初中方程模塊第1練-一元一次方程的概念及解的性質(zhì)-

方程模塊—一元一次方程的概念及解的性質(zhì)【知識(shí)梳理】1、一元一次方程的概念一元一次方程必須滿足的條件：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)都是1(次）.三者缺一不可.其中“元”是指未知數(shù)，“一元”是指只含有一個(gè)未知數(shù)，“一次”是指未知數(shù)的次數(shù)是1，如，都是一元一次方程.（2）常見(jiàn)形式：或.2、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程一般步驟：（1）設(shè)未知數(shù).遇到一些簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)，一般求什么就設(shè)什么為.（2）分析題意，尋找等量關(guān)系.（3）把等號(hào)左右兩邊相等關(guān)系的量用含的式子表示出來(lái)，即列方程.3、方程的解與解方程方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.解方程：求方程的解的過(guò)程.4、等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式.5、移項(xiàng)概念：方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項(xiàng).依據(jù)：等式性質(zhì)1.6、解方程——去括號(hào)當(dāng)方程中含有括號(hào)時(shí)，在解方程的過(guò)程中把方程中含有的括號(hào)去掉的過(guò)程與整式運(yùn)算中去括號(hào)的過(guò)程相同.7、解方程——去分母去分母的步驟：找出所有分母的最小公倍數(shù)；方程兩邊都乘這個(gè)最小公倍數(shù)，約去分母.【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：一元二次方程的定義1、判斷式子是否為一元一次方程，并說(shuō)明理由.；（2）；（3）；（4）；；（6）；（7）；（8).【答案】：（1）、（2）、（5）、（7）是一元一次方程；（3）、（4）、（6）、（8）不是一元一次方程.方法總結(jié)：一個(gè)等式是一元一次方程要滿足：首先等式是整式方程，其次化簡(jiǎn)后含有一個(gè)未知數(shù)，再次未知數(shù)的指數(shù)是1.若是關(guān)于的一元一次方程，求的值.【答案】：由一元一次方程的概念可得：且，解得且.所以的值為2.題型二：根據(jù)題意列方程支，則依題意可列得的一元一次方程為.【答案】：若鉛筆賣(mài)出支，則圓珠筆賣(mài)出支.依題意，知鉛筆打折后的售價(jià)是元/支，圓珠筆打折后的售價(jià)是元/支，因此有.2、一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，若將這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，則所得兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為165，求原兩位數(shù).【答案】：設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)子為.根據(jù)題意，得.3、一艘輪船以18km/h的速度從甲地航行到乙地，而原路返回時(shí)速度為12km/h，若此次航行共用40h，求甲、乙兩地的距離；【答案】：設(shè)甲、乙兩地相距km，則從甲地到乙地所用時(shí)間為h，返回時(shí)所用時(shí)間為h.根據(jù)題意，得.題型三：解方程.知識(shí)點(diǎn)：移項(xiàng)1、解方程：（1）（2）【答案】：（1）解：移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.（2）解：移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.知識(shí)點(diǎn)：去括號(hào)2、解方程：（1）（2）【答案】：（1）解：去括號(hào)，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.（2）解：去括號(hào)，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.知識(shí)點(diǎn)3：去分母3、解方程：（1）（2）【答案】：（1）解：去分母（將方程兩邊都乘6），得：.移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.（2）解：去分母（將方程兩邊都乘12），得：.去括號(hào)，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.題型四：解帶有括號(hào)的一元一次方程的技巧解題技巧1：先添括號(hào)，再去括號(hào)1、解方程：.【答案】：原方程可化為：.去括號(hào)，得：化簡(jiǎn)，得：解得：本題運(yùn)用了整體思想，將看成一個(gè)整體，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.解題技巧2：逆用分配律2、解方程：.【答案】：原方程可化為：逆用分配律，得：因?yàn)樗裕獾茫?解題技巧3：先去括號(hào)，再去分母3、解方程：.【答案】：去中括號(hào)，得：即：去分母（將方程兩邊都乘12），得：移項(xiàng)，得：合并同類(lèi)項(xiàng)，得：系數(shù)化為1，得：解題技巧4：整體合并去括號(hào)4、解方程：.【答案】：去中括號(hào)，得：化簡(jiǎn)，得：系數(shù)化為1，得：題型五：解帶有分母的一元一次方程的技巧解題技巧1：利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形后去分母1、解方程：.【答案】：原方程可化為：去分母（將方程兩邊都乘6），得：移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：點(diǎn)撥：當(dāng)方程的分母中含有小數(shù)時(shí)，一般利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)先將小數(shù)化為整數(shù)，注意分子、分母要同乘適當(dāng)?shù)臄?shù).解題技巧2：移項(xiàng)后分組通分2、解方程：.【答案】：移項(xiàng)，得：將方程兩邊分別通分，得：化簡(jiǎn)，得：，即：，解得：題型六：構(gòu)造一元一次方程求字母的值1、如果的倒數(shù)與互為相反數(shù)，那么的值是多少？【答案】：由題意，得：去分母，得：化簡(jiǎn)，得：系數(shù)化為1，得：故的值為3.題型七：方程的解的應(yīng)用出題角度1：已知方程的解確定字母的值1、已知是關(guān)于的方程的解，求的值.【答案】：把代入方程，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.故的值為：.讓解“回家”：根據(jù)方程的解的定義求方程中所含字母的值時(shí)，我們先要讓解“回家”，即先將解代回到方程中，得到一個(gè)關(guān)于字母的方程，再求解這個(gè)關(guān)于字母的方程，得出字母的值.出題角度2：先求方程的解，再求字母的值.2、已知方程的解與方程的解相同，求的值.【答案】：，移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.把代入方程，得：，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：故的值為.點(diǎn)撥：根據(jù)兩個(gè)方程的解相同，先求出只含有的一元一次方程的解，再將求得的解代入含有字母的方程中，求出的值.這是解此類(lèi)題的基本思路.【挑戰(zhàn)升級(jí)】題型一：求一元一次方程的整數(shù)解1、當(dāng)取什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程的解是正整數(shù)？【答案】：2或3【解析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程的應(yīng)用，能求出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵.解：去分母，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.當(dāng)時(shí)，將方程兩邊都除以，得.因?yàn)槭钦麛?shù)，所以是2的正因數(shù)，即或，解得：或.當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解.所以的值是2或3.點(diǎn)撥：解關(guān)于字母系數(shù)的一元一次方程時(shí)，要明確哪個(gè)字母是未知數(shù)，字母系數(shù)在解方程的過(guò)程中要當(dāng)成已知數(shù)來(lái)看.關(guān)于整數(shù)解的討論，要把握數(shù)的整除特點(diǎn)，并靈活運(yùn)用相應(yīng)特點(diǎn)，切忌因盲目嘗試而導(dǎo)致漏解.題型二：解含有字母系數(shù)的方程1、若是方程的解，求關(guān)于的方程的解.【答案】：【解析】：本題主要考查了方程的解的定義，方程的解就是能使方程成立的未知數(shù)的值，理解定義是關(guān)鍵.解：因?yàn)槭欠匠痰慕猓园汛敕匠?，?解得：.把代入關(guān)于的方程，得.解得：.點(diǎn)撥：方程的解的含義就是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，所以可將方程的解代入方程，從而得到關(guān)于待定系數(shù)的方程.【一做就錯(cuò)】解方程：.【易錯(cuò)點(diǎn)】：當(dāng)分母是小數(shù)，化小數(shù)為整數(shù)時(shí)容易與去分母混淆【答案】：【解析】：本題主要考查了利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，等式的性質(zhì)解方程.解：把方程中各分母的小數(shù)化為整數(shù)，得.去分母（將方程兩邊都乘10），得：.去括號(hào)，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.去分母的步驟：（1）找出所有分母的最小公倍數(shù)；（2）方程兩邊都要乘這個(gè)最小公倍數(shù)，約去分母.注意：（1）不含分母的項(xiàng)，也必須乘分母的最小公倍數(shù)，千萬(wàn)不能漏乘；（2）分子是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，要先加上括號(hào)，再去分母.解方程：.【易錯(cuò)點(diǎn)】：去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)漏乘各分母的最小公倍數(shù)或忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用.【答案】：【解析】：本題主要考查了解一元一次方程.解：去分母（將方程兩邊都乘6），得.

去括號(hào)，得：.移項(xiàng)，得：.合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.【思維拓展】1、解含有絕對(duì)值的一元一次方程解方程：.【答案】：或.【解析】：本題主要考查了解含有絕對(duì)值的一元一次方程.當(dāng)時(shí)，原方程可變形為：.去分母，得：.移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.當(dāng)時(shí)，原方程可變形為.由解得；由解得.因?yàn)?，所以原方程無(wú)解.當(dāng)時(shí)，原方程可變形為.去分母，得：.去括號(hào)，得：.

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得:.綜上所述，原方程的解為或.本題運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解含有解絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程.首先要通過(guò)去掉絕對(duì)值符號(hào)把方程轉(zhuǎn)化為普通的一元一次方程.但要注意，去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，一定要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的取值分類(lèi)進(jìn)行討論，并對(duì)所得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看是不是原方程的解.【專(zhuān)題練習(xí)】1、只列方程，不計(jì)算.（1）某數(shù)學(xué)課外小組的女同學(xué)原來(lái)占全組人數(shù)的，后來(lái)又有4名女同學(xué)加入，女同學(xué)就占全組人數(shù)的.設(shè)數(shù)學(xué)小組原來(lái)有名同學(xué)，則可列方程為.（2）用一根長(zhǎng)是12米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，已知長(zhǎng)比寬多1.6米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.【答案】：（1）（2）【解析】：本題主要考查了了一元一次方程中的工程問(wèn)題，和差問(wèn)題.根據(jù)題目中的條件，可列方程：.根據(jù)題意，設(shè)長(zhǎng)方形的寬是米，則長(zhǎng)是米，.2、解下列方程.（1）（2）（3）（4）【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】：本題主要考查了解方程的步驟及技巧.解：（1）解：去括號(hào)，得：，即：.移項(xiàng)，得：.系數(shù)化為1，得：.（2）解：去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：.（3）解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：.（4）解：去分母（將方程兩邊都乘6），得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：.已知關(guān)于的方程與的解互為相反數(shù)，試求這兩個(gè)方程的解及的值.【答案】：，3，3.【解析】：本題主要考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.解：，解得：，，解得：，根據(jù)題意得：，解得：，解得：.兩個(gè)方程的解分別為3，3.4、若關(guān)于的方程與同解，求的值.【答案】：2.【解析】：本題主要一元一次方程的解的應(yīng)用.解：解方程，得.因?yàn)閮蓚€(gè)方程同解，所