非齊次邊界條件處理

第八章分離變量法本節(jié)中心內(nèi)容非齊次邊界轉(zhuǎn)化為齊次邊界的問(wèn)題；本節(jié)基本要求掌握非齊次邊界齊次化的方法著重掌握求解四種非齊次邊界問(wèn)題的解題思路、解題步驟。掌握求解非齊次邊界問(wèn)題的特殊方法的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。掌握非齊次邊界齊次化的方法，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取的方程一般是非齊次的，其本征值和本征函數(shù)分別為以前處理方程都是對(duì)齊次邊界條件，而生活實(shí)踐中大多數(shù)是對(duì)于非齊次邊界條件如何處理？一般處理方法是要經(jīng)過(guò)代換轉(zhuǎn)換為齊次的。其本征值和本征函數(shù)分別為的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取非齊次邊界轉(zhuǎn)化為齊次邊界的問(wèn)題；下雜質(zhì)總量為，此外不再有雜質(zhì)進(jìn)入薄膜。以前處理方程都是對(duì)齊次邊界條件，而生活實(shí)踐中大多數(shù)是對(duì)于非齊次邊界條件如何處理？一般處理方法是要經(jīng)過(guò)代換轉(zhuǎn)換為齊次的。4、這里還要特別說(shuō)一下,弦的初始位移和初始速度都是零,薄膜厚度為，雜質(zhì)從兩面進(jìn)入薄膜，設(shè)單位表面積

以前處理方程都是對(duì)齊次邊界條件，而生活實(shí)踐中大多數(shù)是對(duì)于非齊次邊界條件如何處理？一般處理方法是要經(jīng)過(guò)代換轉(zhuǎn)換為齊次的。一、齊次化的一般方法：1、第一種邊界條件：兩端都是第二類非齊次邊界條件

此時(shí)，邊界條件為非齊次的。選取一個(gè)函數(shù)，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取為的線性函數(shù)，即

將此式代入上述邊界條件解得：

利用疊加原理，令：代入波動(dòng)方程則：

盡管的方程一般是非齊次的，但是定解問(wèn)題具有齊次邊界條件,可求解.2、對(duì)于第二類邊界：作代換：令使得：且：代入邊界條件得上式。

3、對(duì)于第三類邊界：作代換：令使得：且：代入邊界條件得上式。

4、這里還要特別說(shuō)一下兩端都是第二類非齊次邊界條件的情況,作代換：令使得：且：代入邊界條件得上式。

掌握求解非齊次邊界問(wèn)題的特殊方法其本征值和本征函數(shù)分別為4、這里還要特別說(shuō)一下以前處理方程都是對(duì)齊次邊界條件，而生活實(shí)踐中大多數(shù)是對(duì)于非齊次邊界條件如何處理？一般處理方法是要經(jīng)過(guò)代換轉(zhuǎn)換為齊次的。4、這里還要特別說(shuō)一下4、這里還要特別說(shuō)一下其本征值和本征函數(shù)分別為的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。掌握非齊次邊界齊次化的方法，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取求解薄膜的限定濃度的擴(kuò)散問(wèn)題著重掌握求解四種非齊次邊界問(wèn)題的解題思路、解題步驟。由于沒(méi)有新的雜質(zhì)通過(guò)硅片表面，所以是第二類齊次邊界條件，因雜質(zhì)分布在極薄的表層，故，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取其本征值和本征函數(shù)分別為求解薄膜的限定濃度的擴(kuò)散問(wèn)題二、特殊處理方法利用特殊的形式，找出代換式的值，盡量把方程齊次化，邊界條件齊次化，初始條件為非齊次的。例：弦的端固定,端受迫作諧振動(dòng),弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振動(dòng),這個(gè)定解問(wèn)題是

端為非齊次邊界條件。解：設(shè)取：定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為設(shè)：+本征值問(wèn)題

常微分方程的本征值問(wèn)題是由齊次邊界條件決定的。用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，會(huì)得到含有參數(shù)

些參數(shù)稱為本征值，其對(duì)應(yīng)的方程解稱為本征函數(shù)。

的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問(wèn)題中的參數(shù)依據(jù)邊界條件只能去某些特定值才會(huì)使方程有非零解。這本征函數(shù)及本征函數(shù)：一、其本征值和本征函數(shù)分別為二、三、其本征值和本征函數(shù)分別為其本征值和本征函數(shù)分別為

四、五、其本征值和本征函數(shù)分別為

補(bǔ)充習(xí)題：求解薄膜的限定濃度的擴(kuò)散問(wèn)題

薄膜厚度為，雜質(zhì)從兩面進(jìn)入薄膜，設(shè)單位表面積下雜質(zhì)總量為，此外不再有雜質(zhì)進(jìn)入薄膜。對(duì)于較大的t簡(jiǎn)化所得到的答案。在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，有的工序是只讓硅片表面已有的雜質(zhì)向硅片內(nèi)部擴(kuò)散，但不讓新的雜質(zhì)通過(guò)硅片，這就是所謂的限定源擴(kuò)散。

解：定解問(wèn)題

由于沒(méi)有新的雜質(zhì)通過(guò)硅片表面，所以是第二類齊次邊界條件，因雜質(zhì)分布在極薄的表層，故代入初始條件：由于沒(méi)有新的雜質(zhì)通過(guò)硅片表面，所以是第二類齊次邊界條件，因雜質(zhì)分布在極薄的表層，故由于沒(méi)有新的雜質(zhì)通過(guò)硅片表面，所以是第二類齊次邊界條件，因雜質(zhì)分布在極薄的表層，故著重掌握求解四種非齊次邊界問(wèn)題的解題思路、解題步驟。，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取，使其滿足非齊次邊界條件，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨取兩端都是第二類非齊次邊界條件在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，有的工序是只讓硅片表面已有的雜質(zhì)向硅片內(nèi)部擴(kuò)散，但不讓新的雜質(zhì)通過(guò)硅片，這就是所謂的限定源擴(kuò)散。的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界