培優(yōu)專題26相似三角形的一線三等角模型-解析版

培優(yōu)專題26相似三角形的一線三等角模型【專題講解】1.常見基本類型：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型2.模型構(gòu)造圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.圖中某直線上只存在1個角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.如果直線上只有1個角，要補(bǔ)成“一線三等角”時，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構(gòu)造特殊角的等角時，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形?！耙痪€三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對應(yīng)成比例求解長度3.構(gòu)造步驟：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特別地：當(dāng)tanα=1/2、1/3等特定值時，α也可以是特殊角；定線——通常以“水平線”或者“豎直線”為“一線三等角”中的“一線”；特殊角度時也可以是45°等傾斜直線；構(gòu)相似——通常以“特殊角”為“中間角”，過“中間角”的兩邊與“一線”的交點構(gòu)造兩個含特殊角的Rt△；例：如右圖，當(dāng)∠ABP=45°時，∵∠ABP在y軸上，∴在y軸上分別構(gòu)造兩個等腰直角三角形△AOE，△PHG，則在y軸上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴4.模型特例——K型圖（三垂定理）性質(zhì)：性質(zhì)：普通”K型圖”可得左右兩個△相似，即△1∽△2【當(dāng)AB=BC時，△1≌△2】中點型”K型圖”亦可得三個△兩兩相似，即當(dāng)BD=BE時，△1∽△2∽△3以上性質(zhì)反之亦成立，即也可用于證明中點或角相等或線垂直。應(yīng)用：當(dāng)一個直角放在一條直線上時，通常要構(gòu)造“K型圖”解題當(dāng)一個直角放在平面直角坐標(biāo)系中時，亦常構(gòu)造“K型圖”解題由“K型圖”得到的相似比，基本都可以轉(zhuǎn)化成“特定角”的正切值來計算“K型圖”常和“A字圖”或“8字圖”類的平行相似結(jié)合在一起求長度“K型圖”常見構(gòu)造方法：過直角訂單分別作水平或豎直的直線，再過直角兩邊頂點分別作直線的垂線。如圖：【專題訓(xùn)練】1．（2020·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過C作CE⊥x軸于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABO，進(jìn)而得出△BCE∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：過C作CE⊥x軸于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，頂點A在反比例函y＝（x＞0）上運(yùn)動，此時頂點B也在反比例函數(shù)y＝上運(yùn)動，則m的值為(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18【答案】A【分析】根據(jù)∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA與OB的比，設(shè)出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出點A的坐標(biāo)，可得ab的值，進(jìn)而求出m的值．【詳解】解：過A、B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°=，∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠OBN=∠AOM，∵∠BNO=∠AMO=90°，∴△BNO∽△OMA，∴，∴設(shè)ON=a，BN=b，則AM=，OM=，∴B（-a，b），A（，），∵點A在反比例函數(shù)y＝上，則×=3，∴ab=9，∵點B在反比例函數(shù)y＝上，∴-a×b=m=-9，故選A.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)是解答前提的關(guān)鍵．3．（2021·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長為4，邊BC上有一點E，以DE為邊作矩形EDFG，使FG過點A，則矩形EDFG的面積是（）A．16 B．8 C．8 D．16【答案】D【分析】先利用等角的余角證明∠ADF＝∠EDC，再根據(jù)相似三角形的判定方法證明△ADF∽△CDE，然后利用相似比計算DF與DE的關(guān)系式，最后根據(jù)矩形的面積公式求得矩形的面積便可..【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∵四邊形EDFG為矩形，∴∠EDF＝∠F＝90°，∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC，∴△ADF∽△CDE，∴，即，∴DF＝，∴矩形EDFG的面積為：DE?DF＝DE?＝16．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積是解題重要一步．4．（2020·重慶九年級階段練習(xí)）如圖，點是正兩邊上的點，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在邊上，當(dāng)時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比和折疊的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】解：設(shè)AF=x，∵為等邊三角形，∴AC=AB=BC=4x,∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x∵翻折得到，∴BD=FD,BE=FE,∠B=∠DFE=60°，∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，∴∠AFD=∠CEF，∴，．故選：D【點睛】本題難度較大，根據(jù)題意找到“一線三等角”相似模型，理解相似三角形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵．5．（2020·重慶九年級階段練習(xí)）如圖，點是雙曲線在第一象限分支上的一個動點，連接并延長交另一分支于點，以為邊作等邊，點在第二象限，隨著點的運(yùn)動，點的位置也不斷變化，但點始終在雙曲線上運(yùn)動，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，易證，．由想到構(gòu)造型相似，過點作軸，垂足為，過點作軸，垂足為，可證．從而得到相似比為1∶，則面積比為1∶3．由雙曲線得△AOE面積為1，得△OCF面積為3，根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義可得【詳解】解：雙曲線關(guān)于原點對稱，點與點關(guān)于原點對稱．．連接，如圖所示．是等邊三角形，，，，，．過點作軸，垂足為，過點作軸，垂足為，，，，，，，相似比為1∶，∴．點在雙曲線上，∴，∴，雙曲線在第二象限，．故選：．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，其中涉及到等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點與坐標(biāo)之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識，有一定的難度．由聯(lián)想到構(gòu)造型相似是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點F落在邊BC上，且時，的值為______．【答案】【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對稱，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對稱圖形對應(yīng)點的連線,DE為對稱軸，可得DE⊥AF，根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進(jìn)而可求．【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對稱，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，設(shè)CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF為軸對稱圖形對應(yīng)點的連線,DE為對稱軸，∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案為:．【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質(zhì)，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質(zhì)：對角線互相垂直的四邊形的面積＝對角線乘積的一半．7．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．【答案】2.4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2019·浙江·九年級期末）已知是等邊三角形，，點D，E，F(xiàn)點分別在邊上，，同時平分和，則的長為_____．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，同時平分和，，，在與中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．10．（2021··九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的對角線，相交于點，，為上一點，，連接，過點作于點，與交于點，則的長是______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明得到，即可求出答案.【詳解】解：四邊形是正方形，，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，，，即，，，，，解得故答案為：.【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并運(yùn)用各知識點是解題的關(guān)鍵.11．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作，交射線DC于點E，已知，．設(shè)AP的長為x．(1)___________；當(dāng)時，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．【答案】(1),(2)為定值，(3)或【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解決問題；（2）結(jié)論：的值為定值．證明方法類似（1）；（3）分兩種情形討論求解即可解決問題；（1）解：作于交于．四邊形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案為4，．（2）結(jié)論：的值為定值．理由：由，可得．，，，，；（3）①當(dāng)點在線段上時，連接交于．，所以只能，，，，，垂直平分線段，在中，，，，，．②當(dāng)點在的延長線上時，設(shè)交于．，所以只能．，，，，，，，綜上所述，的值為或4．【點睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．12．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．【答案】(1)等邊三角形(2)(3)4【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實現(xiàn)；（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．(1)∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，，∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．(2)過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，，在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝2，BE＝2，∴EH＝BE?PE÷BP＝，∴S△GBE＝；(3)∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．∴＝，解得：x＝2或4．當(dāng)x＝2時，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，過E作EH⊥BC于H，則EH＝BE?sin∠B＝2，BH＝2，∴PH＝0，即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；當(dāng)x＝4時，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，則△BEP是等邊三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．13．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．14．（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進(jìn)修九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．【詳解】解：當(dāng)時，即：，