4.3.2角的比較與運算

七年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清第四章幾何圖形初步4.3.2角的比較與運算（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握角的大小的比較方法.2.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進行相關(guān)表述，并能解答相關(guān)問題.3.會進行涉及度、分、秒的角度的計算.重點：比較角的大小，認(rèn)識角的大小關(guān)系，分析角的和差關(guān)系，認(rèn)識角平分線及畫角平分線.難點：能從圖形中觀察角的和差關(guān)系.老師對你說：知識點一、角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；（2）度量法，分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較。如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．知識點二、角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點三、角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意；由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．基礎(chǔ)提升教材核心知識點精練【考點1】角的大小比較【例11】如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，則∠α與∠β的大小關(guān)系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測【分析】將∠α平移，讓∠α與∠β兩個角的頂點重合，即可解答．【解析】將∠α平移，使∠α與∠β兩個角的頂點重合，∠α下邊的一條邊與∠β下邊的一條邊重合，可得：∠α上面的一條邊在∠β的內(nèi)部，所以∠α＜∠β，故選：A．【例12】若，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由度分秒的換算法則，分別把每個角度化為度分秒形式，再進行判斷，即可得到答案．解：∵，，，∴．故選：A．【點撥】本題考查了角度的單位換算，角度的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握角度的單位進制是60進制．【例13】己知與都小于平角，在平面內(nèi)把這兩個角的一條邊重合，若的另一條邊恰好落在的內(nèi)部，則（）．A． B． C． D．不能比較與的大小【答案】A【分析】如圖所示，，，∠AOC＞∠BOC，．解：如圖所示，，，∵∠AOC＞∠BOC，∴，故選A．【點撥】本題主要考查了角的大小比較，解題的關(guān)鍵在于能夠畫出圖形進行求解．【考點2】角的和、差【例21】已知∠AOB＝15°，∠BOC＝20°，則∠AOC的角度是（）A．5° B．35° C．5°或35° D．不能確定【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)∠AOB和∠BOC的度數(shù)求出∠AOC即可．【解析】分為兩種情況：①如圖1，當(dāng)射線OA在∠BOC的外部時，∵∠AOB＝15°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝20°+15°＝35°；②如圖2，當(dāng)射線OA在∠BOC的內(nèi)部時，∵∠AOB＝15°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝20°﹣15°＝5°；即∠AOC的度數(shù)是5°或35°，故選：C．【例22】在同一平面內(nèi)，若∠AOB=50°，∠AOC=40°，∠BOD=30°，則∠DOC的度數(shù)是______．【答案】20°或40°或60°或120°【分析】先畫出圖形，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：

如圖1，∠DOC=∠AOB∠AOC+∠BOD=40°，

如圖2，∠DOC=∠BOD（∠AOB∠AOC）=20°，

如圖3，∠DOC=∠AOB+∠AOC+∠BOD=120°，

如圖4，∠DOC=∠AOB+∠AOC∠BOD=60°．

故∠DOC的度數(shù)是40°或20°或120°或60°．

故答案為：40°或20°或120°或60°．【點睛】本題查了角的計算，關(guān)鍵是熟練掌握角的和差關(guān)系，難點是正確畫出圖形，做到不重復(fù)不遺漏．【例23】如圖，將一副三角板重疊放在一起，使直角頂點重合于點O．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查角度的計算問題．弄清角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點3】角平分線【例31】如圖，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分線，則∠BAD的度數(shù)為___°．【答案】80【分析】由∠BAE=110°，∠CAE=60°，可得∠BAC=110°﹣60°=50°，結(jié)合∠CAF=110°，可得∠BAF=110°+50°=160°，再由AD平分∠BAF即可得∠BAD=80°．解：∵∠BAE=110°，∠CAE=60°，∴∠BAC=110°﹣60°=50°，又∵∠CAF=110°，∴∠BAF=110°+50°=160°，又∵AD是∠BAF的角平分線，∴∠BAD=∠BAF=×160°=80°．故答案為：80．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義和幾何中角度的計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線的定義．【例32】如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠COD＝25°，則∠BOD等于_____．【答案】75°【分析】依據(jù)OD是∠AOC的平分線，即可得到∠AOC＝2∠COD＝50°，再根據(jù)OC是∠AOB的平分線，即可得到∠BOC＝∠AOC＝50°，進而得出∠BOD＝75°．【詳解】解：∵OD是∠AOC的平分線，且∠COD＝25°，∴∠AOC＝2∠COD＝50°，又∵OC是∠AOB的平分線，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝50°＋25°＝75°，故答案為：75°．【點睛】本題考查與角平分線相關(guān)的角度運算，理解角平分線的定義，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【例33】如圖，平分，則_______°．【答案】110【分析】根據(jù)角平分線的意義，設(shè)∠DOE=x，根據(jù)∠AOB=150°，∠COD=40°，分別表示出圖中的各個角，然后再計算2∠BOE∠BOD的值即可．【詳解】解：如圖：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，設(shè)∠DOE=x，∵∠COD=40°，∴∠AOE=∠COE=x+40°，∴∠BOC=∠AOB∠AOC=150°2（x+40°）=70°2x，∴2∠BOE∠BOD=2（70°2x+40°+x）（70°2x+40°）=140°4x+80°+2x70°+2x40°=110°，故答案為：110．【點睛】本題考查角平分線的意義，利用代數(shù)的方法解決幾何的問題也是常用的方法，有時則會更簡捷．能力強化提升訓(xùn)練1.將一副三角板中的含有60°角的三角板的頂點和另一塊的45°角的頂點重合于一點O，繞著點O旋轉(zhuǎn)60°的三角板，拼成如圖的情況（OB在∠COD內(nèi)部），請回答問題：（1）如圖1放置，將含有60°角的一邊與45°角的一邊重合，求出此時∠AOD的度數(shù)．（2）繞著點O，轉(zhuǎn)動三角板AOB，恰好使OB平分∠COD，此時∠AOD的度數(shù)應(yīng)該是多少？（3）是否存在這種情況，∠AOC的度數(shù)恰好等于∠BOD度數(shù)的3倍．如果存在，請求出∠AOD的度數(shù)，如果不存在請說明理由．【分析】（1）表示出∠AOD，即可求解；（2）由OB平分∠COD，表示出∠AOD，即可求解；（3）令∠BOC＝x°，表示出∠AOC，∠BOD，求出x，即可．【解析】（1）∠AOD＝∠AOB+∠COD＝60°+45°＝105°，（2）∵OB平分∠COD，∴∠BOD=12∠∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60+22.5°＝82.5°；（3）存在這種情況，∠AOC的度數(shù)恰好等于∠BOD度數(shù)的3倍．令∠BOC＝x°，∴∠AOC＝60°﹣x°，∠BOD＝45°﹣x°，∵∠AOC＝3∠BOD，∴60﹣x＝3（45﹣x），∴x＝37.5，∴∠BOD＝45°﹣37.5°＝7.5°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+7.5°＝67.5°．2.如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度數(shù)；（2）比較∠DOM和∠CON的大小，并說明理由．【分析】（1）先證明∠MOC=12∠AOC，∠NOD=（2）先證明∠MOC=∠NOD，利用∠MON?∠NOD=∠MON?∠MOC，從而可得答案．【解析】（1）∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，∴∠MOC=12∠AOC∴∠MON=1∵∠COD=80°，∴∠MON=90°+1（2）∠DOM=∠CON，理由如下：∵∠MOC=12∠AOC，∠NOD=∴∠MOC=∠NOD，∴∠MON?∠NOD=∠MON?∠MOC，∴∠DOM=∠CON．3.如圖，將一副三角板如圖①所示擺放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分別平分∠AOD、∠COB．(1)求∠MON的度數(shù)；(2)將圖①中的三角板OCD繞點О旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求∠MON的度數(shù)；(3)將圖①中的三角板OCD繞點О旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置，猜想∠MON的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)52．5°(2)52．5°(3)52．5°，理由見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，分別求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得∠MON，（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則+，將式子變形為∠MON==，代值計算即可，（3）同（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則，將式子變形為∠MON=，代值計算即可，（1）∵平分，平分．∴∠NOB=∠COB=22．5°，∠MOB=∠AOD=30°，∴=∠NOB+∠MOB=22．5°+30°=52．5°，（2）∵平分，平分．∴∠MOD=∠AOD，∠NOB∠COB，∴，，（3）∵平分，平分．∴∠MOD=∠AOD，∠NOB=∠COB，∴，，，．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，幾何圖形中角的計算．準(zhǔn)確識圖并發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．用一副三角板（兩塊，可以組合）畫角，不可能畫出的角的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角板的內(nèi)角的度數(shù)分別為45°、90°、30°、60°，再利用角的和差關(guān)系一一分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：三角板的內(nèi)角的度數(shù)分別為45°、90°、30°、60°，選項A：因為，所以用一副三角板（兩塊，可以組合）畫角，可能畫出，故A項不符合題意；選項B：因為，所以用一副三角板（兩塊，可以組合）畫角，可能畫出，故B項不符合題意；選項C：因為，所以用一副三角板（兩塊，可以組合）畫角，可能畫出，故C項不符合題意；選項D：因為，所以用一副三角板（兩塊，可以組合）畫角，不可能畫出，故D項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查對角的認(rèn)識與角的計算的理解和掌握能力．明確三角板內(nèi)角的度數(shù)（一組：、、；一組：、、）是解本題的關(guān)鍵．2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個角的度數(shù)進行大小比較，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，，=25°，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．3．射線在內(nèi)部，下列條件不能確定射線是角平分線的是（）A． B． C． D．【解析】解：A、射線在內(nèi)部，當(dāng)時，是的平分線，故本選項不符合題意；B、射線在內(nèi)部，當(dāng)時，是的平分線，故本選項不符合題意；C、如圖所示，射線在內(nèi)部，，不一定是的平分線，故本選項符合題意；D、射線在內(nèi)部，當(dāng)時，是的平分線，故本選項不符合題意．故選：C．4．如圖，點A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分和．若，則的度數(shù)為（）A．145° B．120° C．90° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)OD，OE分別平分和，得出，，從而得出．【詳解】解：∵OD，OE分別平分和，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)得出，是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點重合于O點，下列說法錯誤的是(

)A．∠AOD=∠BOC B．∠AOD>∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．∠AOC>∠COD【答案】D【分析】根據(jù)角的加減方法，逐個計算即可得到答案；【詳解】解：A：∠AOD=∠BOC=90°，故正確；B：∵∠AOD=∠BOC=90°，∠BOD=∠BOC∠COD=∠AOD∠COD，∴，故正確；C：∵∠AOD=∠BOC=90°，∠AOC=∠AOD∠COD，∠BOD=∠BOC∠COD，∴∠AOC=∠BOD，故正確；D：根據(jù)已知條件，無法比較∠AOC和∠COD的大小，故錯誤；綜上，故選D；【點睛】本題考查了角的加減，涉及了直角三角形等知識，掌握并熟練使用相關(guān)知識，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．6．如圖，是直線上一點，過點作射線，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【解析】解：因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選：D．7．已知三條不同的射線、、，有下列條件：①；②；③；④其中能確定射線平分的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【分析】根據(jù)角的平分線定義畫圖說明正誤即可．【詳解】∵，∴OC平分∠AOB，∴①正確．∵如圖，當(dāng)∠AOC=∠AOD=∠DOB時，滿足∠AOB=2∠AOC，但OC不是∠AOB的平分線，∴②錯誤．∵如圖，滿足∠AOB=∠AOC+∠COB，但OC不是∠AOB的平分線，∴③錯誤．∵如圖，滿足，但OC不是∠AOB的平分線，∴④錯誤．綜上，只有一個符合要求的，故選C．【點睛】本題考查了角的平分線即從同一頂點出發(fā)的射線把這個角分成相等的兩個角，正確理解角的平分線的定義是解題的關(guān)鍵．8.如圖，將一張長方形紙按照如圖所示的方法對折，兩條虛線為折痕，這兩條折痕構(gòu)成的角的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，進而即可求解．【詳解】解：如圖：由折疊得，，，，，，兩條折痕構(gòu)成的角的度數(shù)是．故選：D．【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，是上一點，平分，，的度數(shù)是．【解析】解：因為，，所以，又因為平分，所以．故答案為：．10.如圖，已知，平分，，求的度數(shù)．【解析】解：因為，平分，所以，因為，所以，所以．11.如圖，直線AB、CD相交于O，是直角，，則______．【答案】##52度【分析】根據(jù)，即可計算出的度數(shù)．【詳解】解：∵是直角，∴，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平角、直角的定義和幾何圖形中角的計算，能識別∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三個角之和是解題關(guān)鍵．12.已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，則∠DOE的度數(shù)是_____．【答案】30°或50°【分析】利用分類討論的思想分當(dāng)OB在∠AOC的外部和OB在∠AOC的內(nèi)部時兩種情況解答：利用角平分線的意義求得∠AOD和∠AOE的度數(shù)，根據(jù)圖形用這兩個角的和差即可求得結(jié)論．【詳解】①如圖，當(dāng)OB在∠AOC的外部時，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，∴∠AOC＝80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD∠AOB＝10°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE∠AOC＝40°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°；②如圖，當(dāng)OB在∠AOC的內(nèi)部時，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，∴∠AOC＝80°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD∠AOB＝10°．∵OE平分∠AOC，∴∠AOE∠AOC＝40°．∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝30°；綜上，∠DOE的度數(shù)是30°或50°．故答案為：30°或50°．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，正確利用角平分線的定義解答是解題的關(guān)鍵．13.如圖，A，O，B三點在一條直線上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝80°，則∠COD的度數(shù)是__________．【答案】10°##10度【分析】設(shè)∠COD=x，則∠AOC=3x，根據(jù)∠COE=80°，用x表示出∠DOE的度數(shù)，然后根據(jù)∠AOB=180°列方程，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)∠COD=x，則∠AOC=3x，∵∠COE=80°，OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=80°x，∴3x+x+2（80°x）=180°，解得：x=10°．即∠COD=10°．故答案為：10°【點睛】本題考查了角平分線的定義，平角的定義以及角度的和差計算問題的，解答本題的關(guān)鍵是方程思想的運用．解答題（共6小題，48分）14.（8分）如圖，已知，，平分，求的度數(shù)．解：因為，所以__________°，所以__________＋_________，＝__________°＋__________°，＝__________°，因為平分，所以__________＝__________°．【答案】，，，，，，，【分析】先求出的度數(shù)，再求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出即可．【詳解】解：因為,所以.所以.因為平分，所以.故答案為：，，，，，，，【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差倍分，掌握各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.（8分）如圖，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．【答案】120°，30°【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．【詳解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB=45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算是解題的關(guān)鍵，注意：也可以根據(jù)的度數(shù)是度數(shù)的2倍進行求解．16.（8分）如圖，是內(nèi)部的一條射線，是的平分線，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】先由題意得到，繼而求得，再根據(jù)角平分線的定義得到，利用角的和差求解即可．【詳解】解：，，，，

是平分線，，

．【點睛】本題考查了角的和差倍分以及角平分線的定義，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵。17.（8分）如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大小；(2)∠AOC的大?。敬鸢浮?1)60°；(2)105°．【分析】（1）根據(jù)∠COD=∠EOC，可得∠EOC=4∠COD；（2）根據(jù)角的和差，可得∠EOD的大小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案．（1）解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，∴∠EOD=∠EOC∠COD=60°15°=45°．∵OE為∠AOD的平分線，∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，∴∠AOC