大學(xué)《微積分》課件8.1 空間解析幾何簡介

§8.1空間解析幾何簡介一、空間直角坐標(biāo)系三、曲面與方程二、空間任意兩點(diǎn)間的距離四、平面區(qū)域一、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系由過點(diǎn)O的相互垂直的三個坐標(biāo)軸構(gòu)成三個坐標(biāo)軸分別稱為x軸、y軸、z軸

點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)

空間直角坐標(biāo)系說明

三個坐標(biāo)軸要有相同的長度單位

三個坐標(biāo)軸要符合右手規(guī)則

伸出右手，拇指與其余并攏的四指垂直，四指指向x軸的正方向，然后讓四指從x軸正方向向y軸正方向緊握，則拇指的指向?yàn)閦軸的正方向.

在空間直角坐標(biāo)系中,

任意兩個坐標(biāo)軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面分別稱為xy

面,yz面和xz面.坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面分別稱為xy

面,yz面和xz面.卦限坐標(biāo)面把空間分成八個部分,每一部分叫做卦限,分別用字母I、II、III、IV等表示.

在空間直角坐標(biāo)系中,

任意兩個坐標(biāo)軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)M為空間一點(diǎn)

過點(diǎn)M作垂直于x軸、y軸和z軸的三個平面三個平面在x軸、y軸、z軸上的交點(diǎn)分別為P、Q、R

點(diǎn)M三元有序數(shù)組(a,b,c)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)

記為M(a

b

c)

abc有序數(shù)組(a

b

c)

11特殊點(diǎn)的坐標(biāo):二、空間任意兩點(diǎn)間的距離作一個以M1和M2為對角線的長方體

使其三個相鄰的面分別平行于三個坐標(biāo)面

則有設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)

求點(diǎn)M1與點(diǎn)M2之間的距離

|M1N|

|P1P2|

|x2

x1|

|NS|

|y2

y1|

|SM2|

|z2

z1|

|M1M2|2

|M1S|2

|SM2|2

|M1N|2

|NS|2

|SM2|2

二、空間任意兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)

則點(diǎn)M1與點(diǎn)M2之間的距離為特殊地

點(diǎn)M

(x,y,z

)與原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為

證

例1

求證以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形

所以|M2M3|

|M1M3|

即

M1M2M3為等腰三角形

|M1M3|2|M2M3|2因?yàn)閨M1M2|2

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2

14

(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2

6

(5

4)2

(2

3)2

(3

1)2

6

二、空間任意兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)

則點(diǎn)M1與點(diǎn)M2之間的距離為三、曲面與方程如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)

0

而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)

0

那么方程F(x,y,z)

0稱為曲面S的方程

而曲面S稱為方程F(x,y,z)

0的圖形

定義8

1(曲面方程)三、曲面與方程

解

例2

一動點(diǎn)M(x,y,z)與二定點(diǎn)M1(1,

1,0)、M2(2,0,

2)的距離相等

求此動點(diǎn)M的軌跡方程

依題意有|MM1|

|MM2|

由兩點(diǎn)間距離公式得化簡后得點(diǎn)M的軌跡方程為x

y

2z

3

0

如果曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)

0

而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)

0

那么方程F(x,y,z)

0稱為曲面S的方程

而曲面S稱為方程F(x,y,z)

0的圖形

定義8

1(曲面方程)

解

易知xy平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)必有z

0

滿足z

0的點(diǎn)也必然在xy平面上

所以xy平面的方程為z

0

同理

yz平面的方程為x

0

zx平面的方程為y

0

例3

求三個坐標(biāo)平面的方程

解

方程z

c中不含x、y

這意味著x與y可取任意值而總有z

c

其圖形是平行于xy平面的平面

例4

作z

c(c為常數(shù))的圖形

(x,y,0)可以證明空間中任意一個平面的方程為三元一次方程

Ax

By

Cz

D

0

其中A、B、C、D均為常數(shù)

且A、B、C不全為0

平面的方程一般式方程點(diǎn)法式方程截距式方程

解

設(shè)球面上任意一點(diǎn)為M(x,y,z)

例5

求球心為點(diǎn)M0(x0,y0,z0)

半徑為R的球面方程

由距離公式有那么有|MM0|

R

化簡得球面方程

(x

x0)2

(y

y0)2

(z

z0)2

R2

特殊地

球心為原點(diǎn)的球面方程為

x2

y2

z2

R2

球面方程

解

方程x2

y2

R2在xy平面上表示以原點(diǎn)為圓心

半徑為R的圓.

由于方程不含z

意味著z可取任意值

只要x與y滿足x2

y2

R2即可

例6

空間中方程x2

y2

R2表示什么樣的圖形?

因此這個方程所表示的曲面是由平行于z軸的直線沿xy平面上的圓x2

y2

R2移動而形成的圓柱面

x2

y2

R2叫做它的準(zhǔn)線;

平行于z軸的直線叫做它的母線

平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,動直線L叫做柱面的母線.柱面

上面我們看到,不含z的方程x2

y2

R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面,它的母線平行于z軸,它的準(zhǔn)線是xy面上的圓x2

y2

R2.

一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)

0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xy面上的曲線C:F(x,y)

0.

表示母線平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線是xy面上的拋物線y2

2x,該柱面叫做拋物柱面.

表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面的直線x

y

0,所以它是過z軸的平面.柱面舉例方程y2

2x方程x

y

0

在空間直角坐標(biāo)系中,方程G(x,z)

0和方程H(y,z)

0分別表示什么柱面？

方程

x

z

0表示什么柱面？

討論

方程G(x,z)

0表示母線平行于y軸的柱面.

方程H(y,z)

0表示母線平行于x軸的柱面.

方程x

z

0表示母線平行于y軸的柱面,其準(zhǔn)線是zx面上的直線x

z

0.所以它是過y軸的平面.

提示

解

例7

作z

x2

y2的圖形

用平面z

c截曲面z

x2

y2

其截痕為圓x2

y2

c

當(dāng)c

0時

只有(0

0

0)滿足方程

當(dāng)c

0時

其截痕為以點(diǎn)(0

0

c)為圓心

以為半徑的圓

讓平面z

c向上移動

即讓c越來越大

我們稱z

x2

y2的圖形為旋轉(zhuǎn)拋物面

如用平面x

a或y

b去截曲面

則截痕均為拋物線

當(dāng)c

0時

平面與曲面無交點(diǎn)

解

平面y

c與曲面z

y2

x2的截痕為拋物線

z

c2

x2

y

c

例8

作z

y2

x2的圖形

當(dāng)c

0時

平面z

c與曲面z

y2

x2的截痕為雙曲線y2

x2

c

z

c

當(dāng)c

0時

平面z

c與曲面z

y2

x2的截痕為兩條相交于原點(diǎn)的直線

y

x

0

z

0

y

x

0

z

0

平面x

c與曲面z

y2

x2的截痕為拋物線

z

y2

c2

x

c

這個曲線稱為雙曲拋物面

1、平面區(qū)域四、平面區(qū)域平面區(qū)域可以是整個xy平面或者是xy平面上由幾條曲線所圍成的部分

注1.圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界

包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域

不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域

注2.如果區(qū)域延伸到無窮遠(yuǎn)處

則稱為無界區(qū)域