人教版高數(shù)選修45第2講：證明不等式的基本方法

證明不等式的基本方法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點(diǎn)：掌握比較法、綜合法和分析法、反證法和放縮法的方法；教學(xué)難點(diǎn)：理解放縮法的解題及應(yīng)用。1、比較法：所謂比較法，就是通過兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過“_________，_____________，；或，，”來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。2、分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種方法叫做分析法。3、綜合法：從____________的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。4、反證法：從________結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法.用反證法證明不等式時(shí)，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一導(dǎo)出矛盾這里作一簡單介紹。反證法證明一個(gè)命題的思路及步驟：1） 假定命題的結(jié)論不成立；2） 進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾;3） 由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的;4） 肯定原來命題的結(jié)論是正確的。5.放縮法：放縮法就是在證明過程中,利用不等式的___________性,作適當(dāng)?shù)腳__________,證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明.放縮法的目的性強(qiáng),必須恰到好處,同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及.否則不能達(dá)到目的。類型一：比較法、分析法和綜合法去證明不等式例1.求證：x2+3>3x練習(xí)1.已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b，求證：練習(xí)2.已知a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2例2.已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：練習(xí)3.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：例3.求證練習(xí)4.已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤類型二：反證法和放縮法證明不等式例4.若a,b,c,dR+，求證：練習(xí)5.當(dāng)n>2時(shí)，求證：例5.設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時(shí)大于練習(xí)6.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>01.設(shè)a,b,cR，（1）求證：（2）求證：（3）若a+b=1,求證：2.a,b,cR,求證：（1）(2)(3)3.求證：4.設(shè)x>0,y>0,,，求證：a<b5.若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個(gè)小于2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)a,bR+，求證：2.證明lg9?lg11<13.設(shè)<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同時(shí)大于14.證明5.已知x>0,y>0，2x+y=1，求證：6.求證7.設(shè)、、是三角形的邊長，求證8.若a>b>c,則9.證明10.證明11.已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求證：an+bn<cn(n≥3,nR*)12.若，證明（且）13.設(shè)，求證：14.對于任意實(shí)數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）15.已知、、，，求證能力提升16．已知，，求證：17.甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m