專題1.5 實際問題與一元二次方程【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）（解析版）

專題1.5實際問題與一元二次方程【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1傳播問題】 1【題型2增長率問題】 4【題型3營銷問題】 7【題型4工程問題】 11【題型5行程問題】 14【題型6圖表信息題】 19【題型7數(shù)字問題】 22【題型8與圖形有關(guān)的問題】 24【題型9動態(tài)幾何問題】 28【題型10其他問題】 36【題型1傳播問題】【例1】（2023春·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）2019年年底以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒引起的急性呼吸道傳染疾病。(1)在新冠初期，人們因為不了解這種病毒所以也沒有及時進(jìn)行隔離，若有1人感染后經(jīng)過兩輪的傳染將會有144人感染了“新冠”，求每一輪傳染后平均一個人會傳染了幾個人?(2)后來，大家眾志成城，全都隔離在家，但玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到了滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺銷售，糖心蘋果的成本為8元/千克，她發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為12元/千克時，每天可賣出40千克，而每漲1元時，每天就少賣出10千克.如果每天要達(dá)到150元的利潤而且又最大限度地幫爺爺增加銷量，請你幫玲玲確定銷售單價．【答案】(1)11人(2)11元【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，根據(jù)1人感染“新冠”經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．（2）設(shè)小玲應(yīng)該將售價定為y元，則每天可以賣出40-10y-12千克，根據(jù)總利潤=每斤的利潤銷售×數(shù)【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，依題意，得：1+x+x1+x即1+x解得：x1=11，答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人．（2）解：設(shè)玲玲應(yīng)該將售價定為y元，則每天可以賣出40-10y-12依題意得：y-840-10整理，得：y2解得：y1=11∵最大限度的幫爺爺增加銷量，∴小玲應(yīng)該將售價定位11元，答：小玲應(yīng)該將售價定為11元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計所有人一共握了66次手，則這次會議到會的人數(shù)是（

）A．11 B．12 C．22 D．33【答案】B【分析】可設(shè)參加會議有x人，每個人都與其他x-1人握手，共握手次數(shù)為12xx-1【詳解】解：設(shè)參加會議有x人，依題意得，12整理，得x2解得x1=12，x2=-11則參加這次會議的有12人．故選：B．【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，計算握手次數(shù)時，每兩個人之間產(chǎn)生一次握手現(xiàn)象，故共握手次數(shù)為12【變式1-2】（2023春·黑龍江七臺河·九年級統(tǒng)考期末）某種植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，則每個支干長出個小分支．【答案】10【分析】設(shè)每個支干長出x個小分支，利用主干、支干和小分支的總數(shù)是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每個支干長出x個小分支，根據(jù)題意得，1+x+x×x=111即x2x-10解得：x1故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·廣東江門·九年級臺山市新寧中學(xué)校考期中）組織一次排球邀請賽，采取單循環(huán)的形式，即每兩個隊都要打一場比賽．(1)如果有四個隊參賽，則需要打多少場比賽？(2)寫出比賽的總場數(shù)y與參賽隊伍數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)經(jīng)過最后統(tǒng)計，共打了28場比賽，求這次比賽共有多少個隊參加？【答案】(1)6；(2)y=(3)8【分析】（1）采取單循環(huán)的形式，如果有四個隊參賽，則需要打：12（2）直接根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）根據(jù)參賽的每兩個隊之間都要比賽一場結(jié)合總共28場，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】（1）如果有四個隊參賽，則需要打：12（2）總場數(shù)y與參賽隊伍數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式：y=1（3）設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意得：12解得：x1=8，這次比賽共有8個隊參加．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【題型2增長率問題】【例2】（2023春·重慶九龍坡·九年級統(tǒng)考期末）某圖書店在2022年國慶節(jié)期間舉行促銷活動，某課外閱讀書進(jìn)貨價為每本8元，標(biāo)價為每本15元.(1)該圖書店舉行了國慶大回饋活動，連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每本9.6元的價格售出，求圖書店每次降價的百分率；(2)在九月底該書店老板去進(jìn)貨該書500本，按照（1）兩次降價后的價格在國慶節(jié)全部售出；國慶節(jié)后老板去進(jìn)貨發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨價上漲了a%，進(jìn)貨量比九月底增加3a%，以標(biāo)價的八折全部售出后，比國慶節(jié)的總利潤多1200元，求a【答案】(1)20(2)1【分析】（1）設(shè)商城每次降價的百分率為x，利用經(jīng)過兩次降價后的價格=原價×(1-每次降價的百分率)2，即可得出關(guān)于x（2）分別求出國慶節(jié)的總利潤和國慶節(jié)后的總利潤，根據(jù)國慶節(jié)后的總利潤比國慶節(jié)的總利潤多1200元列出方程，求出a%【詳解】（1）設(shè)圖書店每次降價的百分率為x，依題意得：151-x解得：x1=0.2=20%答：商城每次降價的百分率為20%（2）根據(jù)題意得，500×整理得，2000a解得，a%=16故a%的值為【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀╇S著我國數(shù)字化閱讀方式的接觸率和人群持續(xù)增多，數(shù)字閱讀憑借獨有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑.某市2020年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為400萬元，2022年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為576萬元.(1)求2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率；(2)若年平均增長率不變，求2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是多少萬元?【答案】(1)20(2)預(yù)計2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是691.2萬元【分析】（1）設(shè)2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率為x，利用2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模=2020年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)?！?+2020年到2022（2）利用2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模=2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模×1+2020年到2022【詳解】（1）解：設(shè)2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率為x根據(jù)題意得：400解得：x1=0.2=20%答：2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率為20（2）576×1+20∴預(yù)計2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是691.2萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算．【變式2-2】（2023春·河北承德·九年級承德市第四中學(xué)?？计谥校┰趪业暮暧^調(diào)控下，某市的商品房成交價由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050(1)問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？(2)如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預(yù)測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破3000元/m【答案】(1)10(2)不會，理由見解析【分析】（1）設(shè)4、5兩月平均每月降價的百分率是x，那么4月份的房價為50001-x，5月份的房價為50001-x2，然后根據(jù)5月份的4050（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可以計算出今年7月份商品房成交均價，然后和3000元/m【詳解】（1）解：設(shè)4、5兩月平均每月降價的百分率是x，5000(1-x)1-x=±9x1=1答：4、5兩月平均每月降價的百分率是10%（2）否，理由如下：∵4050×1-3280.5>3000，∴預(yù)測到7月份該市的商品房成交均價不會跌破3000元/m【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，和實際生活結(jié)合比較緊密，正確理解題意，找到關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·山西太原·九年級期末）某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進(jìn)貨價為2500元，已知該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺．(1)求該商店11，12兩個月的月均增長率；(2)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該冰箱售價為2900元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4臺．該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，求每臺冰箱的售價．【答案】(1)20(2)2750元【分析】（1）設(shè)該商店11，12兩個月的月均增長率為x，則該商店去年11月份售出501+x臺，12月份售出501+x2臺，根據(jù)該商店去年第四季度累計售出182（2）設(shè)每臺冰箱的售價為y元，則每臺的銷售利潤為y-2500元，平均每天可售出(8+4×2900-y50)臺，利用總利潤=每臺的銷售利潤×【詳解】（1）解：設(shè)該商店11，12兩個月的月均增長率為x，則該商店去年11月份售出501+x臺，12月份售出50根據(jù)題意得：50+501+x整理得：25x解得：x1=0.2=20%答：該商店11，12兩個月的月均增長率為20%（2）設(shè)每臺冰箱的售價為y元，則每臺的銷售利潤為y-2500元，平均每天可售出(8+4×2900-y根據(jù)題意得：(y-2500)(8+4×2900-y整理得：y2解得：y1答：每臺冰箱的售價為2750元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【題型3營銷問題】【例3】（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）春節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農(nóng)戶手中購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進(jìn)貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進(jìn)貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤=銷售價-進(jìn)貨價）(1)水果店第一次用720元購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進(jìn)的件數(shù)；(2)第一次購進(jìn)的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共80件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且進(jìn)貨總費用不高于2000元．應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)春節(jié)臨近結(jié)束時，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【答案】(1)A中蘋果購進(jìn)10件，B中蘋果購進(jìn)20件(2)購進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元(3)將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元【分析】（1）設(shè)A，B兩種蘋果分別購進(jìn)x件和y件，列方程組求解即可．（2）設(shè)購進(jìn)A種蘋果m件，利潤為w元，列出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式討論最值即可．（3）設(shè)B種蘋果降價a元銷售，根據(jù)利潤=90元，列出一元二次方程求出a，得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種蘋果分別購進(jìn)x件和y件，由題意得：x+y=3028x+22y=720解得x=10y=20答：A中蘋果購進(jìn)10件，B中蘋果購進(jìn)20件．（2）解：設(shè)購進(jìn)A種蘋果m件，則購進(jìn)B種蘋果80-m件，由題意得：28m+2280-m∴m≤40，設(shè)利潤為w元，則w=42-28∵2>0，∴w隨m的增大額增大，∴當(dāng)m=40時，w最大值故購進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）解：設(shè)B種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天每件利潤為12-a元，由題意得：4+2a12-a解得，a=3或a=7，∵為了盡快減少庫存，∴a=7，∴34-7=27，答：將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．【點睛】本題考查了二元一次方程組，一次函數(shù)，一元一次不等式以及一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意找出等量或不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·廣東江門·九年級期末）汽車專賣店銷售某種型號的汽車．已知該型號汽車的進(jìn)價為10萬元/輛，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出2輛．(1)當(dāng)售價為13.5萬元/輛時，求平均每周的銷售利潤．(2)若該店計劃下調(diào)售價，增大銷量，但要確保平均每周的銷售利潤為40萬元，每輛汽車的售價定為多少合適？【答案】(1)平均每周的銷售利潤是49萬元(2)每輛汽車的售價定為12萬元更合適【分析】（1）根據(jù)當(dāng)該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛，即可求出當(dāng)售價為13.5萬元/輛時，平均每周的銷售量，再根據(jù)銷售利潤=一輛汽車的利潤×銷售數(shù)量列式計算；（2）設(shè)每輛汽車降價x萬元，根據(jù)每輛的盈利×銷售的輛數(shù)=40萬元，列方程求出x的值，進(jìn)而得到每輛汽車的售價．【詳解】（1）解：∵當(dāng)售價為13.5萬元/輛時，平均每周銷量為：8+15-13.50.5×2=14∴平均每周利潤為：13.5-10×14=49答：平均每周的銷售利潤是49萬元；（2）解：設(shè)每輛汽車的售價是x萬元，x-108+化簡，得x-1017-xx2解得：x1=12，由于希望增大銷量，定價12萬元售價更合適，答：每輛汽車的售價定為12萬元更合適．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系與等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）今年超市以每件25元的進(jìn)價購進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．(2)經(jīng)市場預(yù)測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？【答案】(1)25(2)5元【分析】（1）利用平均增長率的等量關(guān)系：a1+x（2）利用總利潤=單件利潤×銷售數(shù)量，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)平均增長率為x，由題意得：256×1+x解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；∴四、五這兩個月的月平均增長百分率為25%（2）解：設(shè)降價y元，由題意得：40-y-25400+5y整理得：y2解得：y=5或y=-70（舍）；∴當(dāng)商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了9000袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了a袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價x元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了a袋手工湯圓，依題意得，0.3a解得a=9000，經(jīng)檢驗a=9000是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了9000袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價x元，當(dāng)剛好10天全部賣完時，依題意得，225×2×整理得：xΔ=∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為15-13∴依題意得，225×2×解得x∵要促銷∴x=3即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．【題型4工程問題】【例4】（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┠彻こ剃牪捎肁、B兩種設(shè)備同時對長度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了m+25小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【答案】(1)A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米(2)18【分析】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面x米，可得：32x+322x+30（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設(shè)B型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面x米，則A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面2x+30米，由題意得32x+322x+30解得x=40，2x+30=80+30=110米，所以A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米；（2）根據(jù)題意得：4032+m+25解得m=18，m=0（舍去），答：m的值是18．【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．【變式4-1】（2023春·寧夏中衛(wèi)·九年級?？计谥校╇S著鐵路運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站從去年開始啟動了擴(kuò)建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．（1）求甲、乙隊單獨完成這項工程各需幾個月？（2）若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元，在保證工程質(zhì)量的前提下，為了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程．在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過1500萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整數(shù)）【答案】（1）甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月．（2）甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元．【分析】（1）若乙隊單獨完成這項工程需x個月，則甲隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，等量關(guān)系為：“兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍”，據(jù)此列方程求解即可．（2）設(shè)甲隊施工m個月，求出乙施工的時間，根據(jù)工程款不超過1500萬元，列不等式求解．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需x個月，則甲隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，根據(jù)題意，得xx+5即x2解得x1∴x+5=15．答：甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月．（2）設(shè)甲隊施工m個月，則乙施工的時間為12m由題意得，100m+（100+50）12m≤1500解得：m≤84∵施工時間為整數(shù)，∴m≤8，答：完成這項工程，甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，難度一般，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程及不等式求解．【變式4-2】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）2020年初，武漢爆發(fā)了新型冠狀病毒引起的肺炎，并迅速在全國傳染開來，與此同時醫(yī)護(hù)人員一直堅守在抗擊肺炎的前線，為我們保駕護(hù)航！羅曼·羅蘭說：“凡是行為善良與高尚的人，定能因之而擔(dān)當(dāng)患難．”他們是最可親可敬的人！由此，醫(yī)療物資護(hù)目鏡的需求量大大增加，兩江新區(qū)某護(hù)目鏡生產(chǎn)廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗，在接到單位的返崗?fù)ㄖ?，員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用自己的實際行動踐行著一份責(zé)任和擔(dān)當(dāng)．已知該廠擁有兩條不同的護(hù)目鏡加工生產(chǎn)線A,B．原計劃A生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護(hù)目鏡400個，B生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護(hù)目鏡500個．（1）若生產(chǎn)線A,B一共工作12小時，且生產(chǎn)護(hù)目鏡的總數(shù)量不少于5500個，則B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)護(hù)目鏡多少小時？（2）原計劃A,B生產(chǎn)線每天均工作8小時，但現(xiàn)在為了盡快滿足我市護(hù)目鏡的需求，兩條生產(chǎn)線每天均比原計劃多工作了相同的小時數(shù)，但因為機(jī)器損耗及人員不足原因，A生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的產(chǎn)量將減少10個，B生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的產(chǎn)量將減少15個．這樣一天生產(chǎn)的護(hù)目鏡將比原計劃多3300個，求該廠實際每天生產(chǎn)護(hù)目鏡的時間．【答案】（1）B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩7小時；（2）該廠實際每天生產(chǎn)口罩的時間為14h【分析】（1）設(shè)B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩x小時，根據(jù)生產(chǎn)護(hù)目鏡的總數(shù)量不少于5500個列出不等式求解即可；（2）設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩比原計劃多的時間為t，根據(jù)實際一天生產(chǎn)的護(hù)目鏡將比原計劃多3300個列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩x小時(12-x)400+500x≥5500解得：x≥7答：B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩7小時.（2）解：設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩比原計劃多的時間為t(400-10t)(8+t)+(500-15t)(8+t)=8×400+8×500+3300解得：t生產(chǎn)時間：6+8=14答：設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩的時間為14h【點睛】此題主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關(guān)系和等量關(guān)系，列出不等式和方程．【變式4-3】（2023春·重慶合川·九年級校考期中）甲、乙兩工程隊共同承建某高速路隧道工程，隧道總長2000米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米．因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米，隧道施工成本為6萬元；乙每合格完成1米，隧道施工成本為8萬元．（1）若工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的43（2）實際施工開始后因地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬元時，則每天可多挖12m米，乙因特殊地質(zhì)，在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖14m米，若最終每天實際總成本比計劃多（11m-8）萬元，求【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）設(shè)甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（2000-x）米，由工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的43，即可得出關(guān)于x（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長度結(jié)合每天實際總成本比計劃多（11m-8）萬元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工（2000-x）米，依題意，得：8（2000-x）≥43×6x解得：x≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依題意，得：（6+m）（6+12m）+8（6-14m）=6×（6+8）+11m整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值為4．【點睛】考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【題型5行程問題】【例5】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480m/(2)70【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為xm/min依據(jù)題意列方程得，12000x∴12000×1.2-12000=5×1.2x，∴x=400，經(jīng)檢驗，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m∴小紅的速度為400m/min故答案為：480m/min（2）解：∵小明的速度為480m∴小明從A地道B地需要的時間為：12000÷480=25min∵小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，∴30-25=5min設(shè)B地到C地的距離為xm30×10+∴300+x∴x∴x∴x∴x=21600或x=-21600（舍去）．∴A地到C地所需要時間為：21600+12000480故答案為：70min【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時間．【變式5-1】（2023春·重慶·九年級西南大學(xué)附中?？计谥校┬∶麇憻捊∩?，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時少用2.5分鐘．（1）求返回時A、B兩地間的路程；（2）若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個鍛煉過程不休息）．據(jù)測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結(jié)果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【答案】（1）1800米；（2）52分鐘．【分析】（1）可設(shè)AB兩地之間的距離為x米，根據(jù)兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可設(shè)從A地到C地一共鍛煉時間為y分鐘，根據(jù)在整個鍛煉過程中小明共消耗900卡路里熱量，列出方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)返回時A，B兩地間的路程為x米，由題意得：x+20025解得x=1800．答：A、B兩地間的路程為1800米；

（2）設(shè)小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘．【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程．【變式5-2】（2023·九年級單元測試）甲、乙兩個機(jī)器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達(dá)同一位置？(2)如果甲、乙到達(dá)A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達(dá)同一位置？【答案】(1)7分鐘(2)15分鐘【分析】（1）根據(jù)題意先設(shè)n分鐘后第1次相遇，利用數(shù)列求和知識得到關(guān)于n的方程，解此方程即可得甲、乙開始運動后幾分鐘相遇；（2）先設(shè)n分鐘后第2次相遇，依路程關(guān)系得到一個關(guān)于n的方程，解方程即得第2次相遇是在開始后多少分鐘．【詳解】（1）解：設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意，有nn+32+5n＝整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合題意，舍去）第1次相遇是在開始后7分鐘．答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達(dá)同一位置；（2）解：設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，有nn+32+5n＝整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合題意，舍去）故第2次相遇是在開始后15分鐘．答：開始運動后15分鐘第二次同時到達(dá)同一位置．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運動．學(xué)生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)B根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑x米，則小明每分鐘跑1.2x米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從A地到C地鍛煉共用y分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑x米，則小明每分鐘跑1.2x米，由題意得：12000x解得：x=400，經(jīng)檢驗，x=400既是所列分式方程的解也符合題意，則1.2x=1.2×400=480，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從A地到C地鍛煉共用y分鐘，由題意得：10×30+y-30解得：y1=70，答：小明從A地到C地鍛煉共用70分鐘．【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【題型6圖表信息題】【例6】（2023春·河北衡水·九年級校考期末）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護(hù)局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費+污水處理費）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，談?wù)勅绾伍_展水資源環(huán)境保護(hù)？如何節(jié)約用水？【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見解析;【分析】（1）根據(jù)總費用=10+超出費用列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意分別列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取滿足兩個方程的a的值即為本題答案；（3）結(jié)合當(dāng)?shù)厮Y源狀況，敘述合理即可；【詳解】（1）3月份應(yīng)交水費10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；（2）由題意得：5a（7-a）+10=70，解得：a=3或a=45a（5-a）+10=40解得：a=3或a=2，綜上，規(guī)定用水量為3噸；（3）既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節(jié)水技術(shù)、防治水污染、植樹造林．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解本題的水費收取標(biāo)準(zhǔn)．【變式6-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)龍灣風(fēng)景區(qū)的旅游信息，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【答案】參加旅游的人數(shù)40人.【分析】首先設(shè)有x人參加這次旅游，判定x>30，然后根據(jù)題意列出方程，再判定出符合題意的解即可.【詳解】設(shè)有x人參加這次旅游∵30×800=24000<28000∴參加人數(shù)x>30依題意得：x解得：x1=40當(dāng)x1=40時，800-當(dāng)x2=70時，答：參加旅游的人數(shù)40人.【點睛】此題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，列出方程.【變式6-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標(biāo)準(zhǔn)不超過10人人均收費2400元超過10人每增加一人，人均收費減少60元，但人均收費不低于1500元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司20人．【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費用和人均收費標(biāo)準(zhǔn)，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；（2）設(shè)乙公司員工x人，根據(jù)支付的費用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費減少60元，列出方程，求出x的值，再根據(jù)人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有x人，12000÷2400+24000÷2400，=10+5，=15（人）．故答案為：15（2）設(shè)乙公司x人，2400-60x-10x1=20，若x=30，每人費用：2400-60×20=1200<1500，不符舍去，若x=20，每人費用：2400-60×10=1800>1500，符合，答：乙公司20人．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）海洲市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應(yīng)收29．1元，你能依據(jù)以上信息，推算出起步價N的值嗎?里程x（km）0＜x≤33＜x≤6x＞6單價y（元）N2225【答案】見解析【分析】里程11公里，應(yīng)收29.1元，即：起步價+3公里到6公里這段的收費+大于6公里部分的價格=29.1元，據(jù)此相等關(guān)系即可列方程求解．【詳解】由題意，可列出方程N+(6-3)·22解之，N2—29.1N+191=0．∴N1=10，N2=19.1（不合題意舍去）∴起步價是10元．【點睛】本題主要考查了列方程解決實際問題，正確理解收費標(biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．【題型7數(shù)字問題】【例7】（2023春·山西太原·九年級統(tǒng)考期中）直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系，在中國稱為“商高定理”，在國外又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．由此發(fā)現(xiàn)三個連續(xù)正整數(shù)3，4，5，滿足32【答案】存在五個連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：10【分析】假定存在這樣的五個正整數(shù)，設(shè)其中第一個數(shù)為a，則連續(xù)的其他四個數(shù)為：a+1、a+2、a+3、a+4，再根據(jù)題意，得出a2+a+1【詳解】解：假定存在這樣的五個正整數(shù)，設(shè)其中第一個數(shù)為a，則連續(xù)的其他四個數(shù)為：a+1、a+2、a+3、a+4，∴可得：a2解得：a=10或a=-2，∵這五個數(shù)為正整數(shù)，∴a=10，∴a+1=11，a+2=12，a+3=13，a+4=14，∴這五個正整數(shù)為：10、∴存在五個連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：10、【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在設(shè)出這五個正整數(shù)，再找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程．【變式7-1】（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）一個兩位數(shù)，其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)的和等于6，而個位與十位上的數(shù)的積等于這兩位數(shù)的三分之一，求這個兩位數(shù).【答案】24或15【詳解】試題分析：首先設(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（6-x），由題意得等量關(guān)系：兩個數(shù)字的積=這個兩位數(shù)的13試題解析：設(shè)個位上的數(shù)為x，則十位數(shù)字為(6-x)，由題意得：x(6-1)=13[10(6-x)+x]解得：x1=4，x2=5，十位數(shù)字為：6-4=2，或6-5=1這個兩位數(shù)是：15或24【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見解析【分析】設(shè)這個最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）解讀詩詞(通過列方程算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當(dāng)東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡．【答案】周瑜去世時的年齡為36歲【分析】設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3根據(jù)題意建立方程10(x-3)+x=x【詳解】解：設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3，依題意得：10(x-3)+x=x解得x1=5，當(dāng)x=5時，25<30，（不合題意，舍去），當(dāng)x=6時，36>30（符合題意），答：周瑜去世時的年齡為36歲．【點睛】本題是一道數(shù)字問題的應(yīng)用題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，在解答中根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列出正確的方程是解題的關(guān)鍵．【題型8與圖形有關(guān)的問題】【例8】（2023春·廣東韶關(guān)·九年級翁源縣龍仙第二中學(xué)校考期中）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，為了節(jié)省材料，雞舍的一邊利用長為12米的墻，另外三邊用長為27米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個寬1米的門，所圍成矩形雞舍的長、寬分別是多少時，雞舍面積為90平方米？

【答案】雞舍的邊長AB、BC分別是9米，10米．【分析】設(shè)AB的長度為x米，則CD的長度為x-1米，BC的長度為28-2x米，根據(jù)矩形的面積公式列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)AB的長度為x米，則CD的長度為x-1米，BC的長度為27-x-x-1根據(jù)題意得：x28-2x解得：x1=5，當(dāng)x=5時，28-2x=18>12，不合題意，舍去；當(dāng)x=9時，28-2x=10，即AB=9，BC=10，答：雞舍的邊長AB、BC分別是9米，10米．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，矩形的面積公式，一元二次方程的解法，根據(jù)題目的等量關(guān)系正確列方程是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·重慶大渡口·九年級?？计谀?）如圖1，在一塊長為40m，寬為30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等寬的，剩余部分種上草坪，測得草坪的面積是1064m（2）后來要在這塊長為40m，寬為30m的矩形地面上，進(jìn)行重新規(guī)劃，打算修建兩橫兩豎的道路（橫豎道路各與矩形的一條邊平行），如圖2，橫、豎道路的寬度相同，剩余部分種上草坪，如果要使草坪的面積是地面面積的二分之一，應(yīng)如何設(shè)計道路的寬度？【答案】（1）2m（2）【分析】（1）利用平移的性質(zhì)得到等式30-x40-x（2）設(shè)道路的寬度為ym【詳解】解：（1）設(shè)道路的寬度是xm30-x40-x解得x1答：道路的寬度為2m（2）設(shè)道路的寬度為ym40-2y解得y1答：道路的寬度為5m【點睛】此題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）用54m長的竹柵欄圍一個矩形菜園，菜園的一邊靠長為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，寬度都是1m(1)當(dāng)a=41時，矩形菜園面積是320m2，求(2)當(dāng)a足夠大時，問矩形菜園的面積能否達(dá)到400m【答案】(1)x的值為8或20(2)矩形菜園的面積不能達(dá)到400【分析】（1）設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為54-2x+2m，可得：（2）先建立方程x54-2x+2=400，再計算【詳解】（1）解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為54-2x+2依題意得：x54-2x+2整理得：x2解得：x1=8，當(dāng)x=8時，56-2x=40<41；當(dāng)x=20時，56-2x=16<41．答：x的值為8或20．（2）令x54-2x+2=400整理得：x2∵△=-28∴方程①無實數(shù)根，∴矩形菜園的面積不能達(dá)到400m【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，理解題意，建立方程是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）圖1所示是某廣場地面示意圖，該地面是由圖2所示正方形地磚鋪砌而成，某綜合實踐小組的同學(xué)測量圖2所示地磚，得到AB=100cm，AE=AH=CF=CG，且AE<BE．于是他們抽象出如下兩個數(shù)學(xué)問題：問題（1）：若中間區(qū)域EFGH的邊EF=2EH，求AE的長度；問題（2）：若中間區(qū)域EFGH的面積為4800cm2，求請你幫助他們解決上面的兩個問題．【答案】（1）AE的長度是1003cm；（2）AE的長度為40cm【分析】（1）先根據(jù)邊形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，得到△AEH、△HDG、△EBF、△FCG為等腰直角三角形，進(jìn)而推出四邊形EFGH是矩形，再通過設(shè)AE=xcm，由勾股定理得出EH、EF得長度，最后以EF=2EH為等量關(guān)系列出一元一次方程，解出即可.（2）設(shè)AE的長為tcm，由勾股定理得出EH=2tcm，EF=2（100-t）cm，然后以中間區(qū)域EFGH的面積為4800cm2【詳解】（1）∵四邊形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，BE=BF=DG=DH.∴∠AEH=∠AHE=∠BEF=∠BFE=45°，∴∠HEF=90°.同理∠EFG=∠FGH=90°.∴四邊形EFGH是矩形.設(shè)AE=xcm，則BE=（100-x）cm.根據(jù)勾股定理可得EH=2xcm，EF=2（100-x）cm.∴2（100-x）=22x.解得x=1003答:AE的長度是1003（2）設(shè)AE的長為tcm，由（1）可知，EH=2tcm，EF=2（100-t）cm.根據(jù)題意可得2（100-t）·2t=4800.整理，得t2-100t+2400=0.解得t1=40，t2=60.當(dāng)t=40時，100-t=60.當(dāng)t-60時，100-t=40（不會題意，舍去）.∴t=40.答：AE的長度為40cm.【點睛】本題考查幾何圖形與方程的綜合應(yīng)用問題，通過幾何證明與勾股定理尋找邊之間的關(guān)系，再由等量關(guān)系列出正確的方程是本題的關(guān)鍵.【題型9動態(tài)幾何問題】【例9】（2023春·遼寧朝陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別以3cm/s，2cm/s的速度從點

(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點之間的距離是10cm(2)若點P沿著AB→BC→CD移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm【答案】(1)85s或(2)4秒或6秒．【分析】（1）過點P作PE⊥CD于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根據(jù)點P的三個位置進(jìn)行分類討論，表示出△PBQ的底和高，代入面積公式即可求得；【詳解】（1）解：過點P作PE⊥CD于E，設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm16-2x-3x2+∴x1=85∴經(jīng)過85s或245s，P、（2）解：連接BQ．設(shè)經(jīng)過ys后△PBQ的面積為12①當(dāng)0≤y≤163時，∴12PB?BC=12，即解得y=4；②當(dāng)163≤y≤22則12解得y1③223<y≤8時，則12解得y=18（舍去）．綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒，△PBQ的面積為12cm【點睛】本題考查了動點問題，相關(guān)知識點有：勾股定理求長度，解一元二次方程等知識點，分類討論是本題的解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點C勻速運動，到達(dá)點C后返回點B，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為(1)當(dāng)t=1時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面積等于10cm2，若存在，請求出【答案】(1)PQ=226(2)t=5或t=9；(3)t=1或t=6．【分析】（1）求出PB=10cm，BQ=2cm，再利用勾股定理即可求出（2）因為∠B=90°，所以當(dāng)△BPQ是等腰三角形時，只有BP=BQ，表示出BP=11-tcm，當(dāng)0≤t≤4時，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時，BQ=16-2tcm；當(dāng)8（3）由（2）可知：BP=11-tcm，當(dāng)0≤t≤4時，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時，BQ=16-2tcm；當(dāng)8【詳解】（1）解：當(dāng)t=1時，由題意可知：AP=1cm，BQ=2∵AB=11cm∴PB=10cm∵∠B=90°，∴PQ=P（2）解：∵∠B=90°，∴△BPQ是等腰三角形時，只有BP=BQ，由題意可知：BP=11-t∵Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點C勻速運動，到達(dá)點C后返回點B，當(dāng)有一點停止運動時，另一點也停止運動，∴當(dāng)0≤t≤4時，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時，BQ=16-2tcm∵BP=BQ∴11-t=2t，解得：t=1111-t=16-2t，解得：t=5，符合題意；11-t=2t-16，解得：t=9，符合題意；綜上所述：t=5或t=9；（3）解：假設(shè)存在t使得△BPQ的面積等于10cm由（2）可知：BP=11-tcm，當(dāng)0≤t≤4時，BQ=2tcm；當(dāng)4＜t≤8時，BQ=∴當(dāng)0≤t≤4時，12×11-t×2t=10；解得：當(dāng)4＜t≤8時，12×11-t當(dāng)8＜t≤11時，12綜上所述，當(dāng)t=1或t=6時△BPQ的面積等于10cm【點睛】本題考查動點問題，等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，結(jié)合圖形表示出BQ的值．【變式9-2】（2023春·廣東惠州·九年級惠州一中校考開學(xué)考試）如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AD＝8，E是AC的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿BC方向運動到點C，再沿CD方向向終點D運動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF，設(shè)點P運動的時間為t秒（0＜t＜8）(1)當(dāng)t＝1時，試求PE的長；(2)當(dāng)點F恰好落在線段AB上時，求BF的長；(3)在整個運動過程中，當(dāng)?PEQF為菱形時，求t的值．【答案】(1)PE=5(2)BF=2(3)83或【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AB=BC=CD=AD=8，證出EM∥BC，得出EM是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EM=12BC=4，當(dāng)t=1時，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出PF=EQ，PF∥EQ，當(dāng)點F恰好落在線段AB上時，得出EQ⊥BC，Q為BC的中點，得出EQ是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EQ=12AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF（3）由菱形的性質(zhì)得出PE=PQ，分四種情況：①當(dāng)0＜t≤2時，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②當(dāng)2＜t≤4時；③當(dāng)4＜t≤6時，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④當(dāng)6＜t≤8時；分別由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）作EM⊥AB于交AB于點M，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，E是對角線AC的中點，∴AB=BC=CD=AD=8,AM=BM=AB=4，∴EM是△ABC的中位線，∴EM=1當(dāng)t=1時，AP=1，∴PM=AM-AP=3，∴PE=（2）∵四邊形PEQF是平行四邊形，∴PF=EQ,PF∥EQ，當(dāng)點F恰好落在線段AB上時，PF⊥BC，∴EQ⊥BC，∴Q為BC的中點，∴EQ是△ABC的中位線，BQ=1∴EQ=1∴PF=4，∵動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿BC方向運動到點C，∴t=4÷2=2，∴AP=2∴BF=AB-AP=PF=2（3）當(dāng)?PEQF為菱形時，PE=PQ，分四種情況：①當(dāng)0<t≤2時，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如圖2所示：∵PE∴(4-t)2解得：t=0（舍去），或t=8②當(dāng)2<t≤4時，同①得：(4-t)2解得：t=0（舍去），或t=∴t=③當(dāng)4<t≤6時，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如圖3所示：∵PE∴(t-4)2解得：t=163或∴t=④當(dāng)6<t≤8時，同③得：(t-4)2解得：t=163（舍去）或綜上所述：在整個運動過程中，當(dāng)?PEQF為菱形時，t的值為83或16【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、菱形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線進(jìn)行分類討論，運用勾股定理得出方程才能得出結(jié)果．【變式9-3】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，過原點O及點A（0，5）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．(1)當(dāng)t=_____時，點P移動到點D；(2)當(dāng)△OPQ的面積為16時，求此時t的值；(3)當(dāng)t為何值時，△PQB為直角三角形．【答案】(1)5(2)4(3)72或41+3294【分析】（1）由ΔAOD是等腰直角三角形，可得OD=52，即可得出（2）過點P作PH⊥OC于點H，則OP=2t，OQ=2t，PH=t，代入面積公式即可得出（3）根據(jù)P(t,t)，Q(2t,0)，B(12,5)，表示出PQ，BQ，BP的長，再分∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°，分別列出方程．【詳解】（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOC=45°，∵A(0,5)，∴OA=5，∴AD=OA=5，∴OD=5∴t=52故答案為：5；（2）過點P作PH⊥OC于點H，∵OD平分∠AOB，∠DOC=45°，∴OH=PH，又∵OP=2t，∴PH=t，∴S∴12∴t=±4（負(fù)值舍去），∴t=4；（3）如圖，連接PQ，BP，BQ，由題意知，P(t,t)，Q(2t,0)，B(12,5)，∴PQBQPB①若∠PQB=90°，則2t∴t1=②若∠PBQ=90°，則4t∴t=41±③若∠QPB=90°，則2t∴t=0（舍)，綜上所述，t的值為：72或41+3294【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，將動點問題轉(zhuǎn)化為線段的長是解題的關(guān)鍵．【題型10其他問題】【例10】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）機(jī)械加工需要用油進(jìn)行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量為90千克，用油的重復(fù)利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量為36千克，為了建設(shè)節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進(jìn)行攻關(guān).（1）甲車間通過技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量下降到70千克，用油量的重復(fù)利用率仍然為60%.問甲車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量是多少千克？（2）乙車間通過技術(shù)革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新前的基礎(chǔ)上，潤滑用油量每減少1千克，用油的重復(fù)利用率將增加1.6%，這樣乙車間加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量下降到12千克，問乙車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的潤滑用油量是多少千克？用油的