15.3.1分式方程（講練）6大題型

15.3.1分式方程分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.題型1：分式方程的定義1.給出下列方程：，，，，其中分式方程的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程逐一進行判斷．【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：分式方程有3x＝2，x+3故選：B．【點評】本題考查的是分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的定義．【變式11】下列方程中，是分式方程的是（

）A．15+x4=3 B．x?4y=7 【答案】D【分析】未知數(shù)在分母中的有理方程是分式方程，根據(jù)分式方程的定義可得答案．【詳解】解：15x?4y=7是二元一次方程，故B不符合題意；2x=3(x?5)是一元一次方程，故C不符合題意；4x?2故選D【點睛】本題考查分式方程的定義，理解分式方程的定義為解題的關(guān)鍵．【變式12】下列式子：①x?12=1；②xx?2=x+23x?1；③23x+12x；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．題型2：解分式方程2.解方程（1）＝；【解答】解：去分母，得x＝2（x﹣2），解得x＝4，經(jīng)檢驗，x＝4是原方程的根；（2）＝．【解答】解：方程兩邊同時乘（x﹣3）（x﹣2），得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）化簡，得x﹣5＝0解得：x＝5檢驗：當x＝5時，（x﹣3）（x﹣2）≠0，∴x＝5是分式方程的解．（3）解方程：＝．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟解出方程，檢驗，即可得到答案．【解答】解：方程兩邊同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，檢驗，當x＝﹣1時，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解為x＝﹣1．【點評】本題考查的是解分式方程，解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論，注意解分式方程時，一定要檢驗．【變式21】解方程：（1）4x（2）2【答案】（1）無解（2）x=【分析】本題考查了解分式方程；（1）方程兩邊同時乘以xx?2（2）方程兩邊同時乘以x?1，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗．【詳解】（1）4x2去分母，得4+(x?2)=2x解得：x=2．檢驗：把x=2代入最簡公分母：x(x?2)=2×(2?2)=0．

故x=2是增根，原分式方程無解．（2）2解：去分母，得∶2?(x+2)=3(x?1)去括號，得∶2?x?2=3x?3解得x=檢驗：當x=34時，∴x=【變式22】解分式方程：（1）3（2）2x【答案】（1）x=?6（2）原分式方程無解【分析】本題主要考查了解分式方程；（1）先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程即可；（2）先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程即可；解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，準確計算，注意最后要對方程的解進行檢驗．【詳解】（1）解：3方程兩邊都乘xx+2，得：3去括號，得：3x+6+x移項，得：3x?2x+x合并同類項，得：x=?6，檢驗：當x=?6時，x∴x=?6是原分式方程的根，∴原分式方程的解為：x=?6；（2）解：2xx+3方程兩邊都乘2x+3，得：2×2x+2去括號，得：4x+4x+12=?12，移項，得：4x+4x=?12?12，合并同類項，得：8x=?24，系數(shù)化為1，得：x=?3，檢驗：當x=?3時，2x+3∴x=?3是原分式方程的增根，∴原分式方程無解．題型3：增根（無解）與求字母的值3.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2【分析】先解分式方程，得x＝m+1，再將增根代入即可求出m的值．【解答】解：去分母，得x﹣1＝m，∴x＝m+1，將增根x＝2代入，得2＝m+1，解得m＝1，故選：A．【點評】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的含義是解題的關(guān)鍵．【變式31】若關(guān)于x的分式方程x?1x+1=ax+1?2A．?1 B．?2 C．1 D．2【答案】B【分析】本題考查了分式方程的解，根據(jù)解分式方程的一般步驟解得x=a?13，由于原分式方程有增根得【詳解】解：兩邊同時乘以x+1得：x?1=a?2x+1解得：x=a?1∵原分式方程有增根，∴x=解得：a=?2，故選B．【變式32】若解分式方程kx?2=k?xA．2 B．0 C．1 D．?1【答案】C【分析】本題考查分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①根據(jù)最簡公分母確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．先解分式方程，再根據(jù)分式方程的增根的定義解決此題．【詳解】解：去分母，得k=x?k?3x?2去括號，得k=x?k?3x+6，移項，得?x+3x=?k+6?k，合并同類項，得2x=6?2k，x的系數(shù)化為1，得x=3?k，∵分式方程kx?2∴3?k=2，∴k=1，故選：C【變式33】當m=時，解分式方程13【答案】6【分析】分式方程的增根使分式中分母為0，所以分式方程13+m3(2x?1)=22x?1【詳解】解：分式方程13則2x?1=0即x=11去分母得，2x?1+m=6將x=12代入得即當m=6時，原分式方程會出現(xiàn)增根．故答案為：6．【點睛】本題考查了分式方程增根的概念，增根是使最簡公分母等于0，不適合原分式方程，但是適合去分母后的整式方程．題型4：根據(jù)文字列方程求值解4.當x為何值時，分式的值和分式的值互為相反數(shù)？【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：根據(jù)題意得：1x?3去分母得：x+3+2＝0，解得：x＝﹣5，檢驗：把x＝﹣5代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解為x＝﹣5．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．【變式41】遵化市沙石峪人民創(chuàng)造了“萬里千擔一畝田，羙石板上創(chuàng)高產(chǎn)”的奇跡，沙石峪人民被周恩來同志譽為“當代愚公”，為激勵后人傳承和發(fā)揚“當代思公”的光榮傳統(tǒng)和優(yōu)良作風，建造了沙石峪紀念館，2019年沙石峪紀念館被中宣部授予“全國愛國主義教育示范基地”．五四青年節(jié)，學校的八年級學生去距學校10km的沙石峪紀念館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了15min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達，已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍．設騎車學生的速度為xkm/hA．10x?102x=15B．102x【答案】C【分析】本題主要考查分式方程的應用，設騎車學生的速度為xkm/h，則汽車的速度是2x【詳解】解：設騎車學生的速度為xkm/h，則汽車的速度是2x根據(jù)題意得，10x故選：C．【變式42】師傅和徒弟兩人每小時一共做40個零件，在相同的時間內(nèi)，師傅做了300個零件，則可列方程為（）A．300x=10040?xB．30040?x=【答案】A【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，根據(jù)在相同的時間內(nèi)，師傅做了300個零件，徒弟做了100個零件．可以列出相應的方程，本題得以解決．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的分式方程．【詳解】解：設師傅每小時做了x個零件，則徒弟每小時做40?x個零件，由題意可得：300x故選：A．題型5：根據(jù)解的正負字母求取值范圍5.已知關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求a的取值范圍．【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知條件列出不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【解答】解：關(guān)于x的方程2x?ax?1=1的解為：x＝∵分式方程有可能產(chǎn)生增根x＝1，∴a﹣1≠1，∵關(guān)于x的方程2x?ax?1∴a?1>0a?1解得：a＞1且a≠2．∴a的取值范圍為：a＞1且a≠2．【點評】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，考慮分式方程可能產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．【變式51】關(guān)于x的分式方程2x?mx+1=3的解是負數(shù)，則字母mA．m>3B．m<3且m≠?2C．m>?3且m≠?2D．m>?3且m≠2【答案】C【詳解】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正確掌握解分式方程和解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．解分式方程，得到含有m得方程的解，根據(jù)“方程的解是負數(shù)”，結(jié)合分式方程的分母不等于零，得到兩個關(guān)于m的不等式，解之即可．【分析】解：2x?mx+1方程兩邊同時乘以x+1得：2x?m=3x+1解得：x=?m?3，∵x+1≠0，∴x≠?1即?m?3≠?1，解得：m≠?2，又∵方程的解是負數(shù)，∴?m?3<0，解不等式得：m>?3，綜上可知：m>?3且m≠?2，故選：C．【變式52】已知關(guān)于x的方程2mx?1x+2=1的解為負數(shù)，求m【答案】m<12【分析】此題考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解為負數(shù)，列出關(guān)于m的不等式組，求出不等式組的解集即可確定出m的范圍；利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．【詳解】解：依題意，2mx?1則化為整式，得2mx?1=x+2則x=3∵方程有解，且解為負數(shù)，∴2m?1≠0解得m≠1則m<12且所以m的取值范圍為m<12且題型6：分式方程與新定義問題6.定義一種新運算“?”，規(guī)則如下：a?b＝，（a≠b2），這里等式右邊是實數(shù)運算，例如：1?3＝＝﹣．求x?（﹣2）＝1中x的值．【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計算求出解即可確定出x的值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：1x?(?2)2=1，即去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，檢驗：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解為x＝5．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式61】對于實數(shù)a，b，定義一種運算“?”為：a?b=a?12a?ab，方程【答案】x=1【分析】本題考查了新定義以及解分式方程．根據(jù)“?”的運算規(guī)則，可將所求的方程化為：x?1【詳解】解：∵x?1∴x?1給方程兩邊同時乘以x?1得x?3化簡得?2x+2=0，解得x=1，經(jīng)檢驗：x=1是原分式方程的解．故答案為：x=1．【變式62】已知分式方程▲x?3（1）若“▲”表示的數(shù)為6，求分式方程的解；（2）小華說“我看到答案是原分式方程的解為x=9”，請你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù)．【答案】（1）x=5（2）14【分析】（1）把▲=6（2）設▲為m，利用分式方程無解得到增根，解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，6x?3方程兩邊同時乘以x?3，得6?(x?1)=x?3，解這個整式方程，得x=5，經(jīng)檢驗，x=5是原分式方程的解；（2）解：設“▲”代表的數(shù)為m，依據(jù)題意得，m9?3解這個方程，得m=14，所以原分式方程中“▲”代表的數(shù)為14．【點睛】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定要注意驗根．一、單選題1．下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a=a2 B．a(chǎn)2?a【答案】B【分析】根據(jù)整式的運算法則am【詳解】解：A選項a2?a=aB選項(aC選項a6D選項(?a故選：B【點睛】本題綜合考查了整式的四則運算，熟練掌握這四則運算是解題的關(guān)鍵.2．要使分式1x?1有意義，則x的取值范圍是（

A．x>1 B．x≠1 C．x=1 D．x≠0【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件為分母不為零即可求出結(jié)果；【詳解】根據(jù)題意可知，x1≠0，即x≠1．故選：B．【點睛】本題考查分式有意義的條件，注意分式有意義是分母不為零，不是x不為零.3．化簡代數(shù)式x2x?1?A．1 B．x?1 C．x+1 D．1?x【答案】C【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：原式=x故選：C．【點睛】本題考查了分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．4．下列運算正確的是（

）A．2a+3a=5a2 B．(b?2a)(2a+b)=b2?4a【答案】B【分析】根據(jù)同類項的合并法則、乘法公式及單項式除以單項式即可完成．【詳解】A、2a+3a=5a≠5aB、(b?2a)(2a+b)=bC、(a+b)2D、a2故選：B【點睛】本題考查了乘法公式、單項式除以單項式、同類項的合并等知識，掌握它們的運算法則、熟記乘法公式是關(guān)鍵．5．龍華地鐵4號線北延計劃如期開工，由清湖站開始，到達觀瀾的牛湖站，長約10.770公里，其中需修建的高架線長1700m．在修建完400m后，為了更快更好服務市民，采用新技術(shù)，工效比原來提升了25%．結(jié)果比原計劃提前4天完成高架線的修建任務．設原計劃每天修建xm，依題意列方程得（）A．1700x?1700C．1700x?1700?400【答案】C【分析】設原計劃每天修建xm，則實際每天修建（1+25%）xm，根據(jù)題意可得，增加工作效率之后比原計劃提前4天完成任務，據(jù)此列方程.【詳解】解：設原計劃每天修建xm，則實際每天修建（1+25%）xm，由題意得：1700x故選C.二、填空題6．當x時，分式x+1x?1【答案】=1【分析】令分子=0，且分母≠0求解即可.【詳解】由題意得x+1=0，且x1≠0，解之得x=1.故答案為=1.【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：①分子的值為0，②分母的值不為0，這兩個條件缺一不可.7．|x+2y?3|+|x?y+3|=0，則yx的值是【答案】12或【分析】根據(jù)絕對值的非負性得出方程組，求出方程組的解，再求出答案即可．【詳解】解：∵|x+2y3|+|xy+3|=0∴x+2y3=0且xy+3=0，即{x+2y=3①①②，得3y=6，解得：y=2，把y=2代入②，得x2=3，解得：x=1，∴yx=2?1=故答案為：12【點睛】本題考查了絕對值的非負性和解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．8．一種納米材料的厚度是0.000000043米，數(shù)據(jù)0.000000043用科學記數(shù)法表示為．【答案】4.3×【分析】從4開始往前推有8個0，即為4.3×10【詳解】數(shù)據(jù)0.000000043用科學記數(shù)法表示為4.3×10故答案為：4.3×10【點睛】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，理解n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面0的個數(shù)所決定是本題的關(guān)鍵．9．計算(2m2n【答案】n【分析】先算積的乘方、再根據(jù)單項式乘單項式的法則計算，再把結(jié)果化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式即可求解．【詳解】解：(2=(==n故答案為：n13【點睛】考查了積的乘方、單項式乘單項式、負整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計算法則正確進行計算．三、解答題10．若分式x2【答案】x=?3．【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得x29=0且x24x+3≠0，然后解方程，再把方程的解代入不等式進行檢驗．【詳解】∵分式x2∴x2?9=0且x2?4x+3≠0，解方程x2?9=0得x=3或?3，當x=3時，x2?4x+3=0，當x=?3時，x2?4x+3≠0，∴x=?3.【點睛】本題考查分式，解題的關(guān)鍵是知道由題意得到x2?9=0且x2?4x+3≠0.11．疫情過后，今年云南旅游市場強勁復蘇．某旅行社今年春節(jié)租用A、B兩種客房，用4800元租到A客房的數(shù)量與用4200元租到B客房的數(shù)量相同，今年每間A客房的租金比每間B客房的租金多30元，分別求今年該旅行社租用的A、B兩種客房每間客房的租金．【答案】A客房每間客房的租金為240元，則B客房每間客房的租金為210元【分析】設A客房每間客房的租金為x元，則B客房每間客房的租金為(x?30)元．根據(jù)題意“用4800元租到A客房的數(shù)量與用4200元租到B客房的數(shù)量相同，”列出分式方程，解方程即可求解．【詳解】解：設A客房每間客房的租金為x元，則B客房每間客房的租金為(x?30)元．根據(jù)題意，得4800解得x=240.經(jīng)檢驗，x=240是原方程的解，且符合題意，則240?30=210(元)．答：A客房