新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第4部分 高考22題逐題特訓(xùn) 小題滿(mǎn)分練3 （含解析）

小題滿(mǎn)分練3一、單項(xiàng)選擇題1．若集合M＝{x|x<3}，N＝{x|x2>4}，則M∩N等于()A．(－2,3) B．(－∞，－2)C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2,3)答案D解析∵N＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M∩N＝(－∞，－2)∪(2,3)．2．(2020·全國(guó)Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，則|z|等于()A．0B．1C.eq\r(2)D．2答案C解析∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).3．已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，且|b＋a|＝2，則向量a與b的夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),8)D.eq\f(\r(2),4)答案D解析由題意可知，|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝eq\f(1,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).4．(2020·全國(guó)Ⅰ)已知圓x2＋y2－6x＝0，過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A．1B．2C．3D．4答案B解析圓的方程可化為(x－3)2＋y2＝9，故圓心的坐標(biāo)為C(3,0)，半徑r＝3.如圖，記點(diǎn)M(1,2)，則當(dāng)MC與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度最小，此時(shí)|MC|＝2eq\r(2)，弦的長(zhǎng)度l＝2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(9－8)＝2.5．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)，即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，所以t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為()A．4B．16C．9D．3答案B解析因?yàn)閍>0，b>0，所以由eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，得m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))(3a＋b)＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)恒成立，因?yàn)閑q\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥16，所以m≤16，即m的最大值為16.7．已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，直線x＝a與C的交點(diǎn)為A，B(B在A的下方)，直線x＝a與C的一條漸近線的交點(diǎn)D在第一象限，若eq\f(|AB|,|BD|)＝eq\f(4,3)，則C的離心率為()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(1＋\r(17),4)D.eq\r(7)答案B解析將x＝a代入eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，得y2＝eq\f(a2c2,b2)，即y＝±eq\f(ac,b)，則|AB|＝eq\f(2ac,b).將x＝a代入y＝eq\f(a,b)x，得y＝eq\f(a2,b)，則|BD|＝eq\f(ac,b)＋eq\f(a2,b).因?yàn)閑q\f(|AB|,|BD|)＝eq\f(4,3)，所以eq\f(2ac,ac＋a2)＝eq\f(4,3)，即eq\f(2e,e＋1)＝eq\f(4,3)，解得e＝2.8．(2020·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1，若?x1∈[a，b]，?x2∈[a，b]，使得f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，則b－a的最大值為()A．2B．3C．4D．6答案C解析令f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，易得當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，令f(x)＝3，解得x＝－1或x＝2，令f(x)＝－1，解得x＝1或x＝－2，由圖象可知，b－a的最大值為2－(－2)＝4.二、多項(xiàng)選擇題9．空氣質(zhì)量指數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)：AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無(wú)量綱指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：[0,50)為優(yōu)，[50,100)為良，[100,150)為輕度污染，[150,200)為中度污染，[200,250)為重度污染，[250,300]為嚴(yán)重污染．下面記錄了北京市22天的空氣質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)圖表，下列結(jié)論正確的是()A．在北京這22天的空氣質(zhì)量中，按平均數(shù)來(lái)考查，最后4天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)于最前面4天的空氣質(zhì)量B．在北京這22天的空氣質(zhì)量中，有3天達(dá)到污染程度C．在北京這22天的空氣質(zhì)量中，12月29日空氣質(zhì)量最差D．在北京這22天的空氣質(zhì)量中，達(dá)到空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)有7天答案ABC解析因?yàn)?7>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京這22天的空氣質(zhì)量中，按平均數(shù)來(lái)考察，最后4天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)于最前面4天的空氣質(zhì)量，即選項(xiàng)A正確；AQI不低于100的數(shù)據(jù)有3個(gè)：143,225,145，所以在北京這22天的空氣質(zhì)量中，有3天達(dá)到污染程度，即選項(xiàng)B正確；因?yàn)?2月29日的AQI為225，為這22天中AQI的最大值，所以該天的空氣質(zhì)量最差，即選項(xiàng)C正確；AQI在[0,50)內(nèi)的數(shù)據(jù)有6個(gè)：36,47,49,48,29,45，即達(dá)到空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)有6天，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．10．(2020·山東新高考名校聯(lián)考)某班期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分150分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中分組區(qū)間為[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根據(jù)頻率分布直方圖，判斷下列說(shuō)法正確的是()A．估計(jì)本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為114.8分B．估計(jì)本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為115分C．估計(jì)本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為114分D．本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)110分以上的人數(shù)等于110分以下的人數(shù)答案ABC解析由頻率分布直方圖可知，本次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A正確；由圖易知本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為115分，B正確；前三組的頻率和為(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位數(shù)應(yīng)落在[110,120)之間，中位數(shù)為110＋eq\f(0.5－0.34,0.36)×10≈114(分)，C正確；因?yàn)?.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)多于110分以下的人數(shù)．11．將函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說(shuō)法正確的是()A．最大值為eq\r(3)，圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)B．圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．最小正周期為πD．圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對(duì)稱(chēng)答案BCD解析將函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝eq\r(3)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))－1＝eq\r(3)cos(2x＋π)－1＝－eq\r(3)cos2x－1的圖象；再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)＝－eq\r(3)cos2x的圖象，對(duì)于函數(shù)g(x)，它的最大值為eq\r(3)，由于當(dāng)x＝eq\f(π,12)時(shí)，g(x)＝－eq\f(3,2)，不是最值，故g(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；由于該函數(shù)為偶函數(shù)，故它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故B正確；它的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π，故C正確；當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，g(x)＝0，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對(duì)稱(chēng)，故D正確．12．(2020·濟(jì)南質(zhì)量評(píng)估)若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足2a＋3a＝3b＋2b，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．0<a<b<1 B．b<a<0C．1<a<b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析設(shè)f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均為增函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)<g(x)；x∈(0,1)時(shí)，f(x)>g(x)；x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)<g(x)．由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，則b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a＝b.三、填空題13.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)－3x))5的展開(kāi)式中xy2的系數(shù)為_(kāi)_______．答案－270解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)－3x))5的展開(kāi)式中xy2的項(xiàng)為Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2×(－3x)3＝－270xy2，故其系數(shù)為－270.14.在如圖所示的圖形中，每個(gè)三角形上各有一個(gè)數(shù)字，若六個(gè)三角形上的數(shù)字和為20，則稱(chēng)該圖形是“和諧圖形”．已知其中四個(gè)三角形上的數(shù)字之和為14.現(xiàn)從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)在另外兩個(gè)三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,5)解析由題意可知，若該圖形為“和諧圖形”，則另外兩個(gè)三角形上的數(shù)字之和恰為20－14＝6.從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字的所有情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，而其中數(shù)字之和為6的情況有(1,5)，(2,4)，共2種，所以所求概率P＝eq\f(1,5).15．在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝BD＝2，E為CD的中點(diǎn)，若異面直線AC與BE所成的角為60°，則BC＝________.答案2解析取AD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，如圖所示，則EF∥AC，∠BEF為異面直線AC與BE所成的角，所以∠BEF＝60°.設(shè)BC＝x，則BE＝EF＝eq\f(\r(x2＋4),2)，BF＝eq\r(2)，從而△BEF為等邊三角形，則eq\f(\r(x2＋4),2)＝eq\r(2)，解得x＝2.故BC＝2.16．定義p(n)為正整數(shù)n的各位數(shù)字中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1714)＝3.在等差數(shù)列{an}中，a2＝9，a10＝25，則an＝________，數(shù)列{p(an)}的前100項(xiàng)和為_(kāi)_______．答案2n＋5227解析因?yàn)閍2＝9，a10＝25，所以公差為d＝