方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計研究內(nèi)蒙古包頭市北方重工業(yè)集團(tuán)第三中學(xué)數(shù)學(xué)郭園園【課程分析】本節(jié)內(nèi)容為新課標(biāo)《函數(shù)與方程》中的教學(xué)內(nèi)容，安排在了《函數(shù)的應(yīng)用》中。為了提高學(xué)生對函數(shù)的廣泛應(yīng)用，以及函數(shù)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系的認(rèn)識，教科書加強(qiáng)了知識間的聯(lián)系，具體體現(xiàn)在結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系。對于進(jìn)一步完善函數(shù)內(nèi)容的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識都具有極為重要的意義。本節(jié)內(nèi)容首先從已有的知識背景出發(fā)，從具體抽象出一般方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系，要搞清楚方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)。學(xué)習(xí)的過程是一個由具體到抽象、特殊到一般的過程，方程式數(shù)根的存在與對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的存在是一致的，從而對于一個代數(shù)方程沒有公式求解的情況下，可以通過轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)問題來解決。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的結(jié)論是結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)直觀給出的，不要求從理論的角度來證明，只要求會用就可以。并且該結(jié)論只說明滿足條件的前提下，在該區(qū)間上有零點(diǎn)，沒有明確幾個，若需要確定零點(diǎn)的個數(shù)，還需要利用函數(shù)的性質(zhì)來解決。課本注重思想方法的滲透，即以已知探求，注重抽象概念不同意義間的轉(zhuǎn)換，即從實(shí)際意義、數(shù)值意義、幾何意義等方面理解導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵與思想。目的在于，不僅讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的知識量上有所收獲，而且能夠體會其中蘊(yùn)涵的豐富的思想，逐漸掌握數(shù)學(xué)研究的基本思考方式和方法。本節(jié)要求學(xué)生結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系，難點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判斷?！緦W(xué)情分析】【設(shè)計思路】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)“自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式”。因為這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。正像張熊飛教授在《誘思探究學(xué)科教學(xué)論中》所指出：教師，不應(yīng)該僅僅考慮自己怎么“教”，而應(yīng)該突出考慮怎么樣“教”學(xué)生“學(xué)”。課堂教學(xué)應(yīng)該是靈動的，引而不發(fā)，因人善喻；不言之教，合易以思。這是為師之道的根本。食貴自化，學(xué)貴自得；深思熟慮，積水成淵。這是為學(xué)之道的靈魂。為此，我曾苦苦思索，如何才能使教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”相一致呢？期間，一波三折，直到遇到誘思探究學(xué)科教學(xué)論?；貞浺酝慕虒W(xué)，也確實(shí)費(fèi)了不少功夫：把概念的前因后果、關(guān)鍵字句、容易忽略的地方都一一呈現(xiàn)給學(xué)生，生怕學(xué)生走一點(diǎn)彎路。但是效果并不好，更甚至每次課下來，心總是懸著的，也不知道學(xué)生到底有沒有掌握，掌握到什么程度。通過《誘思探究學(xué)科教學(xué)論》的學(xué)習(xí)，我領(lǐng)悟到：教師只有真正的調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，課堂上堅持以學(xué)生的體驗為紅線，思維為主攻，才能形成教育的合力。結(jié)合《誘思探究學(xué)科教學(xué)論》的指導(dǎo)思想，本節(jié)課是按照三個認(rèn)知層次進(jìn)行設(shè)計的，即復(fù)習(xí)回顧，奠定基礎(chǔ)；合作探究，總結(jié)規(guī)律；學(xué)以致用，鞏固提高。在第一個認(rèn)知層次上，探究具體的一元二次方程的根與其對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，作為本節(jié)內(nèi)容的入口，其意圖是讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識與原有知識形成聯(lián)系。第二個認(rèn)知層次，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，通過合作交流探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)盡管有密切的聯(lián)系，但不能將它們混為一談，之所以介紹通過求函數(shù)的零點(diǎn)來求方程的根，是因為函數(shù)的圖像和性質(zhì)，為理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了直觀的認(rèn)識，并作為判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在和求出零點(diǎn)提供了支持，這就使方程的求解與函數(shù)的變化形成聯(lián)系，有利于分析問題的本質(zhì)。第三個認(rèn)知層次，在學(xué)生對函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有了較深刻認(rèn)識的基礎(chǔ)上，去學(xué)以致用，鞏固提高，從而完成對知識的遷移深化。這樣設(shè)計旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體地位的基本特征即能動性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性和基礎(chǔ)性。充分發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性、實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。課時安排是1節(jié)課，教學(xué)媒體設(shè)計是多媒體課件，及實(shí)物投影儀。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解函數(shù)零點(diǎn)的意義會求簡單函數(shù)的零點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【教學(xué)流程】一、復(fù)習(xí)回顧，奠定基礎(chǔ){課件投影}（一）問題1求出表中一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的簡圖，并寫出函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)方方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函數(shù)函數(shù)的圖象方程的實(shí)數(shù)根x2－2x－3=0函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)y=xy=x2－2x+3要求：先獨(dú)立完成，畫出標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)圖象，然后小組內(nèi)部交流答案并派代表展示結(jié)果，其它組的同學(xué)若有不同意見請及時補(bǔ)充完善.設(shè)計意圖：從學(xué)生熟知的、具體的二次函數(shù)入手，設(shè)置學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，使新知識與原有知識形成聯(lián)系{課件投影}若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？（要求：請同學(xué)們根據(jù)下面的表格，獨(dú)立完成。然后小組內(nèi)部交流意見和解題方法，并派代表展示結(jié)果，其它組的同學(xué)若有不同意見請及時補(bǔ)充完善.）函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根判別式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0設(shè)計意圖：由具體的一元二次方程和二次函數(shù)到一般的一元二次方程和二次函數(shù)，既有利于學(xué)生掌握知識，又有助于學(xué)生抽象思維能力的形成。二、合作探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律（一）直觀感知，形成思路{課件投影}1、零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？2、方程的實(shí)數(shù)根，函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)有什么關(guān)系？3、求函數(shù)零點(diǎn)的方法有幾種？（要求：獨(dú)立思考上面的問題，2分鐘后小組討論給出答案，并說明理由。其它同學(xué)認(rèn)真聆聽，有不同意見及時補(bǔ)充完善）設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己探究出函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，以及函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根之間的關(guān)系，記憶更加深刻{課件投影}請同學(xué)們認(rèn)真閱讀習(xí)題，獨(dú)立完成，2分鐘后舉手回答下列問題，其它同學(xué)如果有不同意見，請補(bǔ)充完善。（一）觀察二次函數(shù)的圖象：1、在區(qū)間(-2,0)上有零點(diǎn)______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．2、在區(qū)間(2,4)上有零點(diǎn)______；·____0（＜或＞）．（二）觀察函數(shù)的圖象①在區(qū)間(a,b)上______(有/無)零點(diǎn)；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．②在區(qū)間(b,c)上______(有/無)零點(diǎn)；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．③在區(qū)間(c,d)上______(有/無)零點(diǎn)；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．設(shè)計意圖：讓學(xué)生觀察二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值之積的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法（二）深化認(rèn)識，總結(jié)規(guī)律{課件投影}請認(rèn)真閱讀下面問題，先獨(dú)立思考5分鐘，然后小組討論交換意見，并派代表發(fā)言。其它同學(xué)認(rèn)真聆聽，有不同意見及時補(bǔ)充完善1、所有函數(shù)都存在零點(diǎn)嗎？2、若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點(diǎn)，一定能得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論嗎？3、若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，而且滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在零點(diǎn)嗎？4、你能根據(jù)上述問題總結(jié)出在什么條件下才能確定零點(diǎn)的存在呢？5、“有零點(diǎn)”是指有幾個零點(diǎn)呢？只有一個嗎？再加上什么條件就只有一個了？ 設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過這幾個問題，自己總結(jié)出函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理及唯一性定理。幾個問題層層遞進(jìn)有助于學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容三、學(xué)以致用，鞏固提高{課件投影}（請同學(xué)們獨(dú)立完成下面的習(xí)題，然后小組內(nèi)部交流結(jié)果，并且派出代表發(fā)言，其它同學(xué)仔細(xì)聆聽，若有不同意見請及時補(bǔ)充完善.）解：例題1求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)個數(shù)。用計算器或計算機(jī)作出x、f(x)的對應(yīng)值表（表3-1）和圖象－4－1.30