任意角的三角函數(shù)

數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)重慶市奉節(jié)中學(xué)唐麗

東升西落照蒼穹，影短影長角不同．晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮．

導(dǎo)入日出日落，寒來暑往，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，稱之為“周期現(xiàn)象”。我們曾學(xué)習(xí)過用“指數(shù)函數(shù)”模型刻畫人口增長問題、儲蓄中復(fù)利計(jì)算問題，用“對數(shù)函數(shù)”模型刻畫地震的震級變化、溶液酸堿度的pH值變化.

從這節(jié)課開始，我們來學(xué)習(xí)刻畫這種周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型之一三角函數(shù)

摩天輪的中心離地面的高度為h0，它的半徑為r，逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)Ａ出發(fā)（如圖所示）AOp

情境——選擇數(shù)學(xué)模型h0

過了20秒，此時(shí)你能用r和h0寫出你離地面高度h的表達(dá)式嗎?20°M

h＝h０＋r?sin20°AOph0M人距離地面的高度h＝h0+MP，其中h0是不變量，

MP表示點(diǎn)P到水平位置OA的距離．是變量，可以通過點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的角度∠POA的大小，再結(jié)合初中銳角三角函數(shù)來計(jì)算20°AOph0M一般的，過了t秒呢？h＝h０＋r?sin50°h＝h０＋r?sin70°過了50秒過了70秒猜想：h＝h０＋r?sint°對任意角α，sinα沒有定義？再計(jì)算幾個(gè)

過了300秒h＝h０＋r?sin300°AOMPAOMPAOMPAOMPh＝h０＋MPh＝h０＋MPh＝h０－MPh＝h０－MP人距離地面的高度用模型：h＝h0±MP與猜想:h＝h０＋r?sint°比較

r?sint°＝±MP

即sint°＝±pppp小結(jié)：點(diǎn)P在圓周上旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，引起∠POA的變化，對任一個(gè)確定的∠POA，對應(yīng)著唯一點(diǎn)P，進(jìn)而有唯一的MP，得到，

問題：何時(shí)取正值，何時(shí)取負(fù)值？根據(jù)這些特點(diǎn)，用怎樣的一個(gè)量來代替MP或－MP，可以使上面的表述更簡潔？引入直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y來替代MP或－MP.OMMMMxy

定義——建構(gòu)三角函數(shù)模型任意角的正弦一種定義方法把角“放在”直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r作圓，與的終邊上相交于點(diǎn)P，得點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，規(guī)定：能這樣定義嗎？這可是我們自己規(guī)定的!

xyO

P(x,y)問題2：圓的半徑ｒ大小有限制嗎？結(jié)論：不矛盾，而且坐標(biāo)法的引入擺脫了銳角的束縛。結(jié)論：沒有限制，根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角α

，這個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變，是唯一確定的．問題1：當(dāng)α是銳角時(shí)，此規(guī)定與初中定義矛盾嗎？規(guī)定合理性？

設(shè)角是一個(gè)任意角，角的終邊與半徑為r的圓相交于一點(diǎn),點(diǎn)p與原點(diǎn)的距離任意角的三角函數(shù)：探究新知：P(x,y)Oyx那么①叫做的正弦，即：

②

叫做的余弦，即：③

叫做的正切，即：M當(dāng)半徑r取多少時(shí)，會(huì)使得比值更加簡潔？設(shè)

是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：

（1）y叫做

的正弦，記作sin

，即

sin

＝y(tǒng)

（2）x叫做

的余弦，記作cos

，即

cos

＝x（3）叫做

的正切，記作tan

，即tan

＝（x≠0）

任意角的三角函數(shù)的定義P(x,y)OA(1,0)xy任意角的三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。

所以，正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們稱為三角函數(shù).

解：xyBAO例1求

的正弦、余弦和正切值.實(shí)例剖析：所以MP(x,y)點(diǎn)評：若已知角α的大小，可求出角α終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。0合作探究：填表010-1010-101例2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值.＼

于是，解:由已知可得實(shí)例剖析：點(diǎn)評：若已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。變式：于是xyoy=2x已知角的終邊在射線上，求角的正弦、余弦和正切值.解:在角的終邊上取一點(diǎn)則

這節(jié)課你的收獲有哪些？1.任意角的三角函數(shù)的定義課堂小結(jié)：2.體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：一般

特殊數(shù)形結(jié)合的思想類比的思想必做題：

選作題：感謝各