解題方法?；谏鲜霰闶翘骄窟M(jìn)行思維提升，課堂如果時(shí)間許可可討論后說(shuō)出解題方法。學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及用到的數(shù)學(xué)思想方法。激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為引入探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式做準(zhǔn)備。從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理論證，培養(yǎng)學(xué)生積極思考，嚴(yán)謹(jǐn)論證的學(xué)習(xí)態(tài)度。對(duì)關(guān)系式進(jìn)行深挖掘，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)關(guān)系式的理解，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到一般，抽象到抽象的轉(zhuǎn)化過(guò)程，加深認(rèn)識(shí)關(guān)系式的外延。通過(guò)例題的求解，使學(xué)生初步掌握關(guān)系式在解題中的應(yīng)用之一即解決知弦求弦求切問(wèn)題。通過(guò)板書，培養(yǎng)學(xué)生解題規(guī)范的習(xí)慣?？疾鞂W(xué)生的分類討論思想的能力。鞏固學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本關(guān)系的記憶和加深對(duì)關(guān)系式的理解。逆向思維，應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解決知切求弦問(wèn)題，考察學(xué)生用方程思想解決問(wèn)題的能力，并為下一步的探究做鋪墊。旨在提升學(xué)生的思維，進(jìn)一步深入探討“切化弦”的必備條件即分式齊次式，同時(shí)讓學(xué)生靈活巧用“1”進(jìn)行等價(jià)變形。通過(guò)學(xué)習(xí)小結(jié)進(jìn)行課堂反饋，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，在數(shù)學(xué)思想中升華數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課后鞏固八、板書設(shè)計(jì)及其變形式例2例1：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系及其變形式例2例1：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系.w。w-w*k&s%5￥u九、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)從特殊到一般，大膽猜測(cè)的方式探索知識(shí)，并利用定義嚴(yán)謹(jǐn)推理，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度。典例及變式的解析讓學(xué)生嘗試了正用，逆用公式以及變形應(yīng)用公式的體驗(yàn)，從而加深了公式的記憶和應(yīng)用。本節(jié)通過(guò)合作探究的方式探究出