第11講5.6.2函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象

第11講5.6.2函數(shù)的圖象課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握圖象的變換規(guī)律，解決三角函數(shù)的變換問題。②靈活掌握平移、伸縮變換規(guī)律，掌握與函數(shù)中變換量之間的關(guān)系.。③會(huì)利用圖象的特點(diǎn)求函數(shù)的解析式。④會(huì)求圖象變換前后函數(shù)的解析式。⑤會(huì)解決與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問題。會(huì)畫函數(shù)的圖象，會(huì)結(jié)合圖象解決與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)問題，會(huì)求函數(shù)的解析式，掌握函數(shù)圖象的變換規(guī)律.知識點(diǎn)一：五點(diǎn)法作圖必備方法：五點(diǎn)法步驟③①②對于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個(gè)整體，用五點(diǎn)法作圖列表時(shí)，分別令等于，，，，，對應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。）第三步：得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：，,,,知識點(diǎn)二：三角函數(shù)圖象變換參數(shù),,對函數(shù)圖象的影響1.對函數(shù),的圖象的影響2、()對函數(shù)圖象的影響3、()對的圖象的影響4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法知識點(diǎn)三：根據(jù)圖象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.2、求法：通過觀察圖象，計(jì)算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一關(guān)鍵點(diǎn)法：通過觀察圖象找出第一關(guān)鍵點(diǎn)，將第一關(guān)鍵點(diǎn)代入求解.（第一關(guān)鍵點(diǎn)判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點(diǎn),且該點(diǎn)離軸最近）②最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.③特殊點(diǎn)法：當(dāng)圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點(diǎn)代入解析式求解，但用此法求解，若有多個(gè)答案注意根據(jù)條件取舍答案.題型01利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.【答案】答案見解析【詳解】列表：012001描點(diǎn)，連線，畫出在上的大致圖像如圖：【典例2】（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.【答案】(1)答案見解析；(2)時(shí)，取最小值0；時(shí)，取最大值1.【詳解】（1）分別令，可得：x00100畫出函數(shù)在一個(gè)周期的圖像如圖所示：（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取最小值0；當(dāng)，即時(shí)，取最大值1.【典例3】（2022春·北京海淀·高一北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)列表，并在所給坐標(biāo)系中用五點(diǎn)法作出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖像．

(2)寫出的單調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心．【答案】(1)答案見解析(2)單調(diào)遞增區(qū)間為：，，單調(diào)遞減區(qū)間為：，，對稱軸為，，對稱中心為，【詳解】（1）列表：00100描點(diǎn)、連線如圖所示：（2）令，，解得，，從而可求得的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，令，，解得，，從而可求得的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，由，，解得，，可得的對稱軸方程為，，令，，解得：，，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)是，．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．在用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表如下：x完成上述表格，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；【答案】填表見解析；作圖見解析【詳解】由題意列出以下表格：0x0020函數(shù)圖象如圖所示：【變式2】（2023春·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)利用“五點(diǎn)法”，完成如下表格，并畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象；_________________________x__________________________________________________(2)若且，求的值.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）0x000在一個(gè)周期上的圖象如圖所示，（2）因?yàn)椋獾?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，故的值?【變式3】（2023秋·江西·高二寧岡中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖像（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)答案見解析(2)，．【詳解】（1）分別令，，，，，可得：00100畫出在一個(gè)周期的圖像如圖所示：（2），若求單調(diào)遞增區(qū)間，需滿足，，，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，．題型02三角函數(shù)的圖象變換【典例1】（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習(xí)）已知曲線C1：，C2：，則錯(cuò)誤的是（

）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到曲線C．把向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線D．把向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線【答案】D【詳解】對于A.上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向左平移個(gè)單位長度，得到，正確；對于B.上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，再向右平移個(gè)單位長度，得到，正確；對于C.向左平移個(gè)單位長度，得到，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，正確；對于D.向左平移個(gè)單位長度，得到，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，錯(cuò)誤.故選：D【典例2】（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則φ的可能值為（）A．0 B． C． D．【答案】A【詳解】，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象解析式為：，所以有，顯然只有選項(xiàng)A符合，故選：A【典例3】（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】D【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，，C錯(cuò)誤；對于D，，D正確.故選：D.【典例4】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）把函數(shù)的圖像適當(dāng)變動(dòng)就可以得到圖像，這種變動(dòng)可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移【答案】D【詳解】，，函數(shù)的圖象向左平移可以得到的圖象.故選：D【變式1】（多選）（2023秋·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】BC【詳解】由，可知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，即可得函數(shù)的圖象，又由函數(shù)的最小正周期為，可知向右平移個(gè)單位長度與向左平移個(gè)單位長度效果相同；所以選項(xiàng)BC正確.若向左平移個(gè)單位長度，可得，故A錯(cuò)誤；若向右平移個(gè)單位長度，可得，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【變式2】（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中學(xué)?？计谀榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度．【答案】(答案不唯一).【詳解】圖象向右平移個(gè)單位長度，可得到的圖象.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度．故答案為：(答案不唯一).【變式3】（2023秋·湖南湘西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向（填“左、右”）平移個(gè)單位長度．【答案】右（或左）（或，中的任何一個(gè)值）（或（或，中的任何一個(gè)值））【詳解】函數(shù)，而，所以的圖象向右平移個(gè)單位長度，或是向右平移，中的任何一個(gè)值，即可得到函數(shù)的圖象.或是，而，所以的圖象向左平移個(gè)單位長度，或是向左平移，中的任何一個(gè)值，即可得到函數(shù)的圖象.故答案為：右；（或，中的任何一個(gè)值）；或左；（或，中的任何一個(gè)值）題型03由的圖象確定其解析式(或參數(shù)值)【典例1】（2023春·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】D【詳解】由圖像知，，，，即，由圖可知，，，，又，，，向右平移可得函數(shù).故選：D.【典例2】（多選）（2023春·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象，則（

）A．B．C．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心D．的圖象向左平移個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，由圖象可得到函數(shù)最小正周期，故，因?yàn)?，所以，解得，A正確；B選項(xiàng)，將代入解析式得，因?yàn)?，解得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故，故點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心，C正確；D選項(xiàng)，的圖象向左平移個(gè)單位后得到，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，D正確.故選：ACD【典例3】（2023春·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示.(1)求；(2)將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由最大值可確定，因?yàn)椋?，此時(shí)，函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得：，從而，結(jié)合，可得，所以.（2）由題意，，當(dāng)時(shí)，，則有，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?【典例4】（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求的最小正周期及解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2).【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值1，故；又∴，將點(diǎn)代入，∴，∵∴故答案為：，.（2）由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)∵∴∴當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，即，故答案為：【變式1】（多選）（2023春·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的曲線為函數(shù)（，，）的部分圖象，將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的，再將所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對稱中心C．直線為圖象的一條對稱軸 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】CD【詳解】由圖象知,∵,∴的一個(gè)最低點(diǎn)為,∵的最小正周期為,∴.∵,則,∴,即,∵,∴,∴.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的得：的圖象,再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度得：，即.由得,,由得,

，∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí),可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，∴A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，∵,∴不是圖象的一個(gè)對稱中心,故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，∵,∴直線是圖象的一條對稱軸，故C正確；D項(xiàng)，∵在上單調(diào)遞增,C∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,故D正確.故選：CD.【變式2】（2023春·新疆·高一八一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將圖象上所有點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，求在上的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖形可得，，解得，∵過點(diǎn)，∴，即，∴．又∵，∴．∴．（2）解：由（1）知，將圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，∵，∴，∴∴所以的值域?yàn)椤咀兪?】（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖像，得，，所以．根據(jù)圖像可得，，所以，又因?yàn)椋?，所?（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，可得的圖像，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．由，可得，所以，所以.所以函數(shù)在的值域?yàn)?【變式4】（2023春·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)（，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式及圖中b的值；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)減區(qū)間.【答案】(1)，1(2)【詳解】（1）由題意知，，，，當(dāng)時(shí)，由，，所以.所以.（2），由，，解得，.因此，函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間為.題型04函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例1】（2023秋·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，且的圖象關(guān)于直線對稱．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，，因?yàn)?，所以．因?yàn)樵诘膱D象上，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以只有滿足要求，故；（2）因?yàn)?，所以．?dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為．因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以，即，解得，即a的取值范圍為．【典例2】（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，所得函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則，則為偶函數(shù)，所以，又，所以，故；（2）因?yàn)?，所以，，故，，而恒成立，即，整理可得，令，，設(shè)，，設(shè)，且，則，由于，，則，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【典例3】（2023春·遼寧·高一鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，的面積等于.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，若對于任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，所以，由解得，所以，圖像過點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，所以，?）由題意可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，令，解得，因?yàn)?，所以，則，故，解得，所以最大值為.【典例4】（2023秋·四川成都·高二成都市成飛中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，矩形的面積為．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．(2)先將的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小為原來的，最后得到函數(shù)的圖象．若關(guān)于的方程在區(qū)間上僅有3個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，．(2)．【詳解】（1）由的解析式可知，矩形的面積為，所以．根據(jù)點(diǎn)在的圖象上的位置知，得．所以．的最小正周期為．令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得曲線對應(yīng)的函數(shù)為，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小為原來的，所得曲線對應(yīng)的函數(shù)為，即．由得，即或．作出在上的大致圖象如圖所示：易知方程在上僅有一個(gè)實(shí)根．要使原方程在上僅有3個(gè)實(shí)根，則須方程在上有2個(gè)實(shí)根，即直線與曲線在上有2個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知須．即的取值范圍是．【變式1】（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由圖可知，．因?yàn)?，所以，．代入有，∴，又∵，∴，∴；?）由題意知變換后當(dāng)時(shí)，令，即，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，此時(shí)，等價(jià)于有兩解．所以當(dāng)時(shí)符合題意，即a的取值范圍為．【變式2】（2023春·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（其中常數(shù)）的最小正周期為．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)作出函數(shù)，的大致圖象，并指出其單調(diào)遞減區(qū)間；(3)將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，若實(shí)數(shù)滿足，且的最小值是，求的值．【答案】(1)；(2)圖象見解析；單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)，或.【詳解】（1），因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，所以有，即；?）列表如下：函數(shù)，的大致圖象如下圖所示：單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由題意可知：，因?yàn)椋灾杏幸粋€(gè)為，另一個(gè)為，因?yàn)榈膱D象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，且的最小值是，所以，或，因此的值為，或.【變式3】（2023春·四川南充·高一四川省南充市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，且（在下面兩個(gè)條件中任選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問題）.條件①：的關(guān)于對稱；條件②：函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的解析式；(2)將的圖象向右平移個(gè)單位，然后再將橫坐標(biāo)伸長到原來2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，所以的周期，由，得，選①：由，解得：，因?yàn)椋?，?選②：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，即，所以是的一個(gè)對稱中心，由，解得：，因?yàn)?，所以，?（2）根據(jù)題意得，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，則，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式4】（2023春·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】(1)(2)，.【詳解】（1）由圖可得函數(shù)的最小正周期∴又函數(shù)過點(diǎn)，且圖象在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增，∴，即，又∵，∴，∵過點(diǎn)，∴，即∴；（2）將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)縮短到原來的得到.∴令，得：，所以的單調(diào)增區(qū)間為，.題型05函數(shù)的圖象與三角恒等變換【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求A，，的值；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.【答案】(1)，，(2)或【詳解】（1）解：由圖可知，，，所以，即，所以.將點(diǎn)代入得，，又，所以；（2）解：由（1）知，由題意有，所以，即，因?yàn)椋?，所以或，即或，所以的值為?【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由圖可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；（2）將向右平移個(gè)單位得到，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，∴；由對稱性可知，∴，∴，∴．【變式1】（2023春·新疆·高一八一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向下平移一個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若且，求角的值.【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的圖象可得，且，所以，，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所?（2）解：把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到，再向下平移一個(gè)單位得到，再向左平移個(gè)單位得到，即，若，即，可得或，即或，因?yàn)椋越堑闹禐榛?【變式2】（2023春·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度后，再把橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，且為銳角，，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得，即.因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得函數(shù)，再橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得函數(shù).因?yàn)?，所?又，且為銳角，，所以.所以.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】D【詳解】由三角函數(shù)圖象的相位變換可知，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度所得圖象的解析式為.故選：D2．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，故，則，則向右平移個(gè)單位長度后得到.故選：A3．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得：①，又在上單調(diào)遞增，，解得：②，由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.故選：B4．（2023春·安徽阜陽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，即，又圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得，即，，，.故選：C.5．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_學(xué)考試）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得函數(shù)的圖像，由函數(shù)為偶函數(shù)，則有，即，又，所以.故選：A6．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù),因?yàn)?所以,所以,故選:D.7．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】由題意．所以，得．又，所以正實(shí)數(shù)的最小值為．故選：B．8．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，），其圖像與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若對于任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，令，可得，由于的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，，，．若對任意恒成立，則當(dāng)時(shí)，，因此，，解得，，因?yàn)?，所以，即．故選：C.二、多選題9．（2023春·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．是曲線的一個(gè)對稱中心C．是曲線的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，，故的最小正周期為，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故不是曲線的一個(gè)對稱中心，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故是的一條對稱軸，也是的一條對稱軸，C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD10．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，則（

）A．B．是函數(shù)的一條對稱軸C．將函數(shù)的圖像向右平移單位長度后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故，解得，又，故，解得，又，故，所以，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的一條對稱軸，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到，由于的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，由于在的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故在區(qū)間的最小值是，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題11．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)一個(gè)周期的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為.【答案】【詳解】由圖象可知，又，則，所以，又在該曲線上，所以，則，即，又，則，故.故答案為：.12．（2023春·北京·高一北京育才學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期是．【答案】/【詳解】由于在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，所以，由可知函數(shù)的一條對稱軸為，又，則有對稱中心，從而．故答案為：．四、解答題13．（2023秋·重慶銅梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像上相鄰兩條對稱軸的距離是，的最大值與最小值之差為1，且的圖像的一個(gè)對稱中心是．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以.又，故，.因?yàn)榈淖畲笾蹬c最小值之差為1，故，，又由的圖像的一個(gè)對稱中心是，故，則，又，故當(dāng)時(shí)，，故.（2），，，，若方程在區(qū)間上有解，則，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是14．（2023春·山東聊城·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，滿足______．(1)求的解析式，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)把的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為，求實(shí)數(shù)的最小值．在①函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為0；②函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為；③函數(shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并給出問題的解答．【答案】(1)任選兩條件，解析式為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【詳解】（1）若選①②：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以．因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．若選①③：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以．所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．若選②③：因?yàn)楹瘮?shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，所以．因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以即．因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為，由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）把的圖象向右平移個(gè)單位得到，再將向上平移個(gè)單位得到，即，由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為，所以在區(qū)間上的最大值為1．所以，所以，所以的最小值為．B能力提升1．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)，所以，即，解得，由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，，所以，解得.故選：D2．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，），其圖像與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若對于任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，令，可得，由于的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，，，．若對任意恒成立，則當(dāng)時(shí)，，因此，，解得，，因?yàn)?，所以，即．故選：C.3．（多選）（2023春·云南昆明·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A．B．的圖象的一個(gè)對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是，D．把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象【答案】BC【詳解】由圖可知，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，所以，，所以B選項(xiàng)正確.由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，C選項(xiàng)