專題提升02 角平分線有關(guān)的全等證明模型（原卷版）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十二章全等三角形12.3三角形全等的重要模型角平分線有關(guān)的全等證明模型學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)利用角平分線構(gòu)造全等三角形證明和計(jì)算；2、提高推理能力，獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。老師對(duì)你說(shuō)：全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型--角平分線模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等是證線段相等或角相等的重要依據(jù),在解題過(guò)程中若不能直接運(yùn)用,則需要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，若已知條件中存在角平分線可利用角平分線條件作輔助線構(gòu)造全等三角形進(jìn)而解決問(wèn)題。模型一過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線。過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC于點(diǎn)F△BED≌△BFD（AAS）方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點(diǎn)，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長(zhǎng)線上。目的：構(gòu)造一組全等三角形【例1-1】如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【例1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【例1-3】如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系.針對(duì)性訓(xùn)練11.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求證DE＝DF．2.已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長(zhǎng)．模型2截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形截長(zhǎng)補(bǔ)短在BC在截取BF=BE延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使BF=AE△BED≌△BFD（SAS）△BED≌△BFD（SAS）【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請(qǐng)證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明．【例2-2】已知：如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD．【例2-3】如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．針對(duì)性訓(xùn)練21.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．鞏固提高1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且∠EBF=60°，求證：EF=AE+CF。2．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．3．（1）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問(wèn)（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有DC＝DA+DB，在此過(guò)程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．5.已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．6.如圖①，是四邊形的一個(gè)外角，//，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，垂足為．(1)求證：①平分；②．(2)如圖②，若，，．求的度數(shù)．7.已知：在四邊形中，于E，且．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)