新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系第3課時(shí)空間中直線平面的垂直教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1．能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內(nèi)一點(diǎn)及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運(yùn)算來(lái)判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．下面我們就利用向量來(lái)研究垂直問題．知識(shí)點(diǎn)空間中直線、平面垂直的向量表達(dá)式位置關(guān)系向量表達(dá)式線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2＝0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ＝λn面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． ()(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0． ()(3)兩個(gè)平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直． ()(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． ()提示：(1)×兩條直線可能異面垂直．(2)√根據(jù)線面垂直的定義可知．(3)×也可能平行．(4)√由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β.類型1直線和直線垂直【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．求證：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.[證明]法一：以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝a，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F0，∵E在BC上，設(shè)E(m，1，0)，∴PE＝(m，1，－1)，AF＝0，∴PE·AF＝0，∴PE⊥∴無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.法二：因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上，可設(shè)BE＝λBC，于是PE·AF＝(PA+AB+BE)·12(AP+AB)＝12(PA+AB＋λBC)·(AB+AP)＝12(PA·因此PE⊥AF.故無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟(1)基底法：①選取三個(gè)不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．(2)坐標(biāo)法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)；③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)．求證：EF⊥BC．[證明]法一：(基底法)設(shè)BA＝a，BC＝b，BD＝c，則{a，b，c}為空間的一個(gè)基底．∵AE＝EC，DF＝FC，∴EF∥AD，且EF＝12AD∴EF＝12AD＝12BD-BA＝1又BC＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴EF·BC＝12(c－a)·b＝12(c·b－a·b∴EF⊥BC，∴EF⊥BC．法二：(坐標(biāo)法)由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，所以E0，12，所以EF＝32，0，-32因此EF·BC＝0，從而EF⊥所以EF⊥BC．類型2直線和平面垂直【例2】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點(diǎn)．求證：B1E⊥平面AED1.[思路導(dǎo)引]建立空間直角坐標(biāo)系要證B1E⊥平面AED1寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)→求平面AED1的一個(gè)法向量→證明B1E與平面AED[證明]建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)．又E為CD的中點(diǎn)，∴E(0，1，0)，∴B1E＝(－1，－1，－1)，AE＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，設(shè)平面AED1的法向量為n＝(x，y，z)，則AE·n=-x則y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一個(gè)法向量．又B1E＝－n，∴B1∴B1E⊥平面AED1.證明直線與平面垂直的方法(1)選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來(lái)，然后利用向量的計(jì)算來(lái)證明．(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．[證明]法一：設(shè)AB＝a，AD＝c，AA1＝則EF＝EB1+＝12(AA＝12(－a＋b＋c)∵AB1＝AB+AA∴EF·AB1＝12(－a＋b＋c)·＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)＝12(|b|∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C?平面B1AC，∴EF⊥平面B1法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．∴EF＝(－1，－1，1)，AB1＝(0，2，2)，AC＝(－2，2，∴EF·AB1＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×EF·AC＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝∴EF⊥AB1，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，AB1，AC?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．法三：由法二得AB1＝(0，2，AC＝(－2，2，0)，EF＝(－1，－1，1)．設(shè)平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，則AB1·n＝0，AC·n＝即2取x＝1，則y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，∴EF＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC．類型3平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．求證：平面BEF⊥平面ABC．[證明]如圖所示，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BD，BA為y軸、z軸的正方向，并取相同的單位長(zhǎng)度，設(shè)A(0，0，a)，則B(0，0，0)，C32a，32a，0，D(0，3a，于是AB＝(0，0，－a)，BC＝32BE＝34a，法一：(利用平面的法向量)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，則n取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，則n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，則n取x2＝1，得y2＝1，z2＝－3，則n2＝(1，1，－3)是平面BEF的一個(gè)法向量．因?yàn)閚1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，所以平面BEF⊥平面ABC．法二：(利用線面垂直)∵EF＝-3∴EF·AB＝0，EF·BC＝0，∴EF⊥AB，又AB∩BC＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF∴平面BEF⊥平面ABC．證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．[證明]由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E0，則AA1＝(0，0，1)，AC＝(－2，2，0)，AC1＝(－2，AE＝-2法一：(利用平面的法向量)設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)．則n1·令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)．則n2·令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．法二：(利用線面垂直)取AC1的中點(diǎn)D，連接ED(圖略)．則D1，1，12，ED∴ED·AC1＝0，∴ED⊥AC1，ED⊥AC，又AC1∩AC＝A，AC1，AC?平面AA1C1C，∴ED⊥平面AA1C1C，又ED?平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．1．已知直線l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝()A．1B．2C．12D．B[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]2．若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交B[∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α．]3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程()A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0D[因?yàn)镋(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，所以B1E＝(－1，0，－2)，CF＝(－2，y－2，z因?yàn)镃F⊥B1E，所以B1E·即2－2z＝0，即z＝1．]4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．5[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．兩直線垂直的向量表達(dá)式是什么？提示：設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．直線和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？提示：設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使