高等代數(shù)課件高等代數(shù)矩陣section4章節(jié)

一、特征值與特征向量二、特征值與特征向量的求法三、特征子空間四、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)引入有限維線性空間V

中取定一組基后，V

的任一線性變換都可以用矩陣來(lái)表示.

為研究線性變換的性質(zhì)，希望這個(gè)矩陣越簡(jiǎn)單越好，如對(duì)角陣或準(zhǔn)對(duì)角陣.從這里開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使V

的一個(gè)線性變換在這組基下的矩陣具有較簡(jiǎn)單的形式?下面介紹特征值和特征向量的概念.一、特征值與特征向量是數(shù)域P上線性空間V

的一個(gè)線性變換,定義：設(shè)若對(duì)于P

中的一個(gè)數(shù)

存在一個(gè)V

的非零向量使得則稱

為

的一個(gè)特征值(eigenvalue),

稱

為的屬于特征值

的特征向量(eigenvector).注：①

幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持時(shí)的特征向量，則相同

或相反②

若

是

的屬于特征值也是

的屬于的特征向量.由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若

且

，則為線性空間V

一組基,

線性變換如:

1)

設(shè)在這組基下的矩陣為由于則2)鏡面反射能看出其特征值和特征向量嗎?二、特征值與特征向量的求法是V

的一組基，分析：設(shè)線性變換

在這組基下的矩陣為

A.設(shè)

是的特征值，它的一個(gè)特征向量

在基下的坐標(biāo)記為

則在基下的坐標(biāo)為的坐標(biāo)是由定義,

則坐標(biāo)之間關(guān)系為或是齊次線性方程組的解.但即有非零解.所以它的系數(shù)行列式以上分析說(shuō)明：若

是

的特征值，則反之，若

滿足是則齊次線性方程組若則向量特征向量.有非零解.一個(gè)非零解，就是

的屬于

的一個(gè)稱為A的特征多項(xiàng)式(characteristic

polynomial).1.特征多項(xiàng)式的定義設(shè)

是一個(gè)文字，矩陣

稱為A

的特征矩陣(characteristic

matrix)，其行列式（是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式）關(guān)于V的一組基的矩陣，是特征多項(xiàng)式注：①

若矩陣A是線性變換而

是

的一個(gè)特征值，則的根，即反之，若

是A的特征多項(xiàng)式的根，則

就是的一個(gè)特征值.（所以，特征值也稱特征根.）②

矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為A的特征值,而相應(yīng)的線性方程組

的非零解也就稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量.寫出

在這組基下在P上的全部根,它們2.求特征值與特征向量的一般步驟在V中任取一組基的矩陣A.求A的特征多項(xiàng)式就是

的全部特征值.的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量在基iii)把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值下的坐標(biāo).)則就是屬于這個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.而不全為零）（其中，就是

的屬于的全部特征向量.如果特征值對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：例1.在線性空間V

中，數(shù)乘變換K

在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是故數(shù)乘法變換K

的特征值只有數(shù)k，且對(duì)

皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K

的特征向量.例2.設(shè)線性變換

在基下的矩陣是求

特征值與特征向量.解：A的特征多項(xiàng)式故

的特征值為：（二重）把代入齊次方程組得即它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：因此，屬于

的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為而屬于

的全部特征向量為不全為零把代入齊次方程組得解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：因此，屬于5的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為而屬于5的全部特征向量為例3.在線性空間中,

線性變換在基下的矩陣為故

的特征值為：把代入齊次方程組得解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：因此，屬于

0

的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為

1而屬于

0

的全部特征向量為任一非零常數(shù).三、特征子空間定義：設(shè)為n維線性空間V的線性變換，

為的全部特征向量的一個(gè)特征值，令

為

的屬于再添上零向量所成的集合，即則

是V的一個(gè)子空間,

稱之為的一個(gè)特征子空間.注:若在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則即特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組(*)的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于

的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量就是

的一組基.四、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)1.設(shè)則A的特征多項(xiàng)式②

A的全體特征值的積＝由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系還可得①

A的全體特征值的和＝稱之為A的跡,記作trA.2.

(定理6)

相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.證:設(shè)

則存在可逆矩陣X，使得于是，注：它們的特征多項(xiàng)式都是，但A、B不相似.①

由定理6線性變換

的特征值與基的選擇無(wú)關(guān).因此,矩陣A的特征多項(xiàng)式也說(shuō)成是線性變換

的特征多項(xiàng)式；而線性變換

的特征值與特征向量有時(shí)也說(shuō)成是矩陣A的特征值與特征向量.②

有相同特征多項(xiàng)式的矩陣未必相似.如設(shè)

為A的特征多項(xiàng)式,

則證:設(shè)是的伴隨矩陣，則3.

哈密爾頓─凱萊(Hamilton─Caylay)定理又

的元素是

的各個(gè)代數(shù)余子式，它們都是λ的多項(xiàng)式，且其次數(shù)不超過(guò)n－1.因此，

可寫成零矩陣其中，都是的數(shù)字矩陣.再設(shè)則，①而②比較①、②兩式，得③以

依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1個(gè)式子加起來(lái)，即得4.

設(shè)

為有限維線性空間V

的線性變換，是的特征多項(xiàng)式，則零變換例3.設(shè)求解：A的特征多項(xiàng)式用

去除得練習(xí)1：已知為A的一個(gè)特征值，則（1）必有一個(gè)特征值為

;（2）必有一個(gè)特征值為

;（3）A可逆時(shí)，必有一個(gè)特征值為