算法案例(秦九韶算法)課件

1.3算法案例(二)算法案例(秦九韶算法)案例2秦九韶算法一、三維目標(biāo)（a）知識(shí)與技能 了解秦九韶算法的計(jì)算過(guò)程，并理解利用秦九韶算法可以減少計(jì)算次數(shù)提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)。（b）過(guò)程與方法 模仿秦九韶計(jì)算方法，體會(huì)古人計(jì)算構(gòu)思的巧妙.（c）情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)對(duì)秦九韶算法的學(xué)習(xí)，了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，充分認(rèn)識(shí)到我國(guó)文化歷史的悠久。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：1.秦九韶算法的特點(diǎn);難點(diǎn):2.秦九韶算法的先進(jìn)性理解.算法案例(秦九韶算法)〖教學(xué)設(shè)計(jì)〗[問(wèn)題1]設(shè)計(jì)求多項(xiàng)式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值的算法,并寫出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序

點(diǎn)評(píng):上述算法一共做了15次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,易懂;缺點(diǎn)是在計(jì)算x的冪值時(shí)重復(fù)計(jì)算，運(yùn)算效率不高.算法案例(秦九韶算法)的值，這樣計(jì)算上述多項(xiàng)式的值,一共需要9次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.[問(wèn)題2]有沒有更高效的算法?

分析:計(jì)算x的冪時(shí),可以利用前面的計(jì)算結(jié)果,以減少計(jì)算量,

即先計(jì)算x2,然后依次計(jì)算

第二種做法與第一種做法相比,乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了,因而能提高運(yùn)算效率.而且對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō),做一次乘法所需的運(yùn)算時(shí)間比做一次加法要長(zhǎng)得多,因此第二種做法能更快地得到結(jié)果.算法案例(秦九韶算法)[問(wèn)題3]能否探索更好的算法,來(lái)解決任意多項(xiàng)式的求值問(wèn)題?請(qǐng)欣賞下面的解法：f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.這種求多項(xiàng)式值的方法就叫秦九韶算法.算法案例(秦九韶算法)秦九韶（1208年－1261年）南宋官員、數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。主要成就:1247年完成了數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》，其中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)。秦九韶算法就是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一枝奇葩。直到今天，這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法。美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓說(shuō)過(guò)，秦九韶是“他那個(gè)民族，他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”。

算法案例(秦九韶算法)例1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值.解：首先將原多項(xiàng)式改寫成如下形式: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即算法案例(秦九韶算法)所以，當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是31.在上述運(yùn)算中，總共用了6次乘法，6次加法所以，當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為31.求多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為了求六個(gè)一次多項(xiàng)式的值。解：當(dāng)x=2時(shí)的值時(shí)多項(xiàng)式的值。挑戰(zhàn)1：計(jì)算算法案例(秦九韶算法)挑戰(zhàn)2：用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1當(dāng)x＝2時(shí)的值.【解析】f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.當(dāng)x＝2時(shí),有v0＝8,v1＝8×2＋5＝21,v2＝21×2＋0＝42,v3＝42×2＋3＝87,v4＝87×2＋0＝174,v5＝174×2＋0＝348,v6＝348×2＋2＝698,v7＝698×2＋1＝1397,∴當(dāng)x＝2時(shí),多項(xiàng)式的值為1397.

注意:n次多項(xiàng)式有n+1項(xiàng),因此缺少哪一項(xiàng)應(yīng)將其系數(shù)補(bǔ)0.算法案例(秦九韶算法)v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.

觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式,可見vk的計(jì)算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n

這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟,因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).算法案例(秦九韶算法)

點(diǎn)評(píng):秦九韶算法是求一元多項(xiàng)式的值的一種方法.

它的特點(diǎn)是:把求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值,通過(guò)這種轉(zhuǎn)化,把運(yùn)算的次數(shù)由1+2+3+4+5+...+n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算,減少為n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算,大大提高了運(yùn)算效率.算法案例(秦九韶算法)知識(shí)探究(二):秦九韶算法的程序設(shè)計(jì)

思考1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？第一步，輸入多項(xiàng)式的次數(shù)n，最高次 項(xiàng)的系數(shù)an和x的值.

第二步，令v=an，i=n-1.

第三步，輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判斷i≥0是否成立.若是，則返回第 二步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v.算法案例(秦九韶算法)思考2:該算法的程序框圖如何表示？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii≥0？i=n-1i=i-1結(jié)束是輸出v否算法案例(秦九韶算法)思考3:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii≥0？i=n-1i=i-1結(jié)束是輸出v否INPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ani=n-1WHILEi>=0INPUT“ai=”；bv=v*x+bi=i-1

WENDPRINTyEND算法案例(秦九韶算法)當(dāng)堂檢測(cè)

：利用秦九韶算法計(jì)算

當(dāng)x＝3時(shí)，求多項(xiàng)式f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：

f(x)＝x5＋0·x4＋x3＋x2＋x＋1＝(((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝3時(shí)的值：v0＝1，算法案例(秦九韶算法)v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3