圓的有關(guān)證明及計(jì)算 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

2015圓的有關(guān)證明及計(jì)算如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，弦CD∥AB，E，F(xiàn)為圓上的兩點(diǎn)，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半徑為，CD=4.求弦EF的長.2.如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA．設(shè)PA=x，PB=y.求（x﹣y）的最大值．3.如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點(diǎn)M、N，連接AC、CB，若∠ABC=30°，求AM的長．4.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長線上一點(diǎn)，且PC=（1）求AC、AD的長；（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．5.如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．6.如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π．（1）求證：DE∥BC；（2）若AF=CE，求線段BC的長度．7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．8.如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E，連接AD．（1）求證：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的長．9.如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G，并與AB延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．10.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，線段AB為半圓O的直徑，將Rt△ABC沿射線AB方向平移，使斜邊與半圓O相切于點(diǎn)G，得△DEF，DF與BC交于點(diǎn)H．（1）求BE的長；（2）求Rt△ABC與△DEF重疊（陰影）部分的面積．11如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結(jié)果保留π）（2）求證：OD=OE；（3）求證：PF是⊙O的切線．12.如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延長線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）13.如圖，E是長方形ABCD的邊AB上的點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F（1）求證：△ADE∽△BEF；（2）設(shè)H是ED上一點(diǎn)，以EH為直徑作⊙O，DF與⊙O相切于點(diǎn)G，若DH=OH=3，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第一位，≈，π≈）．14.如圖，⊙O1與⊙O2外切與點(diǎn)D，直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，與直線O1、O2相交于點(diǎn)M，且tan∠AM01=，MD=4．（1）求⊙O2的半徑；（2）求△ADB內(nèi)切圓的面積；15.如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D=30°，求證：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．16.如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個交點(diǎn)為F，D是CF延長線與⊙O的交點(diǎn)．若OE=4，OF=6，求⊙O的半徑和CD的長．17.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；（2）求證：BC2=BD?BA；（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形．18如圖，半徑為6cm的⊙O中，C、D為直徑AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE、BF，求19.如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．（1）求證：EF∥CG；（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．20.如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD=，BE=2．求證：（1）四邊形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切線．21．如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接PA，PB，PC．（1）如圖①，若∠BPC=60°．求證：AC=AP；（2）如圖②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．22.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半徑．23.已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；（2）證明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=，求EF的長．24.如圖，OC平分∠MON，點(diǎn)A在射線OC上，以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切與點(diǎn)B，連接BA并延長交⊙A于點(diǎn)D，交ON于點(diǎn)E．（1）求證：ON是⊙A的切線；（2）若∠MON=60°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）25.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點(diǎn)D，與AC、BC邊分別交于點(diǎn)E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半徑OD；（2）求證：AE是⊙O的切線；（3）求圖中兩部分陰影面積的和．1. 解：連接OA，并反向延長交CD于點(diǎn)H，連接OC，∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=CD=×4=2，∵⊙O的半徑為，∴OA=OC=，∴OH==，∴AH=OA+OH=+=4，∴AC==2．∵∠CDE=∠ADF，∴=，∴=，∴EF=AC=2．故選B．2.作直徑AC，連接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，所以x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，當(dāng)x=4時，x﹣y有最大值是2．3.解：連接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC為△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵M(jìn)A，MC分別為圓O的切線，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案為：4.解答：解：（1）①如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC===8，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直線PC與⊙O相切，理由：連接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直線PC與⊙O相切．5.解答：（1）證明：連接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴圖中陰影部分的面積為．6.解答：解：（1）證明：連接OD、OE，∵OD是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，又∵弧DE的長度為4π，∴，∴n=60，∴△ODE是等邊三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥BC．（2）連接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=90°，∴FD是⊙0的直徑，由（1）得：∠EFD=30°，F(xiàn)D=24，∴EF=，又因?yàn)椤螮DA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．7.（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時，直線DM與⊙O相切；解：連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線DM與⊙O相切．8.解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC為⊙O的切線，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．9.解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG為⊙O的切線，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．10.解答：解：（1）連結(jié)OG，如圖，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵Rt△ABC沿射線AB方向平移，使斜邊與半圓O相切于點(diǎn)G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF與半圓O相切于點(diǎn)G，∴OG⊥EF，∵AB=4，線段AB為半圓O的直徑，∴OB=OG=2，∵∠GEO=∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD，∴=，即=，解得OE=，∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．∵DF∥AC，∴，即，解得：DH=2．∴S陰影=S△BDH=BD?DH=××2=，即Rt△ABC與△DEF重疊（陰影）部分的面積為．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）證明：如圖，連接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直徑，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC為EF的中垂線，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切線．解答：（1）證明：連接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，∴S陰影=×2×2﹣=2﹣．13.解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：∵DF與⊙O相切于點(diǎn)G，∴OG⊥DG．∴∠DGO=90°．∵DH=OH=OG，∴sin∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．∴S扇形OEG==3π．在Rt△DGO中，cos∠ODG===．∴DG=3．在Rt△DEF中，tan∠EDF===．∴EF=3．∴S△DEF=DE?EF=×9×3=，S△DGO=DG?GO=×3×3=．∴S陰影=S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG=﹣﹣3π=.9﹣3π≈9×﹣3×=≈∴圖中陰影部分的面積約為．14.解答：解：（1）連結(jié)O1A、O2B，如圖，設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R∵⊙O1與⊙O2外切與點(diǎn)D，∴直線O1O2過點(diǎn)D，∴MO2=MD+O2D=4+R，∵直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB∵tan∠AM01=，∴∠AM01=30°，在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，∴4+R=2R，解得R=4，即⊙O2的半徑為4；（2）∵∠AM02=30°，∴∠MO2B=60°，而O2B=O2D，∴△O2BD為等邊三角形，∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，∴∠ABD=30°，∵∠AM01=30°，∴∠MO1A=60°，而O1A=O1D，∴∠O1AD=∠O1DA，∴∠O1AD=∠MO1A∴∠DAB=60°，∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，∴△ADB內(nèi)切圓的半徑===2﹣2，∴△ADB內(nèi)切圓的面積=π?（2﹣2）2=（16﹣8）π；15.解答：解：∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，OA過圓心，∴OA⊥BC，故①正確；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵點(diǎn)A是點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB?cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正確；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正確；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四邊形ABOC是菱形，故④正確．故選B．16.解答： 解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC為小圓的直徑，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半徑OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．17.證明：（1）如圖，連接OD．∵DE為切線，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．∴EB=EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD?BA；（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時，∠OCD=45°；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC為等腰直角三角形．18.解答：解：如圖作△DBF的軸對稱圖形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的軸對稱圖形△HAG，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三點(diǎn)共線，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴==，在RT△ONC中，∠OCN=60°，∴ON=sin∠OCN?OC=?OC，∵OC=OA=2，∴ON=，∴AM=2，∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE，連接OE，在RT△ONE中，NE===，∴GE=2NE=2，∴S△AGE=GE?AM=×2×2=6，∴圖中兩個陰影部分的面積為6，故答案為6．19.解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，∴FE=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．20.解答：證明：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，設(shè)OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切線，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形，∴?FADC是菱形；（2）連接OF，∵四邊形FADC是菱形，∴FA=FC，在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線．21.解答：解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；（2）過A點(diǎn)作AD⊥BC交BC于D，連結(jié)OP交AB于E，如圖，∵AB=AC，∴AD平分BC，∴點(diǎn)O在AD上，連結(jié)OB，則∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，設(shè)OB=25x，則BD=24x，∴OD==7x，在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴OP垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，OE==15x，∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，tan∠PAE===，即tan∠PAB的值為．22.