人教版高數(shù)選修2第6講：空間向量及其運(yùn)算

空間向量及其運(yùn)算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))規(guī)律方法：1.選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求．如本例用eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))表示eq\o(OG,\s\up8(→))，eq\o(MG,\s\up8(→))等，另外解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．所以在求若干向量的和，可以通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和．3.數(shù)量積的應(yīng)用：求夾角，設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；(2)求長(zhǎng)度(距離)，運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題；(3)解決垂直問(wèn)題，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題．類型一空間向量的線性運(yùn)算例１：如圖3-1-6,已知平行六面體.求證:【解析】:由于在平行六面體中,每個(gè)面都是平行四邊形,故可結(jié)合空間向量加法的平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算,從而證明結(jié)論.【答案】∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形,∴又∵練習(xí)１：如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA,\s\up8(→))1＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：eq\o(AP,\s\up8(→)),eq\o(A1N,\s\up8(→))【答案】(1)eq\o(AP,\s\up8(→))=a+c+；(2)eq\o(A1N,\s\up8(→))=-a+b+練習(xí)2：【2015高考新課標(biāo)2，理13】設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．【答案】類型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2：射線AB、AC、AD不共面,連結(jié)BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H,如圖3-1-20,試判斷四邊形EFGH的圖形形狀,并用向量的方法證明.【答案】解法1:四邊形EFGH是平行四邊形.∵∵E點(diǎn)不在上,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.解法2:∵∴又H點(diǎn)不在上,∴HG∥EF,且HG=EF.∴四邊形EFGH是平行四邊形.練習(xí)1：【2015江蘇高考，6】已知向量a=，b=,若ma+nb=(),則的值為______.【解析】由題意得：【答案】類型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3：已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．【解析】（1）設(shè)=p,=q，=r.

由題意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.

=-=（+）-=（q+r-p），∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD.（2）由（1）可知=（q+r-p）

∴||2=2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）=×2a2=.∴||=a,∴MN的長(zhǎng)為a.(3)解設(shè)向量eq\o(AN,\s\up8(→))與eq\o(MC,\s\up8(→))的夾角為θ.∵eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)，eq\o(MC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝q－eq\f(1,2)p，∴eq\o(AN,\s\up8(→))·eq\o(MC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)·(q－eq\f(1,2)p)＝eq\f(1,2)(q2－eq\f(1,2)q·p＋r·q－eq\f(1,2)r·p)＝eq\f(1,2)(a2－eq\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－eq\f(1,2)a2cos60°)＝.又∵|eq\o(AN,\s\up8(→))|＝|eq\o(MC,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(3),2)a，∴eq\o(AN,\s\up8(→))·eq\o(MC,\s\up8(→))＝|eq\o(AN,\s\up8(→))||eq\o(MC,\s\up8(→))|cosθ＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a×cosθ＝.∴cosθ＝eq\f(2,3).∴向量eq\o(AN,\s\up8(→))與eq\o(MC,\s\up8(→))的夾角的余弦值為eq\f(2,3)，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為eq\f(2,3).【答案】（1）見(jiàn)解析（2）MN的長(zhǎng)為a.（3）異面直線AN與CM所成角的余弦值為eq\f(2,3)練習(xí)1：在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.求eq\o(BD,\s\up8(→))1與eq\o(AC,\s\up8(→))夾角的余弦值．【答案】設(shè)=a,=b.=ceq\o(BD1,\s\up8(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈eq\o(BD1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(BD1,\s\up8(→))|·|\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(6),6).1．（2014·廣東卷）已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)【答案】B2．在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A3.在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．垂直 B．平行C．異面 D．相交但不垂直【答案】B為空間任意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，則A，B，C，P四點(diǎn)()A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．無(wú)法判斷【答案】B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固（1）1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－2 B．－eq\f(14,3) \f(14,5) D．2【答案】D2.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值為()A．a(chǎn)2 \f(1,2)a2 \f(1,4)a2 \f(\r(3),4)a2【答案】C3．若向量c垂直于不共線的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，則()A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三種情況均有可能【答案】B4．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)是()A．(4，0，3) B．(3，1，3)C．(1，2，3) D．(2，1，3)【答案】B5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________．【答案】60°6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于________．【答案】eq\f(65,7)能力提升（2）7.在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up8(→))＝________(用a，b，c表示)．【答案】，B，C，D是空間不共面四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))