彈性與塑性力學基礎(chǔ)－第五章屈服準則與塑性應力應變關(guān)系

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.1屈服準那么的概念5.1.2屈服準那么(塑性條件)的表示方法5.1.3屈服準那么§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義§5-3屈雷斯加屈服準那么5.3.1屈雷斯加屈服準那么5.3.2K值確實定彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.1屈服外表5.4.2平面圖形5.4.3空間圖形§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.1實驗方法5.5.2羅德實驗與羅德參數(shù)5.5.3泰勒及奎乃實驗5.5.4兩個準那么綜合比較彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.1后繼屈服外表5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.1關(guān)于屈服準那么的正確選用問題5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例§5-8塑性變形時應力應變關(guān)系概述5.8.1問題的引出5.8.2理論的開展5.8.3理論的類型彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.1問題的背景及引出5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程§5-10全量理論5.10.1問題的背景及引出5.10.2亨蓋理論(1924年)5.10.3那達依理論(1937年)5.10.4伊留申理論(1943年)5.10.5全量理論的問題與開展彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.1屈服準那么的概念屈服準那么(塑性條件或屈服條件)：描述不同應力狀態(tài)下變形體某點進入塑性狀態(tài)并使塑性變形繼續(xù)進行所必須滿足的條件彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.2屈服準那么(塑性條件)的表示方法單向應力狀態(tài)屈服條件(T、、)：=s判斷材料是否到達塑性狀態(tài)的依據(jù)任意應力狀態(tài)需要有六個應力分量或三個主應力分量來描述，屈服函數(shù)可以表達成如下形式(T、、)假定式中：C為與材料力學性能有關(guān)的常數(shù)。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.2屈服準那么(塑性條件)的表示方法各向同性材料可用主應力來表示(由于坐標選擇與屈服準那么無關(guān))(5-1)可用應力張量不變量來表示(與坐標系選擇無關(guān))可用應力偏量不變量J2、J3表示(由于靜液應力不影響屈服)(5-2)其中彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.2屈服準那么(塑性條件)的表示方法拉壓性能相同的材料屈服準那么不應因應力偏量第三不變量J3的符號變化而變化1、2及3都為正，J3>0；1、2及3都為負，J3<0;屈服準那么或者與J3無關(guān)或者是J3的偶函數(shù)。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-1屈服準那么的概念5.1.2屈服準那么(塑性條件)的表示方法拉壓性能相同的材料屈服準那么不應因應力偏量第三不變量J3的符號變化而變化1、2及3都為正，J3>0；1、2及3都為負，J3<0;屈服準那么或者與J3無關(guān)或者是J3的偶函數(shù)。5.1.3屈服準那么標準：較符合實驗米塞斯(Mises)屈服準那么和屈雷斯加(Tresca)屈服準那么彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么金屬體內(nèi)任一小局部發(fā)生由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)過渡的條件是等效應力到達單向塑性應力狀態(tài)下相應變形溫度、應變速率及變形程度下的流動應力。(5-3)在塑性狀態(tài)下等效應力總是等于流動應力注意：此時已不能將s理解為屈服極限而是單向應力狀態(tài)下的對應于一定溫度、一定變形程度及一定應變速率的流動應力。該應力不是以名義應力來表示而是用真實應力來表示，是把開始屈服后的整個真實應力曲線視作為確定后繼屈服所需應力的依據(jù).彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么塑性變形時主應力差的平方和等于流動應力平方的兩倍(5-4)塑性變形時應力偏量第二不變量應等于流動應力平方的三分之一由于(5-5)塑性變形時八面體剪應力應等于流動應力的倍(5-6)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么主剪應力的平方和應等于流動應力平方的一半(5-7)式中，1、2、3代表主剪應力彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義能量準那么：反映把單位體積形狀變化比能(畸變能)作為材料是否進入塑性狀態(tài)的依據(jù)?？倯兡躑等于體積變化位能Uv與形狀變化位能Uf之和U＝Uv＋Uf由彈性理論單位體積變形位能等于應力分量與相應的應變分量乘積之和的一半(主坐標系中)

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義由廣義虎克定律式中，為波桑系數(shù)，于是可得

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義單位體積變化位能Uv確定取應力球張量及應變球張量由此得彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義單位體積變化位能Uv確定將應力表示應變的虎克定律公式代入上式

因此

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義單位體積形狀變化位能Uf確定化簡可得(5-8)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.1米塞斯屈服準那么

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么5.2.2米塞斯屈服準的物理意義比照式(5-4)與式(5-8)(5-4)

(5-8)當塑性變形時將有(5-9)

塑性變形時單位形狀變化彈性位能Uf它可以作為判斷是否進入塑性狀態(tài)的依據(jù)上述推證過程中所用的是彈性理論，應變是彈性局部的應變，不包括塑性應變彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么例題試用米塞斯屈服準那么判斷圖中的主應力狀態(tài)是彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)解利用米塞斯屈服準那么判別：(1)對于圖(a)，用1=-4s，1=2=-5s代入得滿足米塞斯屈服條件處于塑性狀態(tài)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-2米塞斯屈服準那么例題試判斷圖中的主應力狀態(tài)是彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)解:(2)對于圖(b)1=-0.2s，1=2=-0.8s滿足米塞斯屈服條件處于塑性狀態(tài)(3)對于圖(c)1=-s，1=2=-1.5s不滿足米塞斯屈服條件處于彈性狀態(tài)(4)對于圖(d)1=-0.5s，2=-s，3=-1.5s不滿足米塞斯屈服條件處于彈性狀態(tài)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-3屈雷斯加屈服準那么5.3.1屈雷斯加屈服準那么(最大剪應力準那么)最大剪應力到達某極限值尺時材料發(fā)生屈服max=(5-10)假設規(guī)定123時，上式可以寫成1-3=2(5-11)如果不規(guī)定順序，那么此條件可以寫成(5-12)或(5-13)用應力偏量不變量J2、J3來表示(5-14)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-3屈雷斯加屈服準那么5.3.2K值確實定K值可由簡單拉伸，1=s，2=3=0確定。簡單拉伸：2=3=0max=1/2于是有彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-3屈雷斯加屈服準那么例題一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓p的作用，試分別求此圓筒內(nèi)壁開始屈服及整個壁厚進入屈服時的內(nèi)壓p(設材料單向拉伸時的屈服應力為s)。解：求應力分量：在筒壁選取一單元體，采用圓柱坐標，單元體上的應力分量如下圖由平衡條件求應力分量為

r沿壁厚線性分布，內(nèi)外表r=p，外外表r=0圓筒內(nèi)外表首先產(chǎn)生屈服，然后向外層擴展彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-3屈雷斯加屈服準那么解：(1)在外外表由Mises屈服準那么即可求得由Tresca屈服準那么：1-3=s即可求得彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-3屈雷斯加屈服準那么解：(2)在內(nèi)外表用同樣的方法也可以求出內(nèi)外表開始屈服時的p值由3=r=-p按Mises準那么按Tresca屈服準那么彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.1屈服外表屈服函數(shù)式在應力空間中的幾何圖形假設描述應力狀態(tài)的點在屈服外表上那么開始屈服各向同性的理想塑性材料屈服面是連續(xù)的屈服外表不隨塑性流動而變化應變強化不同塑性變形階段要用到后繼屈服外表彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.1平面圖形(1)米塞斯屈服準那么各向同性的理想塑性金屬用于兩向應力狀態(tài)或平面應力狀態(tài)假定3=0，米塞斯屈服準那么方程式(5-4)可得因此或?qū)懗蔁o量綱形式

上式為1，2平面的橢圓方程－－米塞斯橢圓彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.1平面圖形(2)屈雷斯加屈服準那么當下述六個條件中任何一個得到滿足，那么發(fā)生屈服(5-15)

對于平面應力狀態(tài)3=0，那么(5-16)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.1平面圖形將屈服準那么在平面應力狀態(tài)平面內(nèi)繪制

平面應力狀態(tài)下的米塞斯屈服準那么及屈雷斯加屈服準那么圖形彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形三向應力在主應力空間(1、2、3)描述物體內(nèi)某點P的主應力(1、2、3)P的坐標是1，2和3應力狀態(tài)由應力向量OP表示應力狀態(tài)可以寫成三個向量的和(OA=1OB=2及OC=3)(5-17)

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形現(xiàn)考察一個過原點與三個主應力軸等傾斜軸線OE它的方向余弦是l=m=n=OE軸與三個主應力軸間等傾角是這個軸上的每一點應力狀態(tài)為等同于靜液應力狀態(tài)此時偏應力等于零彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形垂直于OE的任意平面的方程式為(5-18)式中：d—沿OE線從原點到平面距離靜液應力或應力張量球分量隨著從原點到平面的距離的增加而線性增加平面：過原點等靜應力為零的平面彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形任一應力狀態(tài)由OP向量確定，可以分解為兩個分量，沿OE方向的ON分量垂直于ON平行于平面的分量NP，代表(5-19)而且(5-20)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形由式(5-5)塑性變形時所以(5-21)過P點平行于OE的直線上全部點至OE線有相同的距離滿足式(5-21)動點的軌跡為與OE線等距離的圓柱面圓柱的半徑等于圓柱軸線與三坐標軸等傾斜彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形屈雷斯加準那么(5-15)在主應力空間代表三對互相平行的平面1－2＝s平面平行于3軸2－3＝s平面平行于1軸3－1＝s平面平行于2軸主應力空間中屈雷斯加屈服外表是一正六棱柱彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-4米塞斯準那么及屈雷斯加準那么的幾何圖形5.4.2空間圖形反映如下概念：(1)

屈服面內(nèi)為彈性區(qū)；(2)

屈服面上為塑性區(qū)；(3)當物體承受三向等拉或三向等壓應力狀態(tài)時，如圖中OE線，不管其絕對值多大，都不可能發(fā)生塑性變形。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.1實驗方法薄壁管承受軸向拉力及內(nèi)壓力(液壓)或軸向力及扭矩的試驗方法5.5.2羅德實驗與羅德參數(shù)薄管加軸向拉力P和內(nèi)壓力p試驗分析出發(fā)點：兩個準那么是否考慮中間主應力影響，引入?yún)?shù)分析條件：主應力方向是固定不變的，應力次序給定(123)屈雷斯加屈服條件可寫為(5-22)米塞斯屈服準那么為

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.2羅德實驗與羅德參數(shù)為了將米塞斯準那么寫成類似式(5-22)的形式，羅德引入?yún)?shù)(5-23)那么

(5-24)以式(5-24)代入式(5-4)即得(5-25)(5-4)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.2羅德實驗與羅德參數(shù)取縱坐標為，橫坐標實驗中采用不同軸向拉力P與內(nèi)壓p可得各種應力狀態(tài)下及服點應力值當＝1時，兩者重合當＝0時，相對誤差最大為15.4%試驗結(jié)果如所示與米塞斯屈服準那么比較符合彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系羅德實驗資料1-米塞斯準那么，2-屈雷斯加準那么§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.3泰勒及奎乃實驗1931年(Taylor)(Quinney)用銅、鋁、鋼的薄壁管承受軸向拉力及扭矩做試驗(5-26)

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.3泰勒及奎乃實驗把式(5-26)代入式(5-22)及式(5-4)得到屈雷斯加準那么(5-27)米塞斯準那么(5-28)方程(5-27)及(5-28)為橢圓方程。用不同的拉力與扭矩之比作試驗結(jié)果試驗點仍在米塞斯條件的曲線附近彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系泰勒及奎乃實驗資料1-米塞斯準那么，2-屈雷斯加準那么§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.4兩個準那么綜合比較：

實驗說明一般韌性金屬材料(如銅、鎳、鋁、中碳鋼、鋁合金、銅合金等)與米塞斯條件符合較好總的說來多數(shù)金屬符合米塞斯準那么當應力的次序預知時，屈雷斯加屈服函數(shù)為線性的，使用起來很方便，在工程設計中常常采用修正系數(shù)來考慮中間主應力的影響或作為米塞斯條件的近似即米塞斯條件可以寫成或表達為(5-29)式中，稱中間主應力影響系數(shù)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.4兩個準那么綜合比較：

上式與屈雷斯加條件1－3＝s在形式上僅差一個系數(shù)應用中當應力狀態(tài)確定時，為一常量，根據(jù)應力狀態(tài)所得值加以修正即可。單向受壓或受拉時，＝1兩個準那么重合純剪時，＝1.154，兩者差異最大在1～1.154范圍內(nèi)，其平均值為1.077，總的講相差不太大。板料沖壓中為簡化計算，通常取=1.1。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.4兩個準那么綜合比較：

兩個準那么在單向拉伸及單向壓縮(或更準確地說=±1)時相符合純剪(或平面應變)時差異最大平面應力情況為例純剪時，按屈雷斯加條件按米塞斯條件說明純剪時兩個準那么的剪切屈服應力比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-5屈服準那么的實驗驗證與比較5.5.4兩個準那么綜合比較：

兩個準那么在單向拉伸及單向壓縮(或更準確地說=±1)時相符合純剪(或平面應變)時差異最大平面應力情況為例純剪時，按屈雷斯加條件按米塞斯條件說明純剪時兩個準那么的剪切屈服應力比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.1后繼屈服外表

應變硬化材料塑性流動的應力應隨著塑性應變的增加而增加，變化后的屈服外表。如果初始屈服應力用s0表示，那么在平面內(nèi)的初始屈服軌跡是半徑為的圓。如果在超過初始屈服條件后繼續(xù)變形，這時所需應力設為s，假設進一步塑性變形并不引起材料的各向異性，那么屈服軌跡仍是圓，其半徑為。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡后繼屈服軌跡包圍初始屈服軌跡兩者同軸，平面上同心圓或六邊形如果材料應變硬化時保持各向同性，屈服軸跡就隨著應力及應變的進程而脹大，屈服外表一定沿某種途徑向外運動。各向同性應變硬化材料在平面上的后繼屈服軌跡(a)米塞斯屈服準那么(b)屈雷斯加屈服準那么彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡理想塑性材料屈服函數(shù)可由下式確定(5-30)函數(shù)Φ變到常數(shù)s時產(chǎn)生屈服，主應力空間中用初始屈服外表表示應變硬化材料s值的變化取決于材料的應變硬化特性函數(shù)Φ是加載函數(shù)代表應力的施加函數(shù)函數(shù)Φ是應變硬化屈服函數(shù)，取決于先前的材料的應變過程，也取決于材料的應變硬化特性。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡應變硬化材料區(qū)別三種不同的情況(當Φ＝s時)應力狀態(tài)由屈服外表上一點表示，如果加載過程，應力狀態(tài)由初始屈服外表向外運動并產(chǎn)生塑性流動dΦ=0時，中性變載。應力狀態(tài)在屈服外表上(假設此時應力分量在改變)，應變硬化材料不產(chǎn)生塑性流動。dΦ<0時，彈性卸載。應力狀態(tài)從屈服外表向內(nèi)運動。當Φ<s時，表示彈性應力狀態(tài)理想塑性材料，Φ＝s，dΦ=0塑性流動，dΦ>0情況不可能彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡各向同性應變硬化材料的概念數(shù)學上很簡單，初步近似。沒有考慮鮑辛格(Bausehinger)效應。這個效應使屈服軌跡一邊收縮另一邊膨脹，塑性變形過程中，屈服外表形狀變化。1950年，納迪(Naghdi)、艾生伯格(Essenburg)和柯夫(Koff)用實驗證明了鮑辛格效應。用鋁合金管進行的試驗。開始只施加軸拉力，而后施加各種比例的扭矩和軸向拉力，以獲得后繼屈服軌跡。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡通過特定的卸載和加載方式獲得后繼屈服軌跡試驗結(jié)果表示米塞斯橢圓屈服軌跡呈不對稱膨脹例如，反向扭轉(zhuǎn)所需的屈服應力不斷減少實際工程材料塑性變形各向同性應變硬化材料是初步近似彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-6各向同性應變硬化材料的后繼屈服外表與固表達實應力空間5.6.2各向同性應變硬化材料的屈服軌跡工程材料承受抗拉強度是有限的拉應力作用下所能承受的塑變形小于壓應力作用下所能到達的數(shù)值劉叔儀將恒溫斷裂條件引入后現(xiàn)實應力空間如鐘罩蓋在米塞斯圓柱上鐘罩代表斷裂面，鐘罩與柱面間為塑性變形區(qū)，圓柱面為初始屈服曲面，柱內(nèi)為彈性區(qū)對于三向壓應力狀態(tài)隨著流體靜壓力增加，可以承受很大的塑性變形而不致斷裂彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.1關(guān)于屈服準那么的正確選用問題確定變形區(qū)的性質(zhì)分析塑性區(qū)還是彈性區(qū)(可借助于網(wǎng)格法)只能用在塑性區(qū)如擠壓時的P區(qū)彈性區(qū)或剛性區(qū)不能用屈服準那么如死區(qū)D及沖頭下的金屬A區(qū)以及模口附近的C

擠壓分區(qū)圖彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.1關(guān)于屈服準那么的正確選用問題屈服準那么表達式選擇較簡單問題米塞斯準那么選用其簡化表達式(5-29)，即1－3＝s(123)與屈雷斯加準那么：1－3＝s根本一致僅差一個系數(shù)確定1、3針對具體工序確定1、3異號應力狀態(tài)容易判斷，如拉拔，軸向拉應力為1，徑向壓應力為3平面應力同號應力狀態(tài)，確定兩個同號應力相對大小，運用應力分析定性判斷，如筒形件徑向應力r絕對值總是小于切向應力絕對值。對于雙拉應力狀態(tài)(如脹球側(cè)壁受壓，徑向及軸向受拉)1＝，3＝0對于雙壓應力狀態(tài)，例如縮口工序1＝0，3＝彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.1關(guān)于屈服準那么的正確選用問題的選擇如果變形接近于平面變形變形為簡單拉伸類(=-1)或簡單壓縮類(=+1)時取=1應力狀態(tài)連續(xù)變化的變形區(qū)，如板料沖壓多數(shù)工序近似地?。?.1。三向同號應力狀態(tài)應力分量判斷根據(jù)“應力應變順序?qū)?guī)律〞由應變(或應變增量)可以反推應力順序?qū)谥魃扉L方向的應力是1，對應于主縮短方向的應力是3按代數(shù)值代入屈服準那么例如，鐓粗是r－z＝s式中r、z分別代表徑向及軸向應力彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例控制原那么在需要變形局部的應力狀態(tài)讓其先滿足屈服準那么控制材料的硬度差異可以使硬度低的先變形用模具鋼沖頭反擠模具型腔，將沖頭淬硬，被擠模具軟化處理用In100制成的沖頭可以對In100材料進行超塑加工，使材料處于超塑態(tài)，流動應力比非超塑態(tài)的沖頭低很多。控制不同溫度就可以使變形僅在高溫部位產(chǎn)生電熱鐓粗及差溫拉深彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例控制不同的應力狀態(tài)可以使變形產(chǎn)生的先后及開展程度不同實例：采用凹砧鐓粗與凸砧鐓粗變形工件形狀差異大原因：各處的應力狀態(tài)不同中心部位B及B'單向壓縮靠近凸砧處A點三向壓應力較B處難于滿足屈服準那么對于近凸砧點A‘兩壓一拉異號應力狀態(tài)，比中心部位更易滿足屈服準那么，因而先變形造成兩頭大中間小彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例利用摩擦力對主作用力傳播的減弱作用造成變形上的差異實例：管材進行閉式鐓粗力是由沖頭傳下來的近A點處先滿足屈服準那么側(cè)壁有摩擦力作用A點以下金屬所承受的壓應力要較A點小，后滿足屈服準那么所得工件口部厚度大于下部B點附近所傳應力不滿足屈服準那么壁厚無變化彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例利用摩擦力對主作用力傳播的減弱作用造成變形上的差異實例：局部承載接觸面小的部位，如A點附近壓強高先滿足屈服準那么，該處變形先產(chǎn)生接觸面大的部位，由于壓力被分散如B點后產(chǎn)生變形，甚至未變形。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例復合變形工序變形順序及開展取決于哪一個工序先易滿足屈服條件實例：杯桿件復合擠壓一局部反擠向上流動形成杯另一局部正擠向下流動形成桿當沖頭直徑2D1增大使靠近沖頭局部的金屬產(chǎn)生反擠式變形所需的力比下金屬產(chǎn)生正擠式變形所需的變形力大時，較多的金屬按正擠的方式變形，桿就長些假設模托直徑d2很少那么沖頭下部金屬滿足反擠變形所需力小于按正擠變形所需力，較多金屬按反擠方式變形，杯就高些。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-7關(guān)于屈服準那么在塑性加工中的實際運用5.7.2關(guān)于控制變形在所需要的部位產(chǎn)生的實例復合變形工序變形順序及開展取決于哪一個工序先易滿足屈服條件實例：薄管一頭縮口另一端擴口錐角1及2及摩擦、潤滑情況對變形有很大影響當2<1時，C區(qū)先變形，當2=1時，D區(qū)先變形彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-8塑性變形時應力應變關(guān)系概述5.8.1問題的引出闡述了變形體中一點所處的應力狀態(tài)

闡述了變形體中一點所處的應變狀態(tài)沒有引進變形材料的性能，有關(guān)公式對彈性問題及塑性問題是通用的

屈服準那么研究由彈性向塑性過渡及其變形繼續(xù)進行必須滿足的條件尚未涉及塑性變形時應力與應變之間存在什么關(guān)系，塑性變形時應力與應變之間不存在線性關(guān)系，但究竟是什么關(guān)系，有哪幾種理論，為工程上應用方便能否給出一些定性的判據(jù)，本節(jié)所要討論的問題。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-8塑性變形時應力應變關(guān)系概述5.8.2理論的開展(1870年以來提出的各種不同的理論假說)理想塑性材料1870年圣文南將屈雷斯加屈服條件用于平面應變問題，并提出了應變增量的主軸和應力主軸重合的假定。1871年列維應用前假定提出三維情況下應變增量分量與它所對應的應力偏量分量成比例的假定。1913年米塞斯獨立提出同一假定，并提出了米塞斯屈服條件，它被廣泛應用于作為塑性理論的根底。米塞斯忽略了彈性局部。1924年普朗特、路埃斯提出了考慮彈性變形的增量理論。1924年亨蓋采用了類似列維、米塞斯的假定，提出了應變偏量分量與對應的應力偏量的分量成比例。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-8塑性變形時應力應變關(guān)系概述5.8.2理論的開展(1870年以來提出的各種不同的理論假說)非理想塑性材料1937年那達依用大變形概念，考慮了硬化材料在大變形情況下的應力偏量分量與應變分量之間的關(guān)系，在總的應變中忽略了彈性局部。1943年伊留申提出了小彈塑性應變理論。1949年巴道爾夫—布第相斯基又提出了滑移理論，其根本假定是材料中沿著某一滑移面上某一方向產(chǎn)生塑性的剪切應變完全取決于所對應的剪切應力分量的過程。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-8塑性變形時應力應變關(guān)系概述5.8.3理論的類型增量理論(流動理論)上述前三類屬于增量理論所建立的應力應變關(guān)系以應變增量為根底全量理論(形變理論)4、5、6三類屬于全量理論所建立的應力應變關(guān)系都是以應變?nèi)繛楦讖椥耘c塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論

5.9.1

問題的背景及引出

理想塑性材料應力應變的非單值性對于不同的應變值

1、

2，可以有同一應力

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.1問題的背景及引出硬化材料在復雜應力狀態(tài)下應力應變的非單值性應變不能單值的由應力決定而與加載歷史過程有關(guān)設AB代表初始屈服軌跡，單向拉伸OAC，卸載至原點，扭轉(zhuǎn)至F點，這時并沒有產(chǎn)生新的剪切應變，應變狀態(tài)為假設先扭轉(zhuǎn)經(jīng)OBD點，沿DGFF點最終應力狀態(tài)一樣，加載途徑不同，應變不同一般如果加載途徑不確定，只從最終的應力狀態(tài)無法反求總的應變。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論

5.9.1

問題的背景及引出增量理論都是與每一瞬時的應變增量與當時的應力狀態(tài)有關(guān)5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程

理論內(nèi)容塑性變形時應變增量dij與相應的應力偏量成比例(列維于1871年，米塞斯于1913年分別提出)(5-36)或(5-37)式中，d為正的瞬時常數(shù);為應力偏張量，、…為其分量

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程

適用范圍嚴格地應用于理想剛塑性材料，即全應變增量中的彈性量為零。

方程張量表達式的概念

塑性應變增量偏量與應力偏量主軸重合，即塑性應變增量與應力的主軸方向重合；

塑性應變增量偏量的分量與應力偏量的分量成比例；應力莫爾圓及全應變增量莫爾圓是相似的。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程d的求法。對于理想剛塑性材料，按米塞斯屈服準那么將有及將式(5-36)兩者相減代入米塞斯屈服方程(5-3)即得令稱其為“等效塑性應變增量〞彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程

d的求法。

d

代入上述

i的公式中，即得而

I=

s

所以有(5-38)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程列維—米塞斯理論完整的應力應變關(guān)系方程式彈性應變忽略不計，總應變增量等于塑性應變增量，d

角標p可略去得到

(5-39)上式中線應變增量間還應滿足以下關(guān)系式

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程列維—米塞斯理論完整的應力應變關(guān)系方程式式(5-39)也可以寫成用應變速率表達的形式

(5-40)寫成張量形式(5-40a)式中表示比例因子

0，其數(shù)值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.2列維—米塞斯(Levy-Mises)方程列維—米塞斯方程的應用應變增量分量且對于特定材料(s可知)，可以求得應力偏量分量或正應力之差(1-2)，(2-3)，(3-1)，但一般不能求出1、2、3因為這時平均應力不知道。應力分量，能求得應力偏量，只能求得應變增量的比值但不能求得應變增量的數(shù)值。原因是對于理想塑性材料，應變分量的增量與應力分量之間無單值關(guān)系(即使求得也往往有很多解)。假設兩正應力相等，由于應力偏量分量相同，應變增量也相同，反之亦然。假設某一方向的應變增量為零，那么該方向的正應力應等于平均應力m，在平面應變時，假設有123，以及沿2的應變增量為零，那么有彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論內(nèi)容在列維—米塞斯理論的根底上開展起來的，考慮了彈性變形局部，即總應變增量的分量由彈塑性兩局部組成。彈性局部彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論內(nèi)容彈性局部即

(5-41)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論內(nèi)容塑性應變局部為應變分量的總增量表達式為d仍可由式(5-38)確定

(5-42)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論內(nèi)容式(5-42)亦可寫成用應變速率表達的公式(5-43)式中，

0表示比例系數(shù)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論特點普朗特—路埃斯理論與列維－米塞斯理論的差異就在于前者考慮了彈性變形而后者不考慮彈性變形，實際上后者是前者特殊情況。列維－米塞斯理論僅適應于大應變，無法求回彈及剩余應力場問題。前者主要用于小應變及求解彈性回跳及剩余應力問題。

彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論特點兩理論都著重指出了塑性應變增量與應力偏量之間關(guān)系。如用幾何圖形來表示，應力偏量的矢量為S，恒在平面內(nèi)沿著米塞斯屈服軌跡的徑向，由于應力(偏量)主軸與應變分量的瞬時增量主軸重合，在數(shù)量上僅差一比例常數(shù)，假設用自由矢量表示塑性應變增量，那么必平行于矢量S且沿屈服曲面的徑向，而彈性應變增量那么與應力張量的矢量平行。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系d

p平行于S沿著屈服面法線方向§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論特點整個變形過程可由各瞬時段的變形積累而得，因此增量理論能表達加載過程對變形的影響，能反映出復雜加載情況。加載途徑由①、②、③、④段組成，要得到最終的應力或應變解，首先根據(jù)第一段加載情況，運用該段方程組求解，把此解化為第二段加載的初值繼續(xù)求解，如此連續(xù)進行，得到第④段的積分解，即所需求解。對于大變形問題求全量解，應變應采用大應變表達式。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系復雜加載途徑

§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理論特點這理論僅適用于加載情況(即變形功大于零的情況)，并沒有給出卸載規(guī)律，卸載情況下仍按虎克定律進行。還要說明的是如何將上述結(jié)果應用于分析硬化材料的問題，這時要采用沿著應變路徑積分的“等效塑性應變總量〞來描述硬化程度，即(5-44)等效塑性應變總量與塑性應變強度一般不等，唯有在簡單加載(比例加載)情況下兩者才相等，對于一般情況可以理解為瞬時屈服圓柱半徑是隨“等效塑性應變總量〞而變。這時方程(5-1)中的C應表示為當屈服面上某應力點的應力增量大于零時才會產(chǎn)生新的塑性變形。彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程對式(5-44)求導可得表示應力強度

i與塑性應變強度曲線上某點的斜率，在應力點M處于是得(5-45)這時，列維—米塞斯表達式變?yōu)?/p>

(5-46)彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系為曲線上的斜率§5-9增量理論例題某點應力狀態(tài)三個主應力如下所示，試求塑性應變增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(a)平均應力為應力偏量的分量為;;由Levy-Mises方程(5-37)，得塑性應變增量比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論例題某點應力狀態(tài)三個主應力如下所示，試求塑性應變增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(b)平均應力為應力偏量的分量為

塑性應變增量比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論例題某點應力狀態(tài)三個主應力如下所示，試求塑性應變增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(c)平均應力為應力偏量的分量為

塑性應變增量比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論例題某點應力狀態(tài)三個主應力如下所示，試求塑性應變增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(d)平均應力為應力偏量的分量為

塑性應變增量比值為彈性與塑性力學根底第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系第五章屈服準那么與塑性應力應變關(guān)系§5-9增量理論例題某點應力狀態(tài)三個主應力如下所示，試求塑性應變增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:雖然應力狀態(tài)(a)和(b)應力分量與應力球張量均不相同，但其塑性應變增量的比值卻是相同，說明兩者(即單向拉伸與雙向壓縮)的塑性變形方式相同；應力狀態(tài)(c)和(d)也有同樣結(jié)果，說明單向壓縮與雙向拉伸的變形方式相同。彈