安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

高二數(shù)學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在試卷上無效．3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設點關于坐標原點的對稱點是B，則等于A．6 B. C. D.2.設為定點，，動點滿足，則動點的軌跡是A.線段 B.直線 C.圓 D.橢圓3.已知直線l的一個方向向量為，直線l的傾斜角為，則的值為A． B.0 C. D.24.設,則是直線與直線平行的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知點D在△ABC確定的平面內，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足，則的最小值為A． B. C.1 D.6.已知P是直線l：上一動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為A.B. C. D.7.已知矩形的四個頂點都在橢圓QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)上，邊和分別經過橢圓的左、右焦點，且A. B. C. D.第8題第8題圖且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬。如圖，在E、F分別為PD，PB的中點，，，，若AG⊥平面EFC，則=A． B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是A．點關于直線的對稱點為B．過,兩點的直線方程為C．經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2第10題圖10.如圖，直三棱柱中，，，D、E分別為、的中點，則下列結論正確的是第10題圖A.∥B.直線DE與平面所成角的正弦值為C.平面與平面ABC夾角的余弦值為D.DE與所成角為11.已知AC為圓錐SO底面圓O的直徑，，，點B為圓O上異于A、C的一點，M為線段SC上的動點（異于端點），則A.直線SB與平面SAM所成角的最大值為B.圓錐SO內切球的體積為C.棱長為的正四面體可以放在圓錐SO內D.當M為SC的中點時，滿足的點B有2個第12題圖O12.第12題圖OF1、F2為左右焦點，下列命題正確的是A.P為橢圓上一點，線段PF1中點為Q，則為定值B．直線與橢圓交于R,S兩點，A是橢圓上異與R,S的點，且、均存在，則C．若橢圓上存在一點M使，則橢圓離心率的取值范圍是D．四邊形ABCD為橢圓內接矩形，則其面積最大值為2ab三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是.14.已知P為圓上一點，則點到P點的距離的最大值為.15.若關于的不等式的解集是QUOTE0，32，則QUOTEk值是________.16.半徑為R的球面上有A、B、C、D四個點，，則的最大值為.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）如圖，三棱錐中，點D、E分別為和的中點，設，，.（1）試用，，表示向量；（2）若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值.18.（本小題滿分12分）已知直線.=1\*GB3①若直線l不經過第二象限，求k的取值范圍.=2\*GB3②若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，當△AOB的面積為時(O為坐標原點)，求此時相應的直線l的方程.19.（本小題滿分12分）如圖，△與△都是邊長為2的正三角形，平面ABD平面ABC，EC平面ABC且.（1）證明：CD平面ABE（2）求平面CED與平面BDE的夾角的大小.20.（本小題滿分12分）已知定點，動點滿足，O為坐標原點.（1）求動點M的軌跡方程（2）若點B為直線QUOTEx+2y+2=0上一點，過點B作圓M的切線，切點分別為C、D，若QUOTEBC⊥CD，求點B的坐標.21.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，側面CDEF為等腰梯形，二面角E-CD-A為直二面角，，.（1）求點F到平面ABCD的距離；（2）及平面ABCD所成角相等，求λ的值.22.（本小題滿分12分）橢圓的左右焦點分別為、，短軸端點分別為、．若四邊形為正方形，且．（1）求橢圓標準方程；（2）若、分別是橢圓長軸左、右端點，動點滿足，點在橢圓上，且滿足，求證定值（為坐標原點）；QUOTE在此處鍵入公式。（3）在（2）條件下，試問在軸上是否存在異于點的定點，使PD⊥MN，若存在，求坐標，若不存在，說明理由．“八校聯(lián)盟”2023-2024學年度第一學期高二期中考試數(shù)學試題參考答案及評分標準一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案CAABDBAC二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.題號9101112答案ADABCACACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.(23,23,13)14.815.2QUOTE2+33四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解:（1）…………4分（2）由題意可得： ………………5分 ………………6分…………………8分 ………9分∴異面直線AE和CD所成角的余弦值為357. ………… 18.解：（1）解：由題意可知直線l：y=kx-2k+1(k?R)?y=k（x-2）+1易知直線l過定點（2,1） ………………2分當直線l過原點時，可得k=1?當k≥12時，直線l不經過第二象限. ……………………（2）解：由題意可知k<0,∵直線l：y=kx-2k+1與x軸、y軸正半軸的交點分別是A（2?1k,0），B（0,1-2k） ………?SΔAOB=12｜2-1k｜×｜1-2k｜=12×(2k-1)當k<0時，由SΔAOB=9212×4k2-4k+1-k=1即：4k2+5k+1=0∴k=-1或k=-14 ………………………10即：直線l的方程為y=-x+3或y=-14x+32 …………………19.解：證明：取AB中點F，連接CF，DF∵ΔABC，ΔABD都是正三角形∴AB⊥CF，AB⊥DF，又CF∩DF=F∴AB⊥面CDF∴AB⊥CD …………………………2分又平面ABC⊥平面ABD∴DF⊥面ABCDF=3 …………………3分又CE⊥面DBC且EC＝3∵DF∥CEDF＝CEDF⊥CF∵CFDE是正方形∴CD⊥EF ………………………5分又EF∩AB=F∴CD⊥平面ABE. …………………6分（2）由（1）知AB、CF，DF兩兩重直，如圖建立空間直角坐標系由于x軸垂直面CEDF∴平面CDE的法向量為m=1,0,0又B（1，0，0）D(0，0，3)E(O，3，3)∴BD＝（-1，0，3）BE=(-1，3，3) ………8分設平面BDE的法向量n=(x，y，z)則n令x=3，n=(3，0，1) ……………………10分∴cos∴平面CDE與平面BDE的夾角為π6 ………20.解：（1）由題意得：OM=（x,y）AM=(x-4,y-2)∴ ……………………2分即∴M的軌跡方程為 ………………4分（2）由題意可知：B為直線3x-y+3=0上一點，又BC、BD分別與圓M相切于點C、D,且BC⊥BD.連接MC、MD,易知四邊形BCMD為正方形. ………6分∵四邊形BCMD為正方形，且｜MC｜=｜MD｜=｜BC｜=｜BD｜=5∴｜BM｜=10 ………8分設B（x,y）,則：3x-y+3=0(x-2)2+(y-1)2解得x=-1y=0或x=15y=185 ∴B點的坐標為-1,0或15，185 21.解：(1)如圖，過點F作FO⊥DC于點O，連接OA.因為二面角E-CD-A為直二面角，所以平面CDEF⊥平面ABCD，又平面CDEF∩平面ABCD=CD，F(xiàn)O?平面CDE，所以FO⊥平面ABCD,因為OA?平面ABCD，所以FO⊥OA. ………………2分因為四邊形CDEF為等腰梯形，AB=CD=2EF=4,所以OD=3，所以AO=5 …………………4分又AF=33，所以FO=2，即點F到平面ABCD的距離為2. ………………5分(2) 以O為坐標原點，分別以OD，OF所在直線分別為x,z軸，過點O作平面CDEF的垂線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.則A（3，4，0），D（3，0，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，0，2），P（-1，2，0）， ………………6分由AQ=λAE=（-λ，-4λ，2λ)，得Q(3-λ，4-4λ，2∴PQ=(4-λ，2-4λ，2λ)， ……………7分設平面ADE的法向量為n=（x，y，z），由DA=（0，4，0）,DE=（-1，0，2），n?DA=0令z=1，則n=（2，0，1）. ……………………9分又易知平面ABCD的一個法向量m=（0，0，1）. …………10分設直線PQ與平面ADE所成角為θ，與平面ABCD所成角為α，則sinθ=sinα，∴n?PQnPQ=整理得423=2λ，由λ>0，得λ=433.22.解：（1）依題證得且，∴ ………………2分故橢圓方程為 ………