2024年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題14 解三角形（選填壓軸題）（教師版）

專題14解三角形（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①三角形邊長相關(guān)問題 1②三角形周長問題 6③三角形面積問題 12④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題 17①三角形邊長相關(guān)問題1．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市翔宇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【詳解】依題意，，則，，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選：B2．（2023春·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）銳角中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，為的面積，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，即，即，因?yàn)闉殇J角三角形，則，所以，，則，因?yàn)?，由正弦定理可得，由已知可得，解得，則，因此，.故選：B.3．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，是上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）且，，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，則，即，所以，，則，

設(shè)，則，且，在中，，則，在中，，則，又，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又，故當(dāng)，時(shí)，.故選：A4．（2023春·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得?故選：C.5．（2023春·陜西西安·高一長安一中校考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為（

）A． B．12 C． D．9【答案】A【詳解】由可得，，即，則，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：A6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在鈍角中，角的對(duì)邊分別為，則邊的取值范圍是.【答案】【詳解】由，得，即，，故不可能為鈍角.①當(dāng)為鈍角，則即解得；②當(dāng)為鈍角，則即解得.綜上，的取值范圍是.故答案為：7．（2023春·重慶江津·高一校聯(lián)考期末）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．若AM是的平分線，交BC于M，且，則的最小值為.【答案】【詳解】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．由等面積法可得：，∴∴，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故答案為：.8．（2023春·黑龍江·高一黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谥?，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的平分線交于點(diǎn)D，，則的最小值為．【答案】4【詳解】依題意，由，得，整理得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最小值為4.故答案為：49．（2023春·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谀┰谥?，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別，，，，，若有且僅有一個(gè)解，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由正弦定理可得因此有且僅有一個(gè)解，故直線與在上的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，而在為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，因，，故，故答案為：.10．（2023春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的最大值為.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（?fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，，所以，其中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：②三角形周長問題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，則，函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以.故選：A2．（2023春·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)樗?，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周長為∵，∴的周長為，故選：B.3．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，垂足為，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，的周長為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，若，則在線段之外，且，如圖：又由，則，則，則，則，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，則取得最大值，此時(shí)，，所以的周長為；故選：A．4．（2023春·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則周長的取值范圍為.【答案】【詳解】利用正弦定理由可得，又因?yàn)樵谥?，所以；所以可得，即，整理可得，又因?yàn)椋?；即，所以；可得，即，易知，可得，所以由可知，所以，因?yàn)椋?，因此，，所以，所以周長，即周長的取值范圍為.故答案為：.5．（2023春·山東煙臺(tái)·高一?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則周長的最小值為．【答案】【詳解】因?yàn)榈钠椒志€交于，，所以，即，因?yàn)?，所以由二倍角公式可得，即，所以，由余弦定理有，所以，整理得，所以，整理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三角形周長的最小值為.故答案為：

6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為為的中點(diǎn)，，則的周長為．【答案】【詳解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，在中，，由余弦定理得，相加整理得，即，因此，解得，所以的周長為.故答案為：7．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則周長的取值范圍為【答案】【詳解】∵為銳角三角形，且，∴，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，則，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)值域?yàn)?故答案為：③三角形面積問題1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在中，若，則面積的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】如圖，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得，若，則，，所以，則面積的最大值為1

.故選：C.2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】

如圖所示，在中，由，得．又，即，所以，化簡得．①

在中，由余弦定理得，，②

由①②式，解得．由，得，將其代入②式，得，解得，故的面積．故選：D3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理可得，所以.因?yàn)?，，所以，即，解?所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.4．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，因?yàn)?，，，由余弦定理可得，，即，所以，解得，或（舍去），所以，故選：A.5．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.若為銳角三角形，且a=3，則面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得，在銳角中，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.故選：D6．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，，則的面積為.【答案】/【詳解】由正弦定理及得，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴.故答案為：7．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，，則的面積為.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，因?yàn)椋?在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以△ABC的面積為.故答案為：8．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．【答案】【詳解】,，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，則，所以，當(dāng)是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最大為，所以的最大值為，故答案為：．9．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知三角形的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，若，且，則面積的最大值為．【答案】【詳解】解：因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)?，所以，，即，因?yàn)?，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故答案為：10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）已知中，，且，則面積的最大值為.【答案】3【詳解】因?yàn)?，且，由正弦定理得：，所，故答案為?.④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題1．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則所以，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故，所以，所以，又在上都為增函?shù)，所以，故，又，，，，故，所以，其中當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)左側(cè)等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：B.2．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）在中，有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以又，，，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故選：D．3．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，由余弦定理得：，；，，，即的取值范圍為.故選：D.4．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則.【答案】4【詳解】因?yàn)樵谥?，若，所以，所以，即，由正弦定理得，化簡得，所?故答案為：45．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)