初三數(shù)學(xué)專題02 圓的證明與計(jì)算題研究（含答案）

專題二：圓的證明與計(jì)算題研究【題型導(dǎo)引】題型一：與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算（1）與圓內(nèi)三角形、四邊形為背景研究形狀及其線段、周長面積等問題；（2）圓內(nèi)多邊形關(guān)于角的問題；（3）已知圓內(nèi)特殊三角形背景下線段的長度計(jì)算等。題型二：與圓的切線有關(guān)的證明與計(jì)算（1）已知圓的切線與特殊三角形的關(guān)系，計(jì)算半徑、線段等問題；（2）已知圓與特殊三角形相關(guān)條件判定圓的切線及其線段計(jì)算等問題；（3）已知圓與特殊四邊形相關(guān)條件判定圓的切線及其線段計(jì)算等問題。題型三：與扇形、弧長等有關(guān)的計(jì)算（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及其相關(guān)條件進(jìn)行計(jì)算弧長、扇形面積等問題；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)及其相關(guān)條件進(jìn)行計(jì)算圓錐等問題；【典例解析】類型一：與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算例題1：（2019?湖北省荊門市?10分）已知銳角△ABC的外接圓圓心為O，半徑為R．（1）求證：＝2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的長及sinC的值．【解答】解：（1）如圖1，連接AO并延長交⊙O于D，連接CD，則∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝＝∴＝2R；（2）∵＝2R，同理可得：－＝＝2R，∴2R＝＝2，∴BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，如圖2，過C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC?cosB＝cos60°＝，AE＝AC?cos45°＝，∴AB＝AE＋BE＝，∵AB＝AR?sinC，∴sinC＝＝．技法歸納：圓的性質(zhì)綜合運(yùn)用題中，經(jīng)常用到的重要性質(zhì)及技法：①運(yùn)用圓是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形可以對(duì)相關(guān)結(jié)論作合理的猜測；②利用垂徑定理，通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理或銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；③在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對(duì)等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化相等關(guān)系；④由直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形；⑤相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理是計(jì)算線段長度及其線段數(shù)量關(guān)系的重要手段．類型二：與圓的位置關(guān)系有關(guān)的證明與計(jì)算例題2：(2018·婁底中考)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點(diǎn)，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，弦CD交AB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)PB是⊙O的切線時(shí)，求證：∠PBD＝∠DAB；(2)求證：BC2－CE2＝CE·DE；(3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點(diǎn)，求線段DE的長．【解析】(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切線，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(AE,CE)，即DE·CE＝AE·BE.如圖，連接OC.設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OB＝OC＝r，則DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，則BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2，∴BC2－CE2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4，∴BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝4eq\r(2).又∵E是半徑OA的中點(diǎn)，∴AE＝OE＝2，則CE＝eq\r(OC2＋OE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).∵BC2－CE2＝DE·CE，∴(4eq\r(2))2－(2eq\r(5))2＝DE·2eq\r(5)，解得DE＝eq\f(6\r(5),5).技法歸納：與切線有關(guān)的證明與計(jì)算，最常用的輔助線是連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，利用直徑構(gòu)造直角三角形，利用圓周角相等轉(zhuǎn)移角的位置等．運(yùn)用三角形全等、三角形相似、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行證明與計(jì)算．類型三：與扇形面積有關(guān)的證明與計(jì)算例題3：（2019?湖北武漢?8分）已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，分別交AM、BN于D.C兩點(diǎn)．（1）如圖1，求證：AB2＝4AD?BC；（2）如圖2，連接OE并延長交AM于點(diǎn)F，連接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OC.OD，如圖1所示：∵AM和BN是它的兩條切線，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE＋∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE＋∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD＋∠COB＝90°，∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴,∴OA2＝AD?BC，∴（AB）2＝AD?BC，∴AB2＝4AD?BC；（2）解：連接OD，OC，如圖2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴圖中陰影部分的面積＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．技法歸納：求與圓有關(guān)的陰影部分的面積時(shí)，常常是通過把不規(guī)則圖形的面積，用扇形的面積和三角形的面積的和差來解決．特別地，對(duì)于旋轉(zhuǎn)圖形，要利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)的中心(扇形的圓心)和旋轉(zhuǎn)半徑(相應(yīng)的線段)的位置的變化，常常運(yùn)用三角形全等進(jìn)行面積的割補(bǔ)．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，其內(nèi)切圓⊙O與邊BC，AC，AB分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn).(1)求證：BF＝CE；(2)若∠ACB＝30°，CE＝2eq\r(3)，求AC的長．【解析】：(1)證明：連結(jié)AO并延長，∵AB＝AC，∴AO的延長線交BC于切點(diǎn)D，則BD＝CD.又由切線長定理，得BF＝BD，CD＝CE，∴BF＝CE.(2)∵CE＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3).又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝eq\f(CD,cos∠ACB)＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.2.（2019?黑龍江省齊齊哈爾市?8分）如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若直徑BC＝4，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OA，則∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切線；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA?AD＝×2×2＝2，因?yàn)椤螩OA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S陰影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．3.（2018遼寧撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB、連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的長．【解答】（1）證明：連接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線．（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2＋OB2，∴（8﹣r）2＝r2＋42，∴r＝3，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝6，在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．4.（2019?甘肅慶陽?8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4，BC＝6，則S⊙O＝．【解答】解：（1）如圖⊙O即為所求．（2）設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E．由題意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圓O＝π?52＝25π．故答案為25π．5.（2018云南昆明）如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O于點(diǎn)C，AD交⊙O于點(diǎn)F，∠AC平分∠BAD，連接BF．（1）求證：AD⊥ED；（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如圖，∵AB為直徑，∴∠AFB＝90°，易得四邊形CDFH為矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∴⊙O的半徑為．6.（2019?四川省涼山州?8分）如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD的延長線于點(diǎn)C，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的長．【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切線，∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1＋∠2＝90°，∴DF為⊙O的切線；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．7.（2019?山東省德州市?12分）如圖，∠BPD＝120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，∠PAC＝30°，AC＝2．（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A.C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請(qǐng)寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積．【解答】解：（1）如圖，（2）已知：如圖，∠BPD＝120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，∠PAC＝30°，AC＝2過A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，以O(shè)A為半徑作⊙O，OA⊥PB，求證：PB.PC為⊙O的切線；證明：∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，連接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB.PC為⊙O的切線；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC為等邊三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積＝S四邊形APCO﹣S形AOC＝2××2×2﹣＝4﹣2π．8.（2019湖北省鄂州市）（10分）如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC，PB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的長．【解答】（1）證明：連結(jié)OB，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切線；（2）證明：連結(jié)AE，∵PA為⊙O的切線，∴∠PAE＋∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PD為⊙O的切線，∴PD平分∠APB∴E為△PAB的內(nèi)心；（3）解：∵∠PAB＋∠BAC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．9.已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，若＝，如圖1，．（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)AE與DF相交于點(diǎn)M，如圖2，AF＝2FC＝4，求AM的長．【解答】解：（1）△ABC為等腰三角形，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴∠CFE＝∠CEF＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形；（2）連接OB、OC、OD、OF，如圖，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中點(diǎn)，BE＝CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝，∵AE＝＝4，∴AM＝4×＝．10.（2019?山東威海?12分）（1）方法選擇如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，AB＝BC＝AC．求證：BD＝AD＋CD．小穎認(rèn)為可用截長法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長CD至點(diǎn)N，使得DN＝AD…請(qǐng)你選擇一種方法證明．（2）類比探究【探究1】如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，BC是⊙O的直徑，AB＝AC．試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論．【探究2】如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．（3）拓展猜想如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．【解答】解：（1）方法選擇：∵AB＝BC