2022屆一輪復(fù)習(xí)北師大版第一講算法復(fù)數(shù)推理與證明教案

專題六算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、概率與統(tǒng)計(jì)第一講算法、復(fù)數(shù)、推理與證明[考情分析]1．程序框圖是每年高考的必考內(nèi)容，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的輸出功能以及判斷框內(nèi)循環(huán)體結(jié)束條件的填充，多為選擇題或填空題，試題難度不大；2.對(duì)復(fù)數(shù)的考查，難度一般為容易，常在選擇題或填空題的前兩題的位置呈現(xiàn)．一般考查三個(gè)方面：一是復(fù)數(shù)的概念，如實(shí)部、虛部、模、共軛復(fù)數(shù)等；二是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；三是復(fù)數(shù)的幾何意義；3.推理與證明考查頻次較低.年份卷別考查角度及命題位置2022Ⅰ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的判斷條件問題·T10復(fù)數(shù)的運(yùn)算與純虛數(shù)概念·T3Ⅱ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的結(jié)果輸出問題·T10復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算·T2推理問題·T9Ⅲ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸入值的判斷·T8復(fù)數(shù)的幾何意義·T22022Ⅰ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出功能·T10復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算·T2Ⅱ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出功能(以秦九韶算法為背景)·T9共軛復(fù)數(shù)·T2推理問題·T16Ⅲ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出功能·T8共軛得數(shù)，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算·T22022Ⅰ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出功能(數(shù)列為背景)·T9復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算·T3Ⅱ卷循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖(更相減損術(shù)為背景)·T8復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算·T2[真題自檢]1．(2022·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3解析：由題意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，則a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故選A.答案：A2．(2022·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝3－i，則eq\x\to(z)＝()A．－1＋2i B．1－2iC．3＋2i D．3－2i解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴eq\x\to(z)＝3＋2i，故選C.答案：C3．(2022·高考全國(guó)卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1\f(4,5)＋eq\f(3,5)i \f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：∵z＝4＋3i，∴eq\x\to(z)＝4－3i，|z|＝eq\r(42＋32)＝5，∴eq\f(\x\to(z),|z|)＝eq\f(4－3i,5)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.答案：D4．(2022·高考全國(guó)卷Ⅰ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x解析：輸入x＝0，y＝1，n＝1，運(yùn)行第一次，x＝0，y＝1，不滿足x2＋y2≥36；運(yùn)行第二次，x＝eq\f(1,2)，y＝2，不滿足x2＋y2≥36；運(yùn)行第三次，x＝eq\f(3,2)，y＝6，滿足x2＋y2≥36，輸出x＝eq\f(3,2)，y＝6.由于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))在直線y＝4x上，故選C.答案：C5．(2022·高考全國(guó)卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是________．解析：法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法．故甲的卡片上的數(shù)字是1和3.法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案：1和3算法與程序框圖[方法結(jié)論]算法的兩種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)分為當(dāng)型和直到型兩種．(2)當(dāng)型循環(huán)在每次執(zhí)行循環(huán)體前對(duì)控制循環(huán)的條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時(shí)則停止．(3)直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體后，對(duì)控制循環(huán)的條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，滿足則停止．[題組突破]1．(2022·合肥模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n為()A．9 B．11C．13 D．15解析：由程序框圖可知，S是對(duì)eq\f(1,n)進(jìn)行累乘，直到S＜eq\f(1,2017)時(shí)停止運(yùn)算，即當(dāng)S＝1×eq\f(1,3)×eq\f(1,5)×eq\f(1,7)×eq\f(1,9)×eq\f(1,11)＜eq\f(1,2017)時(shí)循環(huán)終止，此時(shí)輸出的n＝13，故選C.答案：C2．(2022·昆明七校調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸出S的值為1，則判斷框內(nèi)為()A．i＞6? B．i＞5?C．i≥3? D．i≥4?解析：依題意，執(zhí)行程序框圖，進(jìn)行第一次循環(huán)時(shí)，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；進(jìn)行第二次循環(huán)時(shí)，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；進(jìn)行第三次循環(huán)時(shí)，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此當(dāng)輸出的S的值為1時(shí)，判斷框內(nèi)為“i≥4？”，選D.答案：D[誤區(qū)警示]程序框圖中的填充框圖問題，最常見的要求補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，求解時(shí)最易出現(xiàn)失誤，解決此類問題的方法：創(chuàng)造函數(shù)的判斷條件為“i>n？”或“i<n？”，然后找出運(yùn)算結(jié)果與條件的關(guān)系，反解出條件即可．復(fù)數(shù)[方法結(jié)論]1．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類(1)z是實(shí)數(shù)?b＝0；(2)z是虛數(shù)?b≠0；(3)z是純虛數(shù)?a＝0且b≠0.2．共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)是a－bi(a，b∈R)．3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；(2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；(3)(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R)．提醒：記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(4)eq\f(a＋bi,i)＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．[題組突破]1．(2022·高考全國(guó)卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝()A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i解析：依題意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i，選B.答案：B2．(2022·長(zhǎng)沙模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(3i,1－i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：eq\f(3i,1－i)＝eq\f(3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－3＋3i,2)，故其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，選B.答案：B3．(2022·西安模擬)設(shè)(a＋i)2＝bi，其中a，b均為實(shí)數(shù)．若z＝a＋bi，則|z|＝()A．5 \r(5)C．3 \r(3)解析：由(a＋i)2＝bi得a2－1＋2ai＝bi，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,2a＝b))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,b2＝4))，故復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，選B.答案：B4．(2022·惠州模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z·i＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)是________．解析：由zi＝1＋i可得z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,i－i)＝1－i，所以z的共軛復(fù)數(shù)是1＋i.答案：1＋i[誤區(qū)警示]1．混淆復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部；2．計(jì)算(a＋i)2，|z|時(shí)，錯(cuò)用運(yùn)算法則．推理與證明[方法結(jié)論]1．推理(1)歸納是由特殊到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)從推理的結(jié)論看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；演繹推理得到的結(jié)論一定正確．(3)演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程．?dāng)?shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理．2．證明的兩種方法(1)直接證明：①綜合法；②分析法．(2)間接證明：反證法．3．與反證法有關(guān)的命題題型(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)“至少”“至多”型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等．[典例](1)用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)解析：(1)“至少有一個(gè)”反面應(yīng)為“沒有一個(gè)”，也就是說本題應(yīng)假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)．答案：B(2)(2022·安徽江淮十校聯(lián)考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()\f(－\r(5)－1,2) \f(\r(5)－1,2)\f(1＋\r(5),2) \f(1－\r(5),2)解析：1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.答案：C(3)(2022·武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙說：“我沒有作案，是丙偷的．”丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷．”丁說：“乙說的是事實(shí)．”經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：由題可知，乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，即同真同假，假設(shè)乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個(gè)結(jié)論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：B[類題通法]推理問題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，而其他的主要是滲透到數(shù)學(xué)問題的求解之中；常涉及特殊、一般、部分、整體及歸納思想、類比思想等數(shù)學(xué)思想方法．[演練沖關(guān)]1．法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到2＋1＝5,2＋1＝17,2＋1＝257,2＋1＝65537都是質(zhì)數(shù)，于是他提出猜想：任何形如2＋1(n∈N)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想．半個(gè)世紀(jì)之后，善于發(fā)現(xiàn)的歐拉發(fā)現(xiàn)第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)2＋1＝4294967297＝641×6700417不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜想，這一案例說明()A．歸納推理的結(jié)果一定不正確 B．歸納推理的結(jié)果不一定正確C．類比推理的結(jié)果一定不正確 D．類比推理的結(jié)果不一定正確解析：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到2＋1＝5,2＋1＝17,2＋1＝257,2＋1＝65537都是質(zhì)數(shù)，于是他提出猜想；任何形如2＋1(n∈N)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這是歸納推理，由特殊到一般，但由于沒有驗(yàn)證，結(jié)果不一定正確．答案：B2．(2022·湖北八校聯(lián)考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：根據(jù)題意，6名選手比賽結(jié)果甲、乙、丙、丁猜測(cè)如下表：1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，只有丁猜對(duì)了比賽結(jié)果，故選D.答案：D3．(2022·貴陽模擬)已知不等式1＋eq\f(1,4)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)＜eq\f(7,4)，照此規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)不等式為________．解析：由已知，三個(gè)不等式可以寫成1＋eq\f(1,22)＜eq\f(2×2－1,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(2×3－1,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(2×4－1,4)，所以照此規(guī)律可得到第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1－1,n＋1)＝eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1,n＋1)算法中的交匯問題算法是高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮點(diǎn)，這類問題常常背景新穎，并與函數(shù)、數(shù)列、不等式、統(tǒng)計(jì)等交匯，考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．[典例]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－2,2]，則輸出的S屬于()A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]解析：由程序框圖可知其值域?yàn)?－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故選D.答案：D[類題通法]解決算法的交匯性問題的方法(1)讀懂算法框圖，明確交匯知