選修2-2 2.1.1合情推理(共37張PPT)

引入同學(xué)們可能問學(xué)了數(shù)學(xué)有什么用？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大作用是培養(yǎng)同學(xué)們的邏輯思維能力。邏輯思維與形象思維是思維能力的兩個(gè)基本元件。通俗講理科生邏輯思維能力強(qiáng)，文科生形象思維強(qiáng)。對(duì)于大腦，左腦管理邏輯思維，右腦管理形象思維。所以左腦發(fā)達(dá)的人一般選理科，右腦發(fā)達(dá)的人一般選文科。我們作為文科生邏輯思維本身就弱，所以更有必要學(xué)習(xí)邏輯思維。這一章我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容，平時(shí)已經(jīng)在不知不覺中使用了，那時(shí)我們自己沒有意識(shí)到，是無意識(shí)的，是隱性的。我們學(xué)習(xí)這章的目的就是讓我們無意識(shí)的不知不覺在應(yīng)用的隱性的邏輯知識(shí)變得有意識(shí)能夠自覺理性的運(yùn)用，讓隱性的邏輯知識(shí)顯性化。愛因斯坦左腦、右腦都發(fā)達(dá)。推理與證明天空烏云密布，你能得出什么推斷？一.推理無處不在例1

根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程就叫推理.推理已知判斷前提新的判斷結(jié)論2.1.1合情推理觀察下列推理的例子1.銅,鐵,鋁,金,銀等金屬能導(dǎo)電,由此得一切金屬都能導(dǎo)電.2.三角形的內(nèi)角和是180°,四邊形的內(nèi)角和是360°,五邊形的內(nèi)角和是540°,由此得n邊形的內(nèi)角和是(n-2)180°.3.一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)分別是2,4,6,8,由此得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為2n.4.哥德巴赫猜想:3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋17一個(gè)規(guī)律：偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)6＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……

猜想任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和.問題1:以上推理有什么特點(diǎn)?特點(diǎn):由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理歸納推理:

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論

的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).歸：歸結(jié)。納：總結(jié)。

著名的哥德巴赫猜想

：(GoldbachConjecture)：據(jù)說哥德巴赫無意中觀察到3+7=10，3+17=20，13+17=30，并且有意將其寫成10=3+7，20=3+17，30=13+17，而產(chǎn)生這樣的想法。這是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡(jiǎn)單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。

目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem)?“任何充分大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！?/p>

即任一個(gè)充分大的偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù)*質(zhì)數(shù)，這距離猜想的證明只有一步之遙。

過去的高中老師很厲害的，比如哥德巴赫就是個(gè)數(shù)學(xué)家。在我國(guó)民國(guó)時(shí)期高中老師也很厲害，都可以到北大當(dāng)老師，比如朱自清。但現(xiàn)在高中老師孬了，因?yàn)楦咧衅占?，只要是年齡到就可以讀高中，過去的高中生都是現(xiàn)在的博士生。過去社會(huì)上同齡的讀高中的沒幾個(gè)或幾乎沒有。我們以前講過牛頓、愛因斯坦有自閉癥或即阿斯伯格癥，許多心理學(xué)家也指出陳景潤(rùn)也有自閉或即阿斯伯格癥。天才與瘋子只有一線之隔，還是做普通人好，陳景潤(rùn)自理能是很差的，40歲了還不會(huì)購(gòu)置家具。例題1:

觀察下列的等式,你有什么猜想嗎?1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52

……由此猜想:前n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和等于n的平方,即:1+3+5+…+(2n-1)=n2告訴我們考試如何考？不管是會(huì)考還是高考。如果改成2n+1呢？

例2:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=2,3,4代入得:觀察可得：數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)項(xiàng)數(shù)的倒數(shù)?？捎脭?shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想是正確的.文科強(qiáng)調(diào)形象思維，所以數(shù)學(xué)歸納法不學(xué)。由此猜想（歸納）這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：于是費(fèi)馬提出猜想：任何形如

的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想。半個(gè)世紀(jì)后，善于計(jì)算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第五個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜想。問題4:由歸納推理得到的結(jié)論是否一定可靠?費(fèi)馬猜想都是質(zhì)數(shù)同學(xué)們看，歐拉的計(jì)算能力歷史上有名，在當(dāng)時(shí)沒有計(jì)算機(jī)、計(jì)算器，全靠一支筆，歐拉就把它算出來了。從一個(gè)傳說說起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個(gè)推理過程是歸納推理嗎？除了歸納,人們?cè)趧?chuàng)造發(fā)明中，經(jīng)常應(yīng)用類比類：同類比：比較?？赡苡猩嬖谟猩嬖跍囟冗m合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否存在生命火星與地球類比的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測(cè)火星上也可能有生命存在同學(xué)們，雖然人類沒有到達(dá)火星，但航天器已經(jīng)到達(dá)。美國(guó)人覺得所有地球人不是他對(duì)手，所以去開辟太空。美國(guó)人有個(gè)優(yōu)點(diǎn)，人民自己不會(huì)跟自己斗，中國(guó)人是窩里斗。并且斗過來斗過去越斗越有精神。為什么人民在斗？因?yàn)楣賳T在斗。柏楊寫的書《丑陋的中國(guó)人》，他說中國(guó)文化是醬缸文化。

由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）．類比推理的定義:

簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？以下類比同時(shí)說明考試如何考。例2類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若a,b∈R,則a+b∈R運(yùn)算律(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a單位元a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運(yùn)算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a由平面內(nèi)的圓，我們聯(lián)想到空間里的球，讓他們來類比．你能找到他們有哪些類似的特征？例5:試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.解：圓與球在它們的的生成、形狀、定義等方面都具有相似的屬性.

據(jù)此，圓與球的相關(guān)元素之間可建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓弦直徑周長(zhǎng)面積球截面圓大圓表面積體積等等，于是根據(jù)圓的性質(zhì)，可以猜測(cè)球的性質(zhì)如下表：圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心

類比推理舉例構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目：四面體三角形四面體由四個(gè)面圍成，它是空間中數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；在平面內(nèi)，兩條直線不能圍成一個(gè)封閉的圖形，而3條直線可以圍成一個(gè)三角形，即三角形是平面內(nèi)數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形。例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間

中四面體性質(zhì)的猜想．直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體∠C＝90°3個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c

2條直角邊a，b和1條斜邊c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S

3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試

給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．我們要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象．如：平面空間正方形正方體圓球三角形三棱錐還有向量與數(shù)、無限與有限、不等與相等類比。類比推理的結(jié)論一定可靠嗎？“平面內(nèi)，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”“平面內(nèi)，同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線互相平行”“空間中，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”“空間中，同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線互相平行”類比數(shù)學(xué)家波利亞說，類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中類比問題。開普勒說，我珍視類比勝于任何東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。同學(xué)們注意，教材答案不好。對(duì)于第二個(gè)類比，因?yàn)橹本€類比平面，所以類比結(jié)果是：在空間中，同時(shí)垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行。類比為什么是錯(cuò)誤的？原因是在平面內(nèi)不能做的事情在空間可以做，那就是在空間中可以干折疊、旋轉(zhuǎn)。

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的應(yīng)用

數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說，即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。例2.這是一個(gè)古老的漢諾塔游戲。有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.