第二章2 3二次與冪函數(shù)2 3

§2.3二次函數(shù)與冪函數(shù)高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,7,5分)已知a=

,b=

,c=2

,則

()A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

A

a=

=

,c=2

=

,而函數(shù)y=

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以

<

<

,即b<a<c,故選A.評(píng)析本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì),屬中等難度題.B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一二次函數(shù)1.(2017浙江,5,4分)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m

()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)

B.與a有關(guān),但與b無(wú)關(guān)C.與a無(wú)關(guān),且與b無(wú)關(guān)

D.與a無(wú)關(guān),但與b有關(guān)答案

B本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合思想和分類

討論思想.解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m與b無(wú)關(guān).又a=1時(shí),g(x)max-g(x)min=2,a=2時(shí),g(x)max-g(x)min=3,故M-m與a有關(guān).故選B.解法二:(1)當(dāng)-

≥1,即a≤-2時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)當(dāng)

≤-

<1,即-2<a≤-1時(shí),M=f(0),m=f

,從而M-m=f(0)-f

=b-

=

a2.(3)當(dāng)0<-

<

,即-1<a<0時(shí),M=f(1),m=f

,從而M-m=f(1)-f

=

a2+a+1.(4)當(dāng)-

≤0,即a≥0時(shí),f(x)在[0,1]上為增函數(shù),∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=

∴M-m與a有關(guān),與b無(wú)關(guān).故選B.2.(2016浙江,6,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+bx,則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A記g(x)=f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx)=

-

=

-

.當(dāng)b<0時(shí),-

+

<0,即當(dāng)

-

+

=0時(shí),g(x)有最小值,且g(x)min=-

,又f(x)=

-

,所以f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等,都為-

,故充分性成立.另一方面,當(dāng)b=0時(shí),f(f(x))的最小值為0,也與f(x)的最小值相等,故必要性不成立.選A.3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤

,則實(shí)數(shù)a的最大值是

.答案

解析本題考查絕對(duì)值不等式的解法及二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識(shí);以三次函數(shù)為背景,對(duì)不

等式化簡(jiǎn)變形,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,將不等式有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域(最值)問題,考查學(xué)

生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想;突出考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).|f(t+2)-f(t)|≤

?|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|≤

?|6at2+12at+8a-2|≤

?|3at2+6at+4a-1|≤

?-

≤3at2

+6at+4a-1≤

?

≤a(3t2+6t+4)≤

,∵3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,則需a>0,故a(3t2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩

≠?即可,∴0<a≤

,故a的最大值為

.疑難突破能夠?qū)⒃^對(duì)值不等式化繁為簡(jiǎn),將問題簡(jiǎn)化為一元二次不等式有解問題,再進(jìn)一

步轉(zhuǎn)化為值域交集非空是求解本題的關(guān)鍵.4.(2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是

.答案

解析解法一:由題意知,y=1-x,∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,則x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2

+

.當(dāng)x=

時(shí),x2+y2取最小值

,當(dāng)x=0或x=1時(shí),x2+y2取最大值1,∴x2+y2∈

.解法二:由題意可知,點(diǎn)(x,y)在線段AB上(如圖),x2+y2表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)的距離的平方.x2+y2的最小值為原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離的平方,即

=

,又易知(x2+y2)max=1,∴x2+y2∈

.5.(2015福建,16,4分)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可

適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于

.答案9解析依題意有a,b是方程x2-px+q=0的兩根,則a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由題意可知

ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,將a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此時(shí)a+b=5,將b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此時(shí)a+b=5,

則p=5,故p+q=9.評(píng)析本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.6.(2015浙江,20,15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)當(dāng)b=

+1時(shí),求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表達(dá)式;(2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn),0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.解析(1)當(dāng)b=

+1時(shí),f(x)=

+1,故對(duì)稱軸為直線x=-

.當(dāng)a≤-2時(shí),g(a)=f(1)=

+a+2.當(dāng)-2<a≤2時(shí),g(a)=f

=1.當(dāng)a>2時(shí),g(a)=f(-1)=

-a+2.綜上,g(a)=

(2)設(shè)s,t為方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,則

由于0≤b-2a≤1,因此

≤s≤

(-1≤t≤1).當(dāng)0≤t≤1時(shí),

≤st≤

,由于-

≤

≤0和-

≤

≤9-4

,所以-

≤b≤9-4

.當(dāng)-1≤t<0時(shí),

≤st≤

,由于-2≤

<0和-3≤

<0,所以-3≤b<0.故b的取值范圍是[-3,9-4

].評(píng)析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推

理論證能力,分類討論等分析問題和解決問題的能力,屬較難題.7.(2015廣東,21,14分)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a≥2時(shí),討論f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解析(1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.當(dāng)a≤0時(shí),f(0)=0≤1對(duì)于任意的a≤0恒成立;當(dāng)a>0時(shí),f(0)=2a,令2a≤1,解得0<a≤

.綜上,a的取值范圍是

.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R.由已知得,f(x)=

則f'(x)=

當(dāng)x≤a時(shí),f'(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減;當(dāng)x>a時(shí),f'(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,所以f(x)在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.(3)令h(x)=f(x)+

,由(2)得,h(x)=

則h'(x)=

當(dāng)0<x≤a時(shí),h'(x)=2x-(2a+1)-

=2(x-a)-1-

<0,所以h(x)在區(qū)間(0,a]上單調(diào)遞減;當(dāng)x>a時(shí),因?yàn)閍≥2,所以x>2,所以0<

<1,所以h'(x)=2(x-a)+

>0,所以h(x)在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閔(1)=4>0,h(2a)=2a+

>0,1)若a=2,則h(a)=-a2+a+

=-4+2+2=0,此時(shí)h(x)在(0,+∞)上有唯一一個(gè)零點(diǎn);2)若a>2,則h(a)=-a2+a+

=-

=-

<0,此時(shí)h(x)在區(qū)間(0,a)上和(a,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn),共兩個(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)a=2時(shí),f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>2時(shí),f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)二冪函數(shù)(2018上海,7,5分)已知α∈

.若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,則α=

.答案-1解析本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).∵冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上遞減,∴α<0,故α=-1.規(guī)律方法冪函數(shù)y=xα的性質(zhì)及圖象特征:①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);②如果α>0,則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù);③如果α<0,則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù);④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù).考點(diǎn)一二次函數(shù)C組

教師專用題組1.(2014北京,8,5分)加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用

率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),

下圖記錄了三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為

(

)

A.3.50分鐘

B.3.75分鐘C.4.00分鐘

D.4.25分鐘答案

B由已知得

解得

∴p=-0.2t2+1.5t-2=-

+

,∴當(dāng)t=

=3.75時(shí)p最大,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.故選B.評(píng)析本題主要考查二次函數(shù)及配方法求最值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用待定系數(shù)法求

出a,b,c是解題關(guān)鍵.2.(2013遼寧,12,5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小

值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=

()A.a2-2a-16

B.a2+2a-16

C.-16

D.16答案

C

f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)

與g(x)的圖象如圖.

由圖及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值為g(a-2),A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.3.(2013重慶,15,5分)設(shè)0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立,則α的取值范圍

為

.答案

∪

解析由8x2-(8sinα)x+cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立,得Δ=(-8sinα)2-4×8cos2α≤0,即64sin2α-32(1-2sin2α)≤0,得到sin2α≤

,∵0≤α≤π,∴0≤sinα≤

,∴0≤α≤

或

≤α≤π,即α的取值范圍為

∪

.評(píng)析本題考查了一元二次不等式恒成立問題,以及二倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì),考查了運(yùn)

算求解能力.解三角不等式出錯(cuò)是失分的主要原因.考點(diǎn)一二次函數(shù)三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019遼寧部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,3)函數(shù)y=1-|x-x2|的圖象大致是

()

答案

C當(dāng)x=-1時(shí),y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,當(dāng)x=2時(shí),y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故選C.2.(2017陜西西安長(zhǎng)安大聯(lián)考(一))已知函數(shù)f(x)=-x2+4x(x∈[m,5])的值域是[-5,4],則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是

()A.(-∞,-1)

B.(-1,2]

C.[-1,2]

D.[2,5]答案

C

f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,當(dāng)x=2時(shí),f(x)取最大值,f(x)max=f(2)=4,令f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,要使函數(shù)在[m,5]上的值域是[-5,4],則-1≤m≤2,故選C.3.(2019遼寧部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,6)已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有兩個(gè)正根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是

()A.m<-2

B.m≤-4

C.m>-5

D.-5<m≤-4答案

D因?yàn)榉匠蘹2+(m+2)x+m+5=0有兩個(gè)正根,所以

所以

所以-5<m≤-4,選D.4.(2018遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中等校期末聯(lián)考,15)已知函數(shù)f(x)=x2+x+m,若|f(x)|在區(qū)間[0,1]上

單調(diào),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.答案(-∞,-2]∪[0,+∞)解析二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=-

.因?yàn)楹瘮?shù)|f(x)|在區(qū)間[0,1]上單調(diào),所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),Δ=1-4m≤0或

解之得m≥0.當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí),

解之得m≤-2.綜上可得,m的取值范圍為(-∞,-2]∪[0,+∞).5.(2017甘肅蘭州西北師大附中一調(diào)(節(jié)選))已知函數(shù)g(x)=x2-bx+4,則g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小

值g(b)的表達(dá)式為

.答案

g(b)=

解析當(dāng)

≤1,即b≤2時(shí),g(x)min=g(1)=5-b;當(dāng)1<

≤2,即2<b≤4時(shí),g(x)min=g

=4-

;當(dāng)

>2,即b>4時(shí),g(x)min=g(2)=8-2b.∴g(b)=

1.(2018吉林四平質(zhì)檢)設(shè)a∈

,則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a的值為

()A.1,3

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3考點(diǎn)二冪函數(shù)答案

A當(dāng)a=-1時(shí),y=x-1的定義域是x≠0,且為奇函數(shù);當(dāng)a=1時(shí),y=x的定義域是R且為奇函數(shù);

當(dāng)a=

時(shí),函數(shù)y=

的定義域是{x|x≥0},且為非奇非偶函數(shù);當(dāng)a=3時(shí),y=x3的定義域是R,且為奇函數(shù),則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a的值為1,3,故選A.2.(2018重慶綦江聯(lián)考)函數(shù)y=

的圖象是

()

答案

C函數(shù)y=

可化為y=x3,當(dāng)x=

時(shí),求得y=

<

,選項(xiàng)B,D不合題意,可排除選項(xiàng)B,D;當(dāng)x=2時(shí),求得y=8>1,選項(xiàng)A不合題意,可排除選項(xiàng)A,選C.3.(2018寧夏銀川一中第五次月考)已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖象上,設(shè)a=f

,b=f(lnπ),c=f

,則a,b,c的大小關(guān)系為

()A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.b<a<c答案

A∵點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖象上,∴

解得

∴f(x)=x3,易知f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,又

<

<1<lnπ,∴a<c<b,故選A.4.(2017遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校一模(節(jié)選))已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則m的值為

.答案0解析依題意知(m-1)2=1,則m=0或m=2,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x-2,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,與題設(shè)矛盾(舍去);當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x2,在(0,+∞)上單調(diào)遞

增,滿足題意.∴m=0.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時(shí)間:25分鐘分值:40分）一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2019甘肅蘭州一中月考,4)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)·

是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上遞減,則實(shí)數(shù)m=

()A.2

B.-1

C.4

D.2或-1答案

A根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì),得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),符合題意;當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是減函數(shù),所以m=2,故選A.2.(2019遼寧第一次聯(lián)考,3)設(shè)函數(shù)f(x)=

,若f(a)>f(b),則

()A.a2>b2

B.a2<b2

C.a<b

D.a>b答案

A函數(shù)f(x)=

=(x2

,令t=x2,易知y=

在第一象限為單調(diào)遞增函數(shù).又f(a)>f(b),所以a2>b2.故選A.3.(2019陜西第二次質(zhì)量檢測(cè),7)已知點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn的圖象上,設(shè)a=f

,b=f(20.2),c=F

,則a、b、c的大小關(guān)系為

()A.b>a>c

B.a>b>cC.c>b>a

D.b>c>a答案

A因?yàn)辄c(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn的圖象上,所以8=2n,解得n=3,易知函數(shù)f(x)=x3在R上遞增,因?yàn)?<

<

=1,20.2>20=1,log2

<log21=0,所以log2

<

<20.2,所以f

<f

<f(20.2),即b>a>c,故選A.4.(2019東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長(zhǎng)春十一中等聯(lián)合模擬)已知a=

,b=

,c=

,則

()A.b<a<c

B.a<b<cC.a<c<b

D.c<a<b答案

C

a=3

,c=

=8

,∵y=

在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴a<c.b=

,c=

=

,∵y=3x在R上單調(diào)遞增,∴c<b.綜上,a<c<b,故選C.5.(2019甘肅、青海、寧夏聯(lián)考,15)若函數(shù)f(x)=mx2+(n-1)x+2(m>0,n>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為

,則

+

的最小值為

.二、填空題(每小題5分,共10分)答案4解析

f(x)的對(duì)稱軸為x=-

=

,故m+n=1,所以

+

=

(m+n)=2+

+

≥2+2

=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

時(shí)等號(hào)成立,從而

+

的最小值為4.6.(2019重慶(區(qū)縣)調(diào)研測(cè)試,15)已知函數(shù)f(x)=-2x2+mx+3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值為4,則m

的值為

.答案2

解析

f(x)=-2x2+mx+3=-2

+

+3,∵0≤m≤4,∴0≤

≤1,∴當(dāng)x=

時(shí),f(x)取得最大值,∴

+3=4,解得m=2

.7.(2019遼寧第一次聯(lián)考,17)已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2

(m∈R)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(1)求m的值及f(x)的解析式;(2)若函數(shù)g(x)=-

+2ax+1-a在[0,2]上的最大值為3,求實(shí)數(shù)a的值.三、解答題(共10分)