2.4　線段、角的軸對(duì)稱性（1）（分層練習(xí)）解析版

2.4線段、角的軸對(duì)稱性（1）分層練習(xí)考查題型一線段垂直平分線的性質(zhì)1.(2022·遼寧省·單元測(cè)試)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA=4，則線段PB的長(zhǎng)度為(

)

A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C

【解析】由直線CD是線段AB的垂直平分線可以得到PB=PA，而已知線段PA=4，由此即可求出線段PB的長(zhǎng)度．

【詳解】解：∵直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，

∴PB=PA，

而已知線段PA=4，

∴PB=4．

故選C．

2.(2023·全國(guó)·單元測(cè)試)如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為(

)

A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm【答案】C

【解析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)DE是AB的垂直平分線，得AD=BD，所以CD+BD=CD+AD=AC，再由三角形周長(zhǎng)公式即可求得答案．

【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD．

∵AC=20cm，

∴AD+CD=20cm，

∴BD+CD=20cm．

∵△DBC的周長(zhǎng)為35cm，∴BD+CD+BC=35cm，

∴BC=15cm．

故選C．3.(2023·湖南省·單元測(cè)試)如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為6，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+CP的最小值(

)

A.10 B.6 C.4 D.2【答案】B

【解析】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，正確把握垂直平分線的性質(zhì)及軸對(duì)稱-最短路線問題是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，BP+CP的值最小，即可得到結(jié)論．

【詳解】解：∵EF垂直平分AB，

∴A、B關(guān)于EF對(duì)稱，

如圖，設(shè)AC交EF于點(diǎn)D，連接AP，

∴AP=BP，即BP+CP=AP+PC，

∴當(dāng)P和D重合時(shí)，BP+CP的值最小，最小值等于AC的長(zhǎng)，

∴BP+CP的最小值=6．

故選B．

4.(2023·廣東省深圳市·月考試卷)如圖所示，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AB和AC，交BC于點(diǎn)D，E，若△ADE的周長(zhǎng)為19cm，則BC=______．【答案】19cm

【解析】由題意可知DA=DB，EA=EC，再由△ADE的周長(zhǎng)，即可推出BC．【詳解】解：∵邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，

∴DA=DB，EA=EC，

∵AD+AE+DE=19cm，

∴BD+EC+DE=19cm，即BC=19cm．

故答案為：19cm．5.(2023·山西省忻州市·模擬題)如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，若△EDC的周長(zhǎng)為24，△ABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)差為12，則線段DE的長(zhǎng)為__________.

【答案】6

【解析】運(yùn)用線段垂直平分線定理可得BE=CE，再根據(jù)已知條件“△EDC的周長(zhǎng)為24，△ABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12”表示出線段之間的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)立關(guān)系式后求解．

【解析】解：∵DE是BC邊上的垂直平分線，

∴BE=CE．

∵△EDC的周長(zhǎng)為24，

∴ED+DC+EC=24，①

∵△ABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12，

∴(AB+AC+BC)-(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)-(AE+DC+AC)-DE=12，

∴BE+BD-DE=12，②

∵BE=CE，BD=DC，

∴①-②得，2DE=12，

∴DE=6．

故答案為：6．

6.(2023·廣東省茂名市·月考試卷)如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．

(1)若△CMN的周長(zhǎng)為15cm，求AB的長(zhǎng)；

(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【解析】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)．【答案】解：(1)∵DM，EN分別垂直平分AC和BC，

∴AM=CM，BN=CN，

∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN

=AM+BN+MN

=AB，

∵△CMN的周長(zhǎng)為15cm，

∴AB=15(cm)

即AB的長(zhǎng)為15cm；

(2)∵∠MFN=70°，

∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°，

∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°，

∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°，

∵AM=CM，BN=CN，

∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，

∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)

=180°-2×70°

=40°．

7.(2023·山東省·模擬題)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F．

(1)求證：BE=CG；(2)判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，本題中求證△BDE≌△CDG，得出BE=CG是解題的關(guān)鍵．

(1)先利用ASA判定△BDE≌△CDG，從而得出BE=CG；

(2)先連接FG，再利用全等的性質(zhì)可得DE=DG，再根據(jù)DF⊥GE，從而得出FG=EF，依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出BE+CF>EF．【詳解】解：(1)∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∵AB//CG，

∴∠B=∠DCG，

又∵∠BDE=∠CDG，

∴△BDE≌△CDG，

∴BE=CG；

(2)BE+CF>EF.理由：

如圖，連接FG，

∵△BDE≌△CDG，

∴DE=DG，

又∵FD⊥EG，

∴FD垂直平分EG，

∴EF=GF，

又∵△CFG中，CG+CF>GF，

∴BE+CF>EF．

8．（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容.線段垂直平分線我們已知知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直一部分線是線段的對(duì)稱軸，如圖直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，將線段AB與直線MN對(duì)稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此都有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等.已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.分析：圖中的兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證明PA=PB（請(qǐng)寫出完整的證明過程）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程，定理應(yīng)用.（1）如圖②，在ΔABC中，直線l、m、n分別是邊AB、BC、AC的垂直平分線.求證：直線l、m、n交于點(diǎn).（2）如圖③，在ΔABC中，AB=BC，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，若∠ABC=120°，AC=18，則DE的長(zhǎng)為_______.

【答案】教材呈現(xiàn)：詳見解析；定理應(yīng)用：（1）詳見解析；（2）6.【解析】教材呈現(xiàn)：∠PCA=∠PCB=90°.AC=BC,PC=PC.得到ΔPAC?ΔPBC，從而PA=PB.定理應(yīng)用：（1）連結(jié)AO、BO、CO．設(shè)直線l、m交于點(diǎn)O．因?yàn)橹本€l是邊AB的垂直平分線，所以O(shè)A=OB.

又因直線m是邊BC的垂直平分線，OB=OC.得到OA=OC.點(diǎn)O在邊AC的垂直平分線n上．得到直線l、m、n交于點(diǎn)O．（2）連接BD，BF，易知AD=DB，BE=EC；又因?yàn)椤螦=∠C=30°，得到∠DBE=60°，所以∠ABD=30°，得到∠BDE=60°，所以△BED為等邊三角形，所以DE=AC=6【詳解】教材呈現(xiàn)：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC.

∴ΔPAC?∴PA=PB.圖①

圖②定理應(yīng)用：（1）連結(jié)AO、BO、CO．設(shè)直線l、m交于點(diǎn)O．∵直線l是邊AB的垂直平分線，∴OA=OB.

又∵直線m是邊BC的垂直平分線，∴OB=OC.∴OA=OC.∴點(diǎn)O在邊AC的垂直平分線n上．∴直線l、m、n交于點(diǎn)O．（2）如圖3，連接BD,BF由第一問可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE∵AB=AC∴∠A=∠C∵∠ABC=120°∴∠A=∠C=30°∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°∴△DBE是等邊三角形∴DB=BE=DE∴AD=DE=EC∴DE=AC=6考查題型二線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用1．(2023·山東省·單元測(cè)試)如圖，有A，B，C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在()A．AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處C．AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 D．∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處【答案】C【解析】要求到三個(gè)小區(qū)的距離相等，首先考慮到A小區(qū)、B小區(qū)的距離相等，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知滿足條件的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)距離相等的點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，于是到三個(gè)小區(qū)距離相等的點(diǎn)應(yīng)是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，又因?yàn)槿切稳叺拇怪逼椒志€相交于一點(diǎn)，所以答案可得．【詳解】解：如圖所示，分別作AC，BC兩邊垂直平分線MN，PQ交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，∵M(jìn)N，PQ是AC，BC兩邊垂直平分線，∴OA=OB=OC，∴點(diǎn)O是到三個(gè)小區(qū)的距離相等的點(diǎn)，即點(diǎn)O是AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：C．2．（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A、B．要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．（1）若要使水廠到A、B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（2）若要使水廠到A、B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【解析】（1）欲求到A、B兩地的距離相等，即作出AB的中垂線與EF的交點(diǎn)M即可，交點(diǎn)即為廠址所在位置．（2）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出A點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，再連接A′B交EF于點(diǎn)N，即可得出答案．【詳解】解：（1）作出AB的中垂線與EF的交點(diǎn)M，交點(diǎn)M即為廠址所在位置；（2）如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，再連接A′B交EF于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求．3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊(duì)從A處出發(fā)，先到公路m上設(shè)卡檢查，再到公路n上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)B地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明做法．【解析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作A關(guān)于公路m的對(duì)稱點(diǎn)A'，作B關(guān)于公路n的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'與公路m，n分別相交于點(diǎn)M、N，然后沿A→M【詳解】解：如圖所示，分別作A、B關(guān)于公路m、n的對(duì)稱點(diǎn)A'、B'，連接B'交m、n于M、N兩點(diǎn)，連接AM、BN，則A→M→N→4．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市華僑中學(xué)校考期中）如圖是舞臺(tái)站位示意圖，在正方形網(wǎng)格的區(qū)域就是舞臺(tái)區(qū)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為2米，A、B、C表示三名舞蹈演員在格點(diǎn)的站位，在網(wǎng)格中形成△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖中標(biāo)出B、C關(guān)于舞臺(tái)中軸線對(duì)稱點(diǎn)B1、C1；（要求B與B1，C(2)若有一名舞蹈演員（站在格點(diǎn)上）到點(diǎn)A，B兩位舞蹈演員的距離相等，滿足條件的位置圖中有__________個(gè)（可以包含C）；(3)為了表演需要在舞臺(tái)上的中軸線上找到一個(gè)位置Q，使得該位置到演員A和C距離和最短，你能用你所學(xué)的知識(shí)找到Q的位置嗎？請(qǐng)將Q點(diǎn)畫在圖上．【答案】(1)見解析(2)4(3)見解析【解析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可；（2）畫出AB的垂直平分線，數(shù)出其與格點(diǎn)的交點(diǎn)即可；（3）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，即可找出點(diǎn)Q．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）畫出AB的垂直平分線，在格點(diǎn)上的點(diǎn)有P1,P故答案為：4．（3）如圖所示：∵AQ+CQ>AC，∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，該位置到演員A和C距離和最短．(2023·湖南省永州市·模擬題)如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△AEF

的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠EAF

的度數(shù)為(

)

A.60° B.70° C.80° D.90°【答案】C

【解析】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．

根據(jù)要使△AEF的