北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（A卷）

豐臺(tái)區(qū)20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)（A卷）第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題意的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.命題“”的否定為（）A.“”B“”C.“”D“”3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.4.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)8.若指數(shù)函數(shù)的圖像與射線（）相交，則（）A. B.C. D.9.如下圖，一個(gè)“心形”由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）A. B. C. D.10.設(shè)集合A的最大元素為，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，，是集合的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）A10 B.11 C.12 D.13第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.12.求值：________．13.當(dāng)時(shí)，則的最小值為_(kāi)_____，當(dāng)取得最小值時(shí)的值為_(kāi)_____．14.寫(xiě)出一個(gè)使得命題“恒成立”是假命題的實(shí)數(shù)的值__________．（寫(xiě)出一個(gè)的值即可）15.函數(shù)的定義域?yàn)?，且，都有，給出下列四個(gè)結(jié)論：①或；②一定不是偶函數(shù)；③若，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；④若有最大值，則一定有最小值．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知函數(shù).（1）求值；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求的取值范圍.18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.（只需寫(xiě)出答案）19.已知函數(shù)，．（1）若的解集是，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）求不等式的解集．20.因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入萬(wàn)元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共為（）萬(wàn)元，每年的銷售收入年的總盈利額為萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開(kāi)始盈利；（2）使用若干年后，對(duì)該設(shè)備處理方案有兩種：案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬(wàn)元的價(jià)格處理；問(wèn)哪種方案處理較為合理？并說(shuō)明理由.21.對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，．（1）設(shè)函數(shù)，求集合和；（2）求證：；（3）設(shè)函數(shù)，且，求證：．豐臺(tái)區(qū)20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)（A卷）第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題意的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，而是集合，與的關(guān)系不應(yīng)該是屬于關(guān)系，而應(yīng)該是包含關(guān)系.故選:A2.命題“”的否定為（）A.“”B.“”C.“”D.“”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用含有一個(gè)量詞的否定求解作答.【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是：.故選：D3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】函數(shù)和函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上遞減，不符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意，B選項(xiàng)正確.故選：B4.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，B，C；舉反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，即，故，C正確；對(duì)于D，若，不妨取若，則，D錯(cuò)誤，故選：C5.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求得，進(jìn)而求.【詳解】令，則，則，所以.故選：A6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式的解集，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由，解得，由，即，解得，又，由推不出，故充分不成立，由推得出，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域以及函數(shù)的定義，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于①，x＝2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足任意性，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，同時(shí)滿足任意性與唯一性，故②正確；對(duì)于③，x＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y＝3?N，不滿足任意性，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性，故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的概念以及函數(shù)的定義域以及值域的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8.若指數(shù)函數(shù)的圖像與射線（）相交，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，射線的端點(diǎn)進(jìn)行分析求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，代入射線得，若，指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)第一、二象限，且單調(diào)遞減，要使指數(shù)函數(shù)的圖象與射線有交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，，所以，若，則可知兩圖象在第一象限一定有交點(diǎn)，綜上，或，故選：D9.如下圖，一個(gè)“心形”由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)心形”上部分的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除部分選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)的最大值判斷.【詳解】由函數(shù)圖象知：“心形”上部分的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而，，不滿足；的圖象過(guò)（0，0），（2，0），（2，0），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，不符合要求；的圖象過(guò)（0，0），（2，0），（2，0），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，符合要求；故選：C10.設(shè)集合A的最大元素為，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，，是集合的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意保證各集合中盡量小，結(jié)合已知和集合的性質(zhì)有最大時(shí)，進(jìn)而分析的取值即可.【詳解】由題意，，，，中都至少有一個(gè)元素，且元素個(gè)數(shù)互不相同，要使最大，則各集合中盡量小，所以集合，，，，中的元素個(gè)數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，所以，不妨設(shè)，，，，，則有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只需在時(shí)，在上述特征值取最小的情況下，使其中一個(gè)集合的特征值增加7即可，故的最大值為11.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)解析式，結(jié)合根式、分式的性質(zhì)求定義域.【詳解】由題設(shè)且，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：12.求值：________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果.【詳解】，故答案為：.13.當(dāng)時(shí)，則的最小值為_(kāi)_____，當(dāng)取得最小值時(shí)的值為_(kāi)_____．【答案】①.7②.5【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)解析式的配湊，即可利用基本不等式可求解【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)故最小值為7,當(dāng)取得最小值時(shí)的值為5，故答案為：7,5.14.寫(xiě)出一個(gè)使得命題“恒成立”是假命題的實(shí)數(shù)的值__________．（寫(xiě)出一個(gè)的值即可）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，假設(shè)命題“恒成立”是真命題，根據(jù)不等式恒成立，分類討論當(dāng)和時(shí)兩種情況，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)補(bǔ)集得出命題“恒成立”為假命題時(shí)的取值范圍，即可得出滿足題意的的值.【詳解】解：若命題“恒成立”是真命題，則當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)有，解得：，所以當(dāng)時(shí)，命題“恒成立”是真命題，所以當(dāng)時(shí)，命題“恒成立”為假命題，故答案為：.（答案不唯一，只需）15.函數(shù)的定義域?yàn)?，且，都有，給出下列四個(gè)結(jié)論：①或；②一定不是偶函數(shù)；③若，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；④若有最大值，則一定有最小值．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)所給性質(zhì)直接計(jì)算可判斷①，取特殊函數(shù)判斷②，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷③，取特殊函數(shù)判斷④.【詳解】因?yàn)?，都有，所以，即或，故①正確；不妨取，則，即恒成立，所以是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；設(shè)，且，則，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞增，故③正確；不妨取，則滿足，函數(shù)有最大值1，但是無(wú)最小值，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）若，代入集合B，由補(bǔ)集交集并集的定義，求；（2）若，分和兩種類型，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，又，，，.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，得滿足題意當(dāng)時(shí)，則，解得綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是17.已知函數(shù).（1）求的值；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）作圖見(jiàn)解析，減區(qū)間為，增區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)代入求值；（2）直接作出函數(shù)的大致圖象并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（3）對(duì)分段討論，代入相應(yīng)解析式求解不等式.【小問(wèn)1詳解】由得.【小問(wèn)2詳解】，所以的圖象如下圖所示，由圖可知,的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】由可得或，解得或，所以的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.（只需寫(xiě)出答案）【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義證明；（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明；（3）作出的圖象，觀察圖象得答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)為奇函數(shù).證明：定義域，因?yàn)?，都有，且，所以函?shù)為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.任取，，則因?yàn)?，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】的范圍，理由如下：先證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.任取，，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.根據(jù)的單調(diào)性與奇偶性可以作出的圖象如下：計(jì)算可知：，由圖可知，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，的取值范圍?19.已知函數(shù)，．（1）若的解集是，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）求不等式的解集．【答案】19.1和3；20.答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意確定是的一個(gè)根，從而求出，進(jìn)而求解即可；（2）先討論當(dāng)時(shí)求解不等式，在時(shí)求得方程兩根為，再比較兩根大小，分類討論求解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以是的一個(gè)根，所以，解得，所以.令，解得，所以的零點(diǎn)為1和3.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，且，解得；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，且，解得或；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，且，解得；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，且，解得或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.20.因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入萬(wàn)元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共為（）萬(wàn)元，每年的銷售收入年的總盈利額為萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開(kāi)始盈利；（2）使用若干年后，對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬(wàn)元的價(jià)格處理；問(wèn)哪種方案處理較為合理？并說(shuō)明理由.【答案】（1），3年；（2）第二種方案更合適，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用年的銷售收入減去成本，求得的表達(dá)式，由，解一元二次不等式求得從第年開(kāi)始盈利.（2）方案一：利用配方法求得總盈利額的最大值，進(jìn)而求得總利潤(rùn)；方案二：利用基本不等式求得時(shí)年平均利潤(rùn)額達(dá)到最大值，進(jìn)而求得總利潤(rùn).比較兩個(gè)方案獲利情況，作出合理的處理方案.【詳解】（1）由題意得：由得即，解得由，設(shè)備企業(yè)從第3年開(kāi)始盈利（2）方案一總盈利額，當(dāng)時(shí)，故方案一共總利潤(rùn)，此時(shí)方案二：每年平均利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故方