數(shù)學七年級下學期3.10+乘法公式

專題3.10乘法公式（知識講解）【學習目標】1.掌握平方差公式、完全平方公式的結構特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學會運用平方差公式、完全平方公式進行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.【要點梳理】要點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如要點二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：要點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.要點四、補充公式；；；.【典型例題】類型一、運用平方差公式進行運算 1．已知2a2+3a-6=0．求代數(shù)式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．【答案】7【分析】先根據(jù)整式的乘法化簡，然后再整體代入即可求解．解：==∵∴∴原式=7．【點撥】本題考查整式的化簡求值．舉一反三：【變式1】計算：.【答案】2【分析】在前面乘一個2×（1-），然后再連續(xù)利用平方差公式計算.解：原式=2（1-）（1+）…（1+）+=2（1-）+=2-+=2【點撥】本題考查了平方差公式的運用，添加2×（1-）是解題的關鍵.【變式2】運用乘法公式簡便計算:(1)99972

(2)【答案】(1)994009；(2)1.【分析】（1）直接利用完全平方公式求出即可；（2）利用平方差公式進而求出即可．解：（1）（9997）2=（10000-3）2=100000000+9-2×3×10000=99940009；（2）11862-1185×1187=11862-（1186-1）×（1186+1）=11862-11862+1=1．【點撥】此題主要考查了完全平方公式以及平方差公式的應用，熟練掌握乘法公式是解題關鍵．類型二、平方差公式與幾何圖形 2．如圖，將邊長為m的正方形紙板沿虛線剪成兩個小正方形和兩個矩形，拿掉邊長為n的小正方形紙板后，將剩下的三塊拼成新的矩形．（1）用含m或n的代數(shù)式表示拼成矩形的周長；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面積．【答案】（1）矩形的周長為4m；（2）矩形的面積為33．【分析】（1）根據(jù)題意和矩形的周長公式列出代數(shù)式解答即可．（2）根據(jù)題意列出矩形的面積，然后把m=7，n=4代入進行計算即可求得.解：（1）矩形的長為：m﹣n，矩形的寬為：m+n，矩形的周長為：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面積為S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，當m=7，n=4時，S=72-42=33．【點撥】本題考查了長方形的周長與面積、列代數(shù)式問題、平方差公式等，解題的關鍵是根據(jù)題意和矩形的性質(zhì)列出代數(shù)式解答．舉一反三：【變式1】如圖①，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，將陰影部分如圖剪開，拼成圖②的長方形（1）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）（2）請應用這個公式完成下列各題①計算：②計算：【答案】（1）；（2）①；②5050．【分析】（1）分別由圖①、②求出陰影部分的面積，即可得出結論；（2）①利用添括號法則將b-c看成一個整體，然后利用平方差公式和完全平方公式計算即可；②利用平方差公式計算即可．解：（1）由圖①可知：陰影部分的面積為；由圖②可知：陰影部分的面積為∴故答案為：；（2）①；②原式．【點撥】此題考查的是平方差公式的幾何意義和平方差公式的應用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決此題的關鍵．【變式2】在邊長為a的正方形的一角減去一個邊長為的小正方形（a>b），如圖①①

②（1）由圖①得陰影部分的面積為.（2）沿圖①中的虛線剪開拼成圖②，則圖②中陰影部分的面積為.（3）由（1）（2）的結果得出結論：=.（4）利用（3）中得出的結論計算：20172－20162【答案】（1）a2－b2；（2）(a+b)(a－b)；（3）a2－b2；(a+b)(a－b)；（4）4033.解：試題分析：(1)利用正方形面積公式求解.(2)利用三角形面積公式求解.(3)平方差公式的圖形證明.(4)利用平方差公式簡便計算.解：（1）圖①陰影部分的面積為a2－b2.（2）圖②陰影部分的面積為(2a+2b)(a－b)÷2=(a+b)(a－b).（3）由（1）（2）可得出結論：a2－b2=(a+b)(a－b).（4）20172－20162=(2017+2016)(2017－2016)=4033.類型三、運用完全平方公式進行運算 3．計算：．【答案】【分析】利用完全平方公式,平方差公式,單項式乘以多項式的法則，計算合并同類項即可解：.【點撥】本題考查了完全平方公式，平方差公式，單項式乘以多項式，合并同類項，熟練掌握公式，準確合并計算是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】化簡并求值：，其中．【答案】；0【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)以及整式的運算法則即可求出答案．解：由題意可知：x?1＝0，y＋2＝0，∴x＝1，y＝?2，∴＝?3x2＋4y2?y?（4y2?x2）＝?3x2＋4y2?y?4y2＋x2＝?2x2?y，當x＝1，y＝?2時，原式＝?2＋2＝0．【點撥】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．【變式2】計算：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式化簡即可；解：原式；故答案是．【點撥】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，準確分析化簡是解題的關鍵．類型四、運用平方差公式的變形求值 4．已知x2﹣3x+1＝0，求x2的值．【答案】7【分析】先將等式兩邊同時除以x，并整理可得x3，然后利用完全平方公式的變形即可求出結論．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣30，∴x3，∴x2（x）2﹣2＝32﹣2＝7．【點撥】此題考查的是等式的變形和完全平方公式的變形，掌握完全平方公式的變形是解題關鍵．舉一反三：【變式1】已知，求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）36；（2）26．【分析】（1）直接將代入中，求值即可．（2）可變?yōu)?，再將，代入變化后的式子求值即可．解：?）∵，∴，∴的值為36．（2）∵，∴，代入上式得：．∴的值為26．【點撥】本題考查代數(shù)式求值，掌握完全平方公式結合整體代入的思想是解答本題的關鍵．【變式2】已知，求的值．【答案】7【分析】利用完全平方公式化簡，再結合整體代入法解題即可．解：∵①，②，①+②得，①-②得，∴．【點撥】本題考查完全平方公式，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．類型五、完全平方公式的系數(shù) 5.如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一個完全平方式，那么k=_________．【答案】4或﹣2解：試題分析：先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，解得k=4或k=﹣2．即k=4或﹣2．故答案為4或﹣2．點評：本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．舉一反三：【變式1】當k取何值時，是一個完全平方式？【答案】【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可．解：∵100x2﹣kxy+49y2是一個完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，∴k＝±140，即當k＝±140時，100x2﹣kxy+49y2是一個完全平方式．【點撥】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本題的關鍵．【變式2】（1）計算：．（2）已知，，，求多項式的值．【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將原式分解為兩部分，兩次運用完全平方公式求出（2）將多項式轉(zhuǎn)化為幾個完全平方式的和，再將，，分別代入求值.解：（1）也可以這樣解：（2），，．由于，，，我們有，，．三式相加，可得．從而原式【點撥】本題考查完全平方式，解題關鍵在于熟練掌握計算法則.類型六、完全平方公式的幾何運用 6.（1）根據(jù)圖1中條件，試用兩種不同方法表示兩個陰影圖形的面積的和．方法1：_________．方法2：_________．（2）從中你能發(fā)現(xiàn)什么結論？請用等式表示出來：_________．（3）利用（2）中結論解決下面的問題：如圖2，兩個正方形邊長分別為a、b，如果a+b=10，ab=24，求陰影部分的面積．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）方法1：兩個正方形面積之和，方法2：大正方形面積-兩個小長方形面積；（2）由題意可直接得到；（3）由，化簡成，的形式，再代入數(shù)據(jù)即可求陰影部分的面積．解：（1）由題意可得：方法1：

，

方法2：，故答案為：，；（2），故答案為：；（3），∵，，．【點撥】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用代數(shù)式表示圖形的面積是本題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，甲、乙都是長方形，邊長的數(shù)據(jù)如圖所示（其中m為正整數(shù)）．（1）圖中的甲長方形的面積，乙長方形的面積，試比較、的大小，并說明理由；（2）現(xiàn)有一正方形，其周長與圖中的甲長方形周長相等，試探究：該正方形面積S與圖中的甲長方形面積的差（即）是一個常數(shù)，求出這個常數(shù)．【答案】（1），理由見解析；（2）9【分析】（1）首先利用多項式乘以多項式，將表示出來，再做差，根據(jù)m為正整數(shù)判斷結果正負即可得出結論；（2）首先根據(jù)甲長方形的周長表示出正方形的面積，再計算出，即可求得這個常數(shù)．解：（1），，∴，∵m為正整數(shù)，∴，∴．（2）圖中甲的長方形周長為，∴該正方形邊長為，∴，∴，∴這個常數(shù)為9．【點撥】本題考查多項式乘以多項式和完全平方公式與幾何圖形面積問題，解題關鍵是掌握多項式乘以多項式和完全平方公式．【變式2】如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地，規(guī)劃部門將陰影部分進行綠化，中間將修建一座邊長為米的正方形水池．（1）試用含，的式子表示綠化部分的面積（結果要化簡）．（2）求出當，時的綠化面積．【答案】（1）；（2）

綠化面積為．【分析】（1）由長方形面積減去正方形面積表示出綠化面積即可；（2）將與b=1的值代入計算即可求出值．解：（1）根據(jù)題意得：，=，=，（2）當，時，原式=．【點撥】本題考查了整式的加減乘混合運算，熟練掌握整式混合運算的法則是解本題的關鍵．類型七、整式的混合運算 7.已知，求代數(shù)式的值．【答案】，-2【分析】先按照整式的混合運算化簡代數(shù)式，注意利用平方差公式進行簡便運算，再把變形后，整體代入求值即可．解：原式=∵，∴，∴，∴原式=．【點撥】本題考查的是整式化簡求值，掌握利用平方差公式進行簡便運算，整體代入求值是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中x=-1，y=.【答案】，．【分析】先算乘法和除法，再合并同類項，最后代入求出即可．解：，，，，當時，原式．【點撥】本題考查了整式的混合運算